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2014年上海市五校联考教学调研数学(理科)试卷2014.03.13


2013 学年第二学期五校联考教学调研数学(理科)试卷
满分 150 分,时间 120 分钟 2014.03

一、填空题(共 14 题,满分 56 分) 1、 已知线性方程组的增广矩阵为 ? 2、复数

?1 1 6 ? ?4? , 若该线性方程组的解为 则 a ? _______. ? ?2? , ?0 a 2 ? ? ?

r />
5i 的虚部为________. 2?i

3 、 在 极 坐 标 系

? ? ,? ?? 0 ? ? ? 2? ?

中 , 曲 线 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 1 与 曲 线

? ? sin ? ? cos ? ? ? 1 的交点的极坐标为____________.
1? ? 4、 已知 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 4 的最小值为 n , 则二项式 ? x ? ? 的展开式中 x 2 项的系数为 x? ?
________. 5、已知 f ? x ? 是奇函数,若 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 且 g ?1? ? 1 ,则 g ? ?1? ? ____________. 6、设 P 为函数 f ? x ? ? sin ? x 的图像上的一个最高点。 Q 为函数 g ? x ? ? cos ? x 的图像上 的一个最低点,则 PQ 的最小值为____________. 7、若某公司从五位大学毕业生中录用 3 人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的 概率为____________. 8、过点 P ?1,1? 的直线,将圆形区域
n

?? x, y ? x +y
2

2

? 4 分为两部分,使得这部分面积之差

?

最大,则直线的方程为____________. 9、在右图的斜截圆柱中,已知圆柱的地面直径为 40cm , 母线长最短 50cm ,最长 80cm ,则斜圆柱的侧面面积

S ? ___________ cm2
x 2 ? 8 y 上的一点, F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心,以 10、设 M ? x0 , y0 ? 为抛物线 C:

FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是____________.
11、在正项等比数列 ? an ? 中,a5 ? 最大正整数 n 的值为___________. 12 、 定 义 : 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 ? a , b ? 上 存 在 x0

1 ,a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ? an 的 2

?a ?

x b, 满 足 0 ? ?

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a) ,则称 x0 是函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 上的一个均值点,已知函数 b?a

f ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 在区间 ? ?1,1? 上存在均值点,则实数 m 的取值范围是_____________.

13、 若函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 1 ?

1 1 , ? 时, f ( x) ? x , , 当 x ? ?0 若在区间 ? ?1,1? 上, f ( x ? 1)

g ? x ? ? f ? x ? ? mx ? m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是___________.
14、在实数集 R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”.类似的,我们再 平面向量集 D = a a ? ? x, y ? , x ? R, x ? R 上也可以定义一个“序”的关系,记为“>”. 定义如下:对于任意两个向量 a1 ? ? x1 , y1 ? , a2 ? ? x2 , y2 ? , a1 ? a2 当且仅当“ x1 ? x2 ”或 “ x1 ? x2且y1 ? y2 ”. 按上述定义的关系“>” ,给出如下四个命题:

?

? ?

?

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0= ? 0, 0 ?,则e1 ? e2 ? 0; ①若 e1 ? ?1, 0 ? , e2 ? ? 0,1?,
②若 a1 ? a2 , a2 ? a3 , 则a1 ? a3 ; ③若 a1 ? a2 ,则对于任意 a ? D, a1 ? a ? a2 ? a ; ④对于任意向量 a ? 0 , 0= ? 0, 0 ? ,若 a1 ? a2 ,则 a ? a1 ? a ? a2 . 其中真命题的序号为___________. 二、选择题(共 4 题,满分 20 分) 15、 “ a ? 1 ”是“ f ? x ? ? x ? a 在区间 ? ??,1? 上为减函数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 ) )

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16、 设 S n 是公差为 d ? d ? 0 ? 的无穷等差数列 ? an ? 的前 n 项和, 则下列命题错误的是 ( A.若 d ? 0 ,则数列 ? S n ? 有最大项; B.若数列 ? S n ? 有最大项,则 d ? 0 ; C.若数列 ? S n ? 是递增数列,则对任意 n ? N ? ,均有 Sn ? 0 ; D.若对任意 n ? N ? ,均有 Sn ? 0 ,则数列 ? S n ? 是递增数列. 17、过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们到直线 x ? ?2 的
2

距离之和等于 5,则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

18、设 A1、A2、A3、A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A1 A3 ? ? A1 A2 ? ? ? R ? ,

?????

