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2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题及答案


2010 年全国高中数学联赛甘肃省预赛
一.填空题(每小题 7 分,共 56 分) 1. 已知 k1 ? k2 ? ? ? kn 是非负整数,满足 2 1 ? 2 2 ? ? ? 2
k k kn

? 227 ,则 k1 ? k2 ? ? ? kn ?

.

2. 设 a ? 0 ,函数 f (

x) ?| x ? 2a | 和 g ( x) ?| x ? a | 的图像交于 C 点且它们分别与 y 轴交于 A 和 B 点, 若三 角形 ABC 的面积是 1 ,则 a ? .

3. 已知 Sn 是公差为正数 q 的等差数列的前 n 项之和,如果 围是 .

S n ? 210 在 n ? 6 时取到最小值, 则 q 的取值范 n

4. 已知函数 y ? x3 在 x ? ak 的切线和 x 轴交于 ak ?1 ,如果 a1 ? 1 , 则 lim S n ?
n ??

.

5. 函数 f : R ? R 对于一切 x, y, z ? R 满足不等式

f ( x ? y ) ? f ( y ? z ) ? f ( z ? x) ? 3 f ( x ? 2 y ? z ) ,


f (1) ? f (0) ?



6. 锐角三角形 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 是 ; 7. P 是椭圆

b a 1 1 ? ? 4cos C ,则 ? 的最小值 a b tan A tan B

???? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 上的一动点, F1 和 F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 ? PF2 的取值范围是 12 4



8. 用 3 种颜色给立方体的 8 个顶点染色,其中至少有一种颜色恰好染 4 个顶点.则任一棱的两个端点都不 同色的概率是 ;

二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分) 9. 已知 sin ? ? sin ? ?

1