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2014届高三上学期摸底测试数学(理)试题 Word版含答案(8 )


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2014 届高三上学期摸底测试

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项

: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。

(1) .若复数 z ? 3 ? i ,则 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 (2)曲线 y ? (A) 30
?

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

1 3 7 x ? 2 在点 (?1, ? ) 处的切线的倾斜角为 3 3
(B) 45
?

(C) 135

?

(D) ?45

?

(3)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 =4, S 3 =6, 则公差 d 等于 (A)1 (B)

5 3

(C)-2

(D)3

(4)在△ ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的大小为 (A)

2π 3

(B)

5π 6

(C)

3π 4

(D)

π 3

(5)设 a,b,c 都是实数.已知命题 p : 若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ;命题 q : 若 a ? b ? 0 ,则

ac ? bc .则下列命题中为真命题的是
(A) (?p) ? q (B) p ? q (C) (?p) ? (?q) (D) (?p) ? (?q)

(6)下列函数中最小值为 4 的是 (A) y ? x ?

4 x

(B) y ?

2( x 2 ? 3) x ?2
2

(C) y ? e ? 4e
x

?x

(D) y ? sin x ?

4 , (0 ? x ? ? ) sin x

(7)在线性回归模型 y ? bx ? a ? e 中,下列说法正确的是 A. y ? bx ? a ? e 是一次函数 B.因变量 y 是由自变量 x 唯一确定的

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C.因变量 y 除了受自变量 x 的影响外,可能还受到其它因素的影响,这些因素会导致随 机误差 e 的产生 D.随机误差 e 是由于计算不准确造成的,可以通过精确计算避免随机误差 e 的产生 (8)方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程的曲线是 (A)焦点在 x 轴上的椭圆 (C)焦点在 y 轴上的椭圆 (B)焦点在 x 轴上的双曲线 (D)焦点在 y 轴上的双曲线

(9)若不等式 1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,则 4a-2b 的取值范围是 (A)[5,10] (10) 已知椭圆 (B) (5,10) (C)[2,12] (D) (3,12)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上, a 2 b2

且 BF⊥x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P,若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是

(A)

1 3

(B)
2

1 2

(C)

2 2

(D)

3 2

(11) 已知 M 为抛物线 y ? 4 x 上一动点, F 为抛物线的焦点,定点 P?3 , 1? ,则

| MP | ? | MF | 的最小值为
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 ( ) (12)对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f '( x) ≥0,则必有 (A) f (0)+f (2) < 2 f (1) (C) f (0)+f (2) ≥ 2 f (1) (B) f (0)+f (2) ≤ 2 f (1) (D) f (0)+f (2) > 2 f (1)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个考生都必 须作答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。

(13). 已知 p : ?4 ? x ? a ? 4, q : ( x ? 2)(3 ? x) ? 0 ,若 ? p是? q 的充分条件,则实数 a 的

取值范围是
(14).已知 为

.

f ? x ? ? ? 4a ? 3? x ? b ? 2 a, x ?? 0,1? ,若 f ? x ? ? 2 恒成立,则 t ? a ? b 的最大值


(15).数列{an}的通项公式 an ? n cos

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn,则 S2012=___________。 2

(16).曲线 C 是平面内与两个定点 F1 ? ?2, 0 ? 和 F2 ? 2, 0 ? 的距离的积等于常数 a 2 ( a ? 2 )的 点的轨迹。给出下列三个结论: (1)曲线 C 过坐标原点 (2)曲线 C 关于坐标原点对称;

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(3)若点 P 在曲线 C 上,则 ?F1 F2 P 的面积不大于

1 2 a 。 2

其中,所有正确结论的序号是 。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ? ?n 2 ? 2kn (k ? N ? ) ,且 S n 的最大值为 4 (1)求数列 ?an ? 的通项 an (2)令 bn ?

5 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和。 2n

(18) (本题满分 12 分) 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 平面 ABC , PB ? BC ? CA ? 4 , ?BCA ? 90 0 , E 为 P

PC 的中点.
( I )求证: BE ? 平面 PAC ; ( II )求二面角 E ? AB ? C 的余弦值.
C E

B

A

(19) (本小题满分 12 分)
在一段时间内,某种商品价格 x(万元)和需求量 y(t)之间的一组数据如下表: 价格 x 需求量 y (1)画出散点图; 1.4 12 1.6 10 1.8 7 2 5 2.2 3

? (2)求出 y 对 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;
(3)如果价格定为 1. 9 万元,预测需求量大约是多少.(结果精确到 0.01 t)

参考公式: b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

, a ? y ? bx

2 i

? nx

2

(20.)(本小题满分 12 分)

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x2 y 2 2 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e= ,且椭圆 3 a b
C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动点 P 满足 0P ? 0M ? 30 N ,其中 M、N 是椭圆上不同两点,直线 OM、ON 的斜率之积为 ? ,求动点 P 的轨迹方程。

???

????

??? ?

