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【全程复习方略】2014年人教A版数学文(广东用)课时作业:7.2空间几何体的表面积与体积]


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课时提升作业(四十一)
一、选择题 1.(2013·广州模拟)如图所示为一几何 体的三视图,那么这个几何体的体积为 ( )
3 2 ? 8

(A) ? (B)2

/>3 ? 2 4 5 ? (D) ? 2 4

(C) ?

2.(2012·新课标全国卷)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2, 则此球的体积为( (A) 6? (B) 4 3? (C) 4 6? ) (D) 6 3? )

3.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

6 5 2 (C) ?cm 3 3

(A) ?cm 3

(B) 3?cm3 (D) ?cm 3
7 3

4.(2013·厦门模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为( )

(A)

7 2

(B)2

(C)

5 2

(D)3

5.(2013·韶关模拟)三棱柱的直观图和三视图(正视图和俯 视图是正方形,侧视图是等腰直角三角形)如图所示,则这 个三棱柱的全面积等于( )

(A) 12 ? 4 2

(B) 6?2 2

(C) 8?4 2

(D) 4

6.(2013·银川模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为( )

(A)? ?

3 3

(B) 2? ? 3 (D) 2? ? 3 3

(C)? ? 3

7.(2013·深圳模拟)某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如

图所示的图形(实线组成半径为 2 cm 的半圆,虚线是等腰三角形的两 腰) ,俯视图是一个半径为 2 cm 的圆(包括圆心),则该零件的体积是 ( )

4 3 8 (B) ?cm 3 3

(A) ?cm 3

(C)4π cm3 (D)
20 ?cm 3 3

8.一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示,则这个空间几何 体的表面积是( )

(A)

11? 2

(C)11π

11? +6 2 11? ?3 3 (D) 2

(B)

9.(2013·潮阳模拟)有一个几何体的三视图如下,外轮廓是边长为 1 的正方形,则该几何体的体积为( )

?A?

1 6

? B?

1 2

?C ?

5 6

?D?

1 3

10.(能力挑战题)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接 球的表面积为( )

(A)8π 二、填空题

(B)6π

(C)4π

(D)2π

11.(2012·江苏高考)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm, AA1=2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为____________cm3.

12.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积为_________.

13.(2013·揭阳模拟)如图是某几何体的三视图(单位:m) ,则其表 面积为_____m2.

14.(能力挑战题)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点, ∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥 S-ABC 的体积为________. AB ? 3, 三、解答题 15.一个几何体的三视图如图所示,已知正视图是底边长为 1 的平行四 边形,侧视图是一个长为 3, 宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的 正方形拼成的矩形.

(1)求该几何体的体积 V. (2)求该几何体的表面积 S. 16.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法). (2)求这个几何体的表面积及体积. 17.(能力挑战题)如图,已知平行四边形 ABCD 中,BC=2,BD⊥CD,四边形 ADEF 为 正方形,平面 ADEF⊥平面 ABCD.记

CD=x,V(x)表示四棱锥 F-ABCD 的体积. (1)求 V(x)的表达式. (2)求 V(x)的最大值.

答案解析
1.【解析】选 A.由三视图知,该几何体是由底面半径为 , 高为 1 的半 个圆柱与一个棱长分别为 1, , 1 的长方体构成的组合体, ∴其体积 V ? 1? ?1 ? ? ?? ( ) 2 ?1 ? ? . 2.【解析】选 B. 如图,设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点, 则 OO? ? 2, O′M=1,
? OM ? ( 2) 2 ? 1 ? 3,

1 2

3 2

3 2

1 2

1 2

3 2

? 8

即球的半径为 3, ∴ V ? ?( 3)3 ? 4 3?. 3. 【解析】 选 D.由三视图可知, 此几何体为底面半径为 1 cm、 高为 3 cm 的圆柱上部去掉一个半径为 1 cm 的半球,所以其体积为
2 7 V ? 3?- ?= ? ? cm3 ?. 3 3 4 3

