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一个简便的锐角判别法——第39届国际数学竞赛一道几何题的简证


2000 年第 5 期

中学数学

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课外 园地

一个简便的锐角判别法
— — —第

39 届 国 际 数 学 竞 赛 一 道 几 何 题 的 简 证
550003   贵州教育学院   李长明

1  一个直角判别法
在 Rt △AB C 中 , 若
AD 是斜边 B C 上的高 ,

如图 1 , 则 AD 2 = BD DC. 这是直角三角形中 我们熟知的一个基本定 图1 理 , 也是比例中项作图的依据 . 只要肯定垂足 在边 BC 之内 , 其逆命题亦真 , 即有 若 △ABC 中 BC 边 上 的 高 A D 位 于 △ABC 内 , 则 ∠A = 90°  Ζ  AD 2 = BD D C ( 1) 利用相似形不难证明 . 故略之 .

程是先不分主次地 找出许多等 角关系 ; 接着 由正弦定理推导一 些比例关系 ; 然 后又转弯 抹角地算出 I R2 + I S2 - RS 2 > 0 , 最后依余弦 定理知 co s ∠RI S > 0 , 从而断定原题为真 .

4  判别新法 ,直接简明
为找出新法 , 先分析如下 ∵ B K、 B M 是自 B 引的两条切线 , ∴ IB ⊥ KM ,  ∴ I B ⊥ RS . 即  IB 是 △I RS 中一条天然的高 . 显然 B 在 RS 内 , 这正是运用锐角判别法 ( 2) 的基 础 . 于是 , 只消比较 IB 2 与 RB BS 的大小 , 问 题即可解决 . 本题的一个特 点是等角关 系较多 ( 由角 平分线 及圆 所产 生的 ) . 但要 从中 抓住 主要 的、 有用 的 , 还须紧盯我们的目标 — — —比较 IB 2 与 RB B S 的大小 . 于是便容易发现 : RB 与 BS 所在的 △BRM 与 △B KS , 很可能是相 似形 . 沿此线索 , 便不会被一些用不上的等角 关系分散我们的注 意力 , 因而也 易于直达目 的 . 为叙述简便计 , 用 到的各角 , 以希腊字母 或数字表示 , 如图 4 , 则有 证明  ∵ B I 平分 ∠ KBM 且 α= α IB ⊥ RS ,  ∴  ′ . β β ∵  ∠ 1 ∠ 2 ′ ,
同位角 弦切角 对顶角

2  锐角 、 钝角判别法
上述直角判别法 , 不难推广到锐角、 钝角 的情形 . 即有 设 AD 是 △ABC 的高 , 且垂足 D 在 BC 边 上 ( 包括端点 ) , 则有 ∠A < 90°  Ζ  AD 2 > BD D C ( 2) ∠A > 90°  Ζ  AD 2 < BD D C ( 3) 与以 B C 为斜边的 Rt △A′ BC 相比较 ( 如图 2 , 图 3) , 也极易证之 . 故不赘述 .

∴   △BRM ∽ △ B KS , 图 2          图 3
BM BS = , RB BK 即  BM B K = RB

∴   

3  一道赛题 ,原法简介
设 I 是 △AB C 的 内心, K、 L、 M 分 别为 △ABC 的内切圆在 边 BC 、 CA 、 AB 上的切点 , 已知通过点 B 且与 M K 平行 的直 线 分 别与 直 线 L M 及 L K 交于 R 及 S. 求证 : ∠RI S 是一锐 图4 角. 这是第 3 9 届国际数学奥林匹克竞赛中的 第 5 题 . 文 [ 1 ] 编译的参考答案较繁 . 基本过

BS .

但   BM = B K  ( 等长切线 ) , BM < BI  (直角边小于斜边 ) , ∴   B I2 > RB BS . 故由判别法 ( 2) 知  ∠RI S 是锐角 .