1 3

(21)(本小题满分 12 分).
1 设函数f ( x) ? a(2 x ? sin x ? cos x) ? cos2 x, (a ? R) ,若 f ( x)在(??,??) 上是递减函 2

数,求 a 的取值范围。
请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 、 、 做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 (23) (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? t cos ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数,0 ≤ α ? y ? 1 ? t sin ?
2

< π ).以原

点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos θ = 4sinθ . (1)求直线 l 与曲线 C 的平面直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、B,若 | AB |? 8 ,求 α 的值. (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a . (I)若 a ? 2 ,解不等式 f ( x) ? 5 ; (II)如果 ?x ? R, f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围。

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理科数学答案
(1)D (12)C 13. ?? 1,6? 14.
17 4

(2)B

(3)C

(4)A

(5)D (6)C

(7)C

(8)D

(9)A

(10)B (11)B

15. 3018

16.(2) (3)

17.解:由条件知 n ? ? 所以

2k ? k 时, S n 有最大值 4, 2 ? ?1?

?k 2 ? 2k ? k ? 4

k ? 2, k ? ?2 (舍去)

3分

(1) 由条件知 S n ? ?n 2 ? 4n 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 5 ? 2n 经验证 n ? 1 时也符合 an ? 5 ? 2n 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 5 ? 2n(n ? N ? ) (2) 由题意知 bn ?
n 2n ?1

6分

设数列 ?bn ? 的前项和为 Tn ,
Tn ? 1 2 3 4 n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 , 0 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 n Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n , 2 2 2 2 2 2

两式相减得
1 1 1 1 1 1 n Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2
?1? 1? ? ? n 2 ? ? ? ? n 1 2 1? 2
-5n

10 分

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?1? 所以, Tn ? 4 ? ? ? ?2?

n?2

?

n 2n ?1

? 2?n? Tn ? 4 ? ? n ?1 ? ? 2 ?

12 分

18.证明 (1):

? PB ? 面ABC ? PB ? AC ? ? ? AC ? 面PBC ? AC ? BE ? BC ? AC ? ? ? BE ? 面PAC ? PB ? BC , E为中点 ? BE ? PC ?

(2)方法一:过 E 作 EF⊥BC,F 为垂足.由已知得 EF⊥面 ABC,过 F 作 FM⊥AB,M 为垂足,连接 EM,则 EM⊥AB(三垂线定理).所以∠EMF 为二面角 E-AB-C 的平面角 在 Rt ?EFM 中,EF=2,FM= 2 ,cos∠EMF=
3 3

方法二:以 B 为原点建立空间直角坐标系 B-xyz
( 0) ( B(0,0,0),C(4,0,0),A(4,4,0),P(0,0,4),E(2,0,2),则 BA ? 4,4, , BE ? 2,0,2)

平面 ABC 法向量为 n1 ? (0,0,1) ;设平面 ABE 法向量为 n2 ? ( x, y, z ) . 则 BA ? n 2 ? 0 BE ? n 2 ? 0
?4 x ? 4 y ? 0 .令 z=1,得 x=-1,y=1,.即 n2 ? (-1,1,1) ? ?2x ? 2z ? 0

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设二面角 E-AB-C 为 ? ,则 cos? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

=

3 3

19.解:(1)散点图如下图所示 .

(2) x =1.8, y =7.4, ?xiyi=62, ?x2=16.6, i
i=1 i=1

5

5

b=
28.1.

62-5×1.8×7.4 -4.6 = =-11.5, a = y - b x =7.4+11.5×1.8= 16.6-5×1.82 0.4

所以线性回归方程为 y=-11.5x+28.1. (3)当价格定为 1.9 万元,即 x=1.9 时,y=-11.5×1.9+28.1=6.25.所以 商品价格定为 1.9 万元时,需求量大约是 6.25 t. 20. 解 :

(2)设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,动点 P( x, y ) 因为 M、N 在椭圆上 所以 x1 ? 3 y12 ? 3, x2 ? 3 y2 2 ? 3
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??? ???? ??? ? 又 0P ? 0M ? 30 N

所以 x ? x1 ? 3x2 , y ? y1 ? 3 y2 则 x 2 ? 3 y 2 ? ? x1 ? 3x2 ? ? 3 ? y1 ? 3 y2 ?
2 2

? x12 ? 3 y12 ? 9 x2 2 ? 27 y2 2 ? 6 x1 x2 ? 18 y1 y2

? 30 ? 6 x1 x2 ? 18 y1 y2

因为 OM、ON 的斜率之积为 ? 所以

1 3

y1 y2 1 ? ? ? 即 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 0 x1 x2 3

动点 P 的轨迹方程为 x 2 ? 3 y 2 ? 30 21. f ' ( x) ? a(2 ? cos x ? sin x) ? sin 2 x ······························2 分 依题意 f ' ( x) ? 0在R上恒成立
即a(2 ? cos x ? sin x) ? sin 2 x
? sin x ? cos x ? 2 ? 2

?2 ? sin x ? cos x ? 0 sin 2 x ··············································6 分 ?a ? 2 ? sin x ? cos x
令sinx ? cos x ? t , 则t ? [? 2 , 2 ]

, sin 2 x ? t 2 ? 1

令g (t ) ?

t 2 ?1 t?2

t 2 ? 4t ? 1 g ' (t ) ? ?0 ?t ? 2?2

解得t ? ?2 ? 3或t ? ?2 ? 3 ···········································9 分
? g (t )在 ? 2 , 3 ? 2 递减,在 3 ? 2,2 递增

?

?

?

?

? g (t ) min ? g ( 3 ? 2) ?

6?4 3 ? 2 3?4 3

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?a ? 2 3 ? 4

? a的取值范围为 ? ?,2 3 ? 4 . ······································12 分

?

?

23.

24 解: (I) x ? (??,?2] ? [3,??) (II) a ? 2 或 a ? ?4

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