4.【解析】选 A.由图知,此几何体上部是一个棱长为 1 的正方体,其 体积为 1.下部是一个侧着放的四棱柱,其高为 1,底面是一个高为 1, 上底为 2,下底为 3 的直角梯形,故下部的体积是1? 何体的体积是 1 ? ? .
5 2 7 2 2?3 5 ?1 ? , 故此几 2 2

【误区警示】本题易错误地认为该几何体是由一个正方体和一个棱台 构成的组合体. 5.【解析】选 A.由三视图的数据可知,三棱柱的全面积为
1 S ? 2 ? ? 2 ? 2 ? (2 ? 2 ? 2 2) ? 2 ? 12 ? 4 2. 2

6.【解析】选 A.由三视图可知几何体是由一个圆柱和一个三棱锥组合 而成的,因为圆柱的底面半径和高均为 1,所以 V 圆柱=π×12×1=π.三 棱锥的底面是一个直角边长为 2 的等腰直角三角形, 三棱锥的高为 3, 所以 V三棱锥 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ?
? ?? 3 . 3
1 1 3 2 3 . 所以该几何体的体积 V 总=V 圆柱+V 三棱锥 3

7.【解析】选 C.由已知得该几何体是一个半径为 2 cm 的半球挖去一个 底面半径为 2 cm,高为 1 cm 的圆锥, ∴其体积为 V ? ? ?? 23 ? ?? 22 ?1 =4π(cm3). 8.【解析】选 D.这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半. 根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是 1,下底面半径是 2,高为 母线长是 2,其表面积是两个半圆、圆台侧面积的一半和一个轴截 3, 面的面积之和,故
S? 1 1 1 1 11? ??12 ? ?? 22 ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? ? (2 ? 4) ? 3? ? 3 3. 2 2 2 2 2

1 4 2 3

1 3

9.【思路点拨】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键,注意该 几何体是正方体削去一个角. 【解析】选 C,由三视图知,该几何体如图所示是正方体削去一个角,

体积 V ? 1 ? ? . 10.【思路点拨】该几何体是底面为等腰直角三角形,且一条侧棱垂直 于底面的三棱锥,可将该几何体补成一个长方体,然后解决. 【解析】选 A.设该几何体的外接球的半径为 R. 依题意知,该几何体是一个如图所示的三棱锥 A-BCD,其中 AB⊥平面 BCD,AB=2, BC ? CD ? 2, BD=2, BC⊥DC, 因此可将该三棱锥补成一个长方体,
2 2 2 于是有 即 4R2=8,则该几何体的外接球的表面 (2R) ? 22 ? ( 2)( ? 2) ? 8,

1 6

5 6

积为 4πR2=8π. 【变式备选】长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6,这个长方体 的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为( (A) ?
7 2

) (D)64π

(B)56π

(C)14π

【解析】选 C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,则
?ab ? 2, ?a ? 2, ? ? ?bc ? 3, 得 ?b ? 1, ?ac ? 6, ?c ? 3, ? ?

设球的半径为 R,则(2R)2=22+12+32=14, ∴ R2 ? ,
7 2

∴S 球=4πR2=14π. 11.【解析】关键是求出四棱锥 A-BB1D1D 的高. 连接 AC 交 BD 于 O,在长方体中, ∵AB=AD=3,? BD ? 3 2 且 AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又 DB∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D1D, ∴AO 为四棱锥 A-BB1D1D 的高且 AO ? BD ? ∵ S矩形BB D D ? BD ? BB1 ? 3 2 ? 2 ? 6 2,
1 1

1 2

3 2 . 2

∴ VA ?BB D D ? S矩形BB D D AO
1 1 1 1

1 3

1 3 2 ? ?6 2 ? ? 6(cm3) . 3 2

答案:6 12.【解析】设正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 E,沿 AC 折起后 依题意得, 当 BD=a 时, BE⊥DE, 所以 DE⊥平面 ABC, 于是三棱锥 D-ABC 的高为 DE ? 答案:
2 3 a 12 2 1 1 2 2 2 3 a, a a? a. 所以三棱锥 D-ABC 的体积 V ? 2 3 2 2 12