?????

????? ????? 1 1 A1 A4 ? ? A1 A2 ? ? ? R ? ,且 ? =2 , 则称 A3,A4 调和分割 A1,A2 ,已知平面上的点 C , D

?

?

调和分割点 A, B ,则下列说法正确的是( A. C 可能是线段 AB 的中点 C. C , D 可能同时在线段 AB 上 三、解答题(共 5 大题,满分 74 分) 19 、 ( 本 题 满 分 12 分 ) 在

) B. D 可能是线段 AB 的中点 D. C , D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

? ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 满 足

a? c sin A ? s i nB . ? b s i n A? s i n C (1)求角 C ; (2)求 sin A ? sin B 的取值范围.

20、 (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面ABCD ,地面 ABCD 是 直角梯形, ?ABC =90? , AD ? BC ,且 PA ? AD ? 2 , AB ? BC ? 1 , E 为 PD 的中点. (1)求二面角 E ? AC ? D 余弦值; (2)在线段 AB 上求一点 F (不与 A, B 两点重合) , 使得 AE ? 平面PCF ,并求出 AF 的长.

P E A D

B

21. (本题满分 14 分) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛 (如图所示) , 该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大圆弧所在的圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 ? (弧 度). (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线部 分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y , 求 y 关于 x 的函数关系式, 并求出 x 为何值时, y 取得最大值?

C

?
O

22.(本题满分 16 分)如图,在正方形 OABC 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ?10, 0 ? ,

. 9和 点 C 的 坐 标 为 ? 0, 1 0 ? . 分 别 将 线 段 OA 和 AB 十 等 分 , 分 点 分 别 记 为 A1 , A2 , . . . A B1 , B2 ,....B9 ,连接 OB1 ,过 A1 做 x 轴的垂线与 OB1 交于点 P1 ( i ? N * ,1 ? i ? 9 ).
(1)求证:点 Pi ( i ? N ,1 ? i ? 9 )都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程;
*

(2) 过点 C 做直线与抛物线 E 交于不同的两点 M , N , 若 ?O C M 求直线的方程;

与 O C N ?

的面积比为 4:1,

(3) 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 E 的焦点 F , 且与抛物线交于 A、 若 ? 为锐角, B 两点, 作线段 AB 的垂直平分线 m 交 y 轴于点 P ,证明 FP ? FP cos 2? 为定值,并求此定 值.

y
C

B B9
Bi Pi
B2 B1 A9 A

O

A1 A2

Ai

x
c2 ? x c ?1

S n 为 an 的前 n 项和, 23. (本题满分 18 分) 在正整数 ? an ? 中, 若点 ? an , S n ? 在函数 y ?
的图像上,其中 c 为正整数,且 c ? 1 . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 设数列 ?bn ? 满足 bn ?

n ? 2n ? an ? 2 , 当 c ? 2 的时候, 是否存在正整数 m、n (1 ? m ? n ) , 2n ? 1

使得 b1 , bm , bn 成等比数列?若存在,求出所有的 m、n 的值,若不存在,请说明理由; (3)设数列 ?cn ? 满足 cn ? ?

? n, n ? 2 k ? 1 3 , k ? N * ,当 c ? 的时候,在数列 ?cn ? 中, 3 ? 2 an , n ? 2 k

是否存在连续的三项 cr , cr ?1 , cr ? 2 ,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足 条件的正整数 r 的值;若不存在,说明理由.


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