5  回顾比较 ,几点启示
与原法比 较 , 我们可以得到 如下的有益 启示 : (1 ) 紧盯目标 , 是分清主次 、 发现捷径的 关键 . 在原法中 , 列出的等角关系有 6 组之多 ,
涉及之角又多达 1 5 个 . 而新法只需两组等角

关系 , 只与 6 个角有关 . 在错综复杂的许多等

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中学数学

2000 年第 5 期

蚂蚁 、 通道与数学建模
215009   苏州铁道师范学院数学系   王艳明
  数学建模过程含有几个步骤 : 先承认一 种情境 , 作一些假设 , 把这些假设转为数学论 述 , 再解决数学问题 , 最后根据情境解释这些 结果 . 本文讨论一个昆虫学中情境的数学建模 实例 . 通过它可以阐明实际中导数的应用 , 使 学生了解并参与数学 建模的过程 , 让学生知 道数学可以应用于许多有趣的领域 . 当然 , 这些问题 , 我们有 的考虑 , 有的不 得不舍弃 , 因为鼓励学 生去努力做 是我们的 工作重心 . 学生的假设 , 有 些要精确 , 有些可 以近似 , 我们希望学生通过实践 , 了解并参与 数学建模过程 , 达到解决问题的目的 .

2  蚂蚁建立通道的模型

在我们的问题 、 经验和对蚂蚁的观察中 , 我们只 注意情 境的 简单 情况 而不 是复 杂情 1  问题的提出 况 , 我们考虑下面五个假设 : 一只蚂蚁建立一个通道用多长时间 ? ①蚂蚁将建立一个平直的通道 ; 我们通过向 学生提问 , 就这个 问题展开 ②蚂蚁将在均匀的 、 潮湿的优质沙土上 讨论 . 他们要时刻注意 : 建立通道 ; 通道有多长 ? ③蚂蚁在搬运东西时和没有负担时的速 它们在何种材料中挖掘 ? 度不变 ; 仅一只蚂蚁 , 还是一群蚂蚁 ? ④通道的横截面为恒定不变 ; 通道是什么形状 , 弯曲的 、 向上的 、 向下 ⑤蚂蚁正在一个沙墙边掘进通道 . 的、 还是直的 ? 最后一个假设是希望问题不至太难 . 通道有 多大 ? 你 知道 它的 圆 周是 2cm 、 当考虑我们的原始问题 : “一只蚂蚁建立 1cm , 还是通道小的只够蚂蚁通过 ? 一个通道用多长时间 ?” 时 , 我们更确切地问 : 蚂蚁为什么建立通道 ? “一只蚂蚁在均匀 、 潮湿 、 优质 的沙子中挖掘 我们 能否 在蚂 蚁村 观察 到这 样一 个通 一条长 xcm 的平直通道用多少时间 ?” 道? 先假定上述问题中通道长为 x , 所用时间 角关系中 , 之所以分离几个有用的关系 , 完全 得益于我们的思考紧盯着欲达的目标 . ( 2 ) 不迷信书本不迷洋 . 较为繁琐的原证 法 [ 1] , 还是译自国际数学奥林匹克赛后公布的 参考答案 . 如果迷信 “国际” 、 “权威” , 便只会 辗转传抄 , 或改头换面 , 新法便常会因迷信的 束缚而胎死腹中 . ( 3 ) 有利有弊 、 扬长避短 . 比较不同的方 法 , 常常是利弊共存 , 忽视任何一面都会影响 我们以后的 灵活运用 . 譬如原法 , 虽说较繁 , 但却有适用面广又较 准确的优点 , 因为没有 适当的相似形 , 正 、 余弦定理 照样有效 , 而且 可用反三角函数确切 表示出角的 大小 . 新法 虽简便 , 但无上述优越性 .   原证法也是利用余弦定理 . 现用本文介 绍的判别法 ( 2) . 证明   在 △AB C 中 , 自 A 作 A D ⊥ BC 于 D , 如图 5 . 连接 V D , 容 易看出 V D 是斜 线 A H 在平面 VBC 上的射影 . 故由 三 垂 线 定 理 知 VD ⊥ BC. 图5 2 ∵ 在 Rt △BV C 中 , VD = BD D C , 又  AD > V D  ( 斜线大于射影 ) , ∴   AD2 > BD DC , ∴   ∠BA C 为锐角 . 同理  ∠CAB , ∠ABC 也是锐 角 , 故 本 题得证 . 参考文献 1  许以超. 第 39 届国际数学奥林 匹克试 题及解答 . 数学通报 ,1 99 9 , 3 ( 收稿日期 :2 000 203 207 )

6  判别之法 ,再显效用
197 9 年全国统一高考有如下一题 : 设三棱锥 V2AB C 中 ,

∠A VB = ∠BV C = ∠C V A = 9 0° . 求证 : △A B C 是锐角三角形 .


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