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2013北京高考数学文科试题及答案


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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学(文)
第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。 (1)已知集合 A ? {?1, 0,1} , B ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则 A (A) {0

} (B) {?1, 0} ) (C) a ? b
2 2

B?(

) (D) {?1, 0,1}

(C) {0,1}

(2)设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( (A) ac ? bc (B)

1 1 ? a b

(D) a ? b
3

3

(3)下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上单调递减的是( (A) y ?

) (D) y ? lg | x |

1 x

(B) y ? e

?x

(C) y ? ? x ? 1
2

(4)在复平面内,复数 i (2 ? i ) 对应的点位于( (A)第一象限 (B)第二象限

) (C)第三象限 (D)第四象限 ) 错误!未

(5)在 ?ABC 中, a ? 3 , b ? 5 , sin A ? (A)

1 错误!未找到引用源。 5

1 ,则 sin B ? ( 3 5 (B) 9

找到引用源。 (C)

5 错误!未找到引用源。 3


(D)1

(6)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( (A) 1 (B)
2

2 610 13 (C) (D) 3 987 21

(7)双曲线 x ? (A) m ?

y2 ? 1的离心率大于 2 的充分必要条件是( m
(B) m ? 1 (C) m ? 1 (D) m ? 2



1 2

P P (8)如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 为对角线 BD 1 的三等分点,
到各顶点的距离的不同取值有( ) (A) 3 个 (B) 4 个 (C) 5 个

D1 A1 B1

C1

(D) 6 个

P
1

A

D B

C

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 (1, 0) ,则 p ? ____;准线方程为 _____。 (10)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________。 ( 11 ) 若 等 比 数 列 {an } 满 足 a2 ? a4 ? 20 , a3 ? a5 ? 40 , 则 公 比

q ? __________;前 n 项 Sn ? _____。

? x ? 0, ? (12)设 D 为不等式组 ? 2 x ? y ? 0, 表示的平面区域,区域 D 上的点与点 (1, 0) 之间的距 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
离的最小值为__。 (13)函数 f ( x) ? ?

log x, x ? 1 ? ? 1 2 ? ? 2,
x

的值域为_________。

x ?1

(14)已知点 A(1, ?1) , B(3, 0) , C (2,1) ,若平面区域 D 由所有满足 AP ? ? AB ? ? AC ( 1 ? ? ? 2 , 0 ? ? ? 1 )的点 P 组成,则 D 的面积为__________。 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ?
2

1 cos 4 x 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及最大值; (Ⅱ)若 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 f (? ) ?

2 ,求 ? 的值。 2

(16)(本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气 质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 15 日 中的某一天到达该市,并停留 2 天。

2

(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率; (Ⅱ)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

(17) (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平 面 PAD ? 底面 ABCD , PA ? AD 。 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ) PA ? 底面 ABCD ; (Ⅱ) BE / / 平面 PAD ; (Ⅲ)平面 BEF ? 平面 PCD 。

P

F A B E C

D

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x 。 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a )) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值。 (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。

(19) (本小题共 14 分)

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A , C 两点, O 为坐标原点。 直线 y ? kx ? m (m ? 0) 与椭圆 W : 4
(Ⅰ)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (Ⅱ)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形。

(20) (本小题共 13 分) 给定数列 a1 , a2 , ???, an 。对 i ? 1, 2, ???, n ? 1 ,该数列前 i 项的最大值记为 Ai ,后 n ? i 项

ai ?1 , ai ?2 , ???, an 的最小值记为 Bi , di ? Ai ? Bi 。
(Ⅰ)设数列 {an } 为 3 , 4 , 7 , 1 ,写出 d1 , d2 , d3 的值;
3

(Ⅱ)设 a1 , a2 , ???, an (n ? 4) 是公比大于 1 的等比数列,且 a1 ? 0 。证明: d1 , d2 , ???, d n?1 是 等比数列。 (Ⅲ)设 d1 , d2 , ???, dn?1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1 ? 0 ,证明: a1 , a2 , ???, an?1 是等差 数列。

4

5

6

7

8

9


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