13.【解析】依题意可得该几何体是一个组合体,它的 上部分与下部分都是四棱锥,中间部分是一个正方体. 则上部分的表面积为
1 1 ? 4 ? 4 ? 2 ? ? 4 ? 4 2 ? 2 ? (16 ? 16 2)m 2, 中间部分的表面 2 2

积为 4×4×4=64(m2),下部分的表面积为

1 3 ? 4? 4? ? 4 ? 16 ( 3 m2), 2 2

故所求的表面积为 (80 ? 16 2 ? 16 3)m2 . 答案: 80 ? 16 2 ? 16 3 【变式备选】如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是 _______.

【解析】由三视图还原可知该几何体是一个组合体,下面是一个圆柱, 上面是一个三棱柱,故所求体积为 V ? ? 3 ? 4 ? 6 ? 16?? 8 ? 36 ? 128?. 答案:36+128π 14.【解析】如图,由题意可知,在三棱锥 S-ABC 中, △SAC 和△SBC 都是有一个角为 30°的直角三 角形,其中 AB ? 3, SC=4,所以 AC=BC=2.作 BD⊥SC 于 D,连接 AD, SA ? SB ? 2 3, 可得 SC⊥平面 ABD.
1 2

又 AD ? BD ? 3, 故等边△ABD 的面积为 S ABD ?

3 3 3 所求棱锥 ? ( 3)2 ? , 4 4

S-ABC 的体积等于以△ABD 为底的两个小三棱锥的体积的和,其高的和 即为球的直径 SC,故 VS?ABC ? ? 答案: 3 15.【解析】 (1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体,如图所 示,其底面是边长为 1 的正方形,高为 3,
1 3 3 ? 4 ? 3. 3 4

所以 V ? 1?1? 3 ? 3. (2) 由三视图可知, 该平行六面体中, A1D⊥平面 ABCD, CD⊥平面 BCC1B1, 所以 AA1=2,侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形, ∴ S ? 2? ( 1?1 ? 1? 3 ? 1? 2) ? 6 ? 2 3. 16.【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体.

由 PA1 ? PD1 ? 2, A1D1=AD=2,可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积
1 S ? 5 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ( 2) 2 ? (22 ? 4 2)cm 2, 2 1 所求几何体的体积 V ? 23 ? ? ( 2) 2 ? 2 ? 10 ? cm3 ?. 2

17.【思路点拨】利用体积公式得到 V(x)的表达式,然后根据基本不 等式或函数的知识求最大值. 【解析】 (1)∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD 且 FA⊥AD,∴FA⊥ 平面 ABCD. ∵BD⊥CD,BC=2,CD=x, ∴FA=2, BD ? 4 ? x 2 ? 0 ? x ? 2 ?, ∴S
ABCD

? CD BD ? x 4 ? x 2 ,

∴ V?x? ? S

1 3

ABCD

FA ?

2 x 4 ? x2 ?0 ? x ? 2?. 3

(2) 方法一: 要使 V (x) 取得最大值, 只需 x 4 ? x 2 ? x 2 ?4 ? x 2 ? ?0 ? x ? 2 ? 取得最大值,
x2 ? 4 ? x2 2 ) ? 4, ∵ x ?4 ? x ? ? ( 2
2 2

∴ V?x? ? ? 2 ? . 当且仅当 x2=4-x2,即 x ? 2 时等号成立. 故 V(x)的最大值为 .
? x 4 ? x2 ? 方法二: V(x) ?
2 2 ? ? x 2 ? 2 ? ? 4. 3

2 3

4 3

4 3

2 3

2 ? x 4 ? 4x 2 3

∵0<x<2,∴0<x2<4,

. ∴当 x2=2,即 x ? 2 时,V(x)取得最大值,且 V(x) max ?

4 3

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