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8.2.2不等式的简单变形 周晓迎


不等式的简单变形
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复习回顾
研究不等式的一个重要任务,就是求出不等 式的解集。求不等式的解集的过程,叫做解不 等式。

方程有哪些简单变形?
方程两边同时加上或减去同一个数或同一整式 方程的解不变。 方程两边同时乘以或除以同一个不为0的数, 方程的解不变。
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探索 如图所示,一个倾斜的天平两边分别放有 重物,其质量分别为a和b(显然a>b), 如果在两边盘内分别加上等量的砝码c, 那么盘子仍然像原来那样倾斜

即a+c>b+c

(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整

式,不等号方向如何变化?

结论:
不等式的性质1:

如果a>b,那么a+c>b+c,
如果a>b,那么a-c>b-c

这就是说,不等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整 式,不等式的方向不变。

思考: 不等式的两边都乘以(或除以) 同一个不为零的数,不等号的方 向是否也不变呢?

试一试:
将不等式7>4两边都乘以同一个数,比较所得的数的 大小,用“<”或“>”填空:

> 7×3_______4×3,
> 7×1_______4×1,

> 7×2_______4×2, = 7×0_______4×0,

< 7×(-1)_______4×(-1), < 7×(-2)_______4×(-2), < 7×(-3)_______4×(-3),

从中你能发现什么?

概括:
不等式的性质2 如果a>b, 并且c>0,那么ac>bc。 不等式的性质3 如果a>b,并 且c<0,那么ac<bc。

这就是说,不等式两边都乘以(或 除以)同一个正数,不等号的方向 不变;不等式两边都乘以(或除以) 同一个负数,不等号的方向改变。

性质应用
1、利用不等式的性质,用“<“,”>“号填 空。 (1)若a>b,那么a+2 > b+2;a-5 > b-5; (2)若a<b,那么b-a > 0; (3)若x>-3,那么x-m > -3-m; (4)若m-b<n-b,那么m < n;

(5)若a<b, 且c>0,那么ac+c

< bc+c; (6)若a<0,b<0, c<0,那么(a+b)c > 0.

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性质应用
2、判断题。
(1)若-5x<-3y,那么x>y; (2)若a>b,那么ac>bc; (4)若a-3<b-3,那么a>b; (5)若a2<b2,,那么a<b; 错


错 错
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(3)若a<b,那么3-5a<3-5b; 错

例1、解不等式
(1)

x-7<8

(2)

3x<2x-7
3x-2x<2x-7-2x

解: (1) 两边同加上7得: 两边同减去2x得: (2)
x-7+7<8+7

“移项” x<8+7

3x-2x<-7
x<-7

“合并” x<15
提示

与解方程一样,解一元一次不等式的过程, 其实就是将不等式进行一系列的变形,最终转 化成x >a( x≥a)或x<a(x≤a)的形式 10

例2、解不等式
1
(1)

x>-3 2
x>-6

(2)

-2x<6
x>-3

解: (1)两边同时乘以2,得: 两边同时除以-2,得: (2)

注意:不等式两边乘以 (或除以)的数是正数 还是负数,确定变形时 不等号的的方向是否需 要改变

化系数为1
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1、解下列不等式,并将解集在数轴 上表示。 (1) x-2<3 (2) x+1≥7

(3) 4+5x≤4x (4)7x+15>6x+13

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2、判断正误:

(1)∵a+8>4
∴a>-4 (√ ) (3)∵-1>-2

(2)∵3>2
∴3a>2a( × ) (4)∵ab>0

∴a-1>a-2 (√ ) ∴a>0,b> 0( ×)

如果不等式3x-m≤0的正整数解是1, 2,3,那么m的取值范围是什么?并 在数轴上 表示出来。

解: 3x-m≤0 3x≤m x≤
m 3
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回顾与小结: 1、不等式的性质(特别要注意性质3) 2、解一元一次不等式的过程,类似于 解一元一次方程,就是将不等式进行一 系列的变形,最终转化成x >a( x≥a)或 x<a(x≤a)的形式 3、解一元一次不等式的步骤: 移项、合并同类项,化系数为1

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作业

书本47页练习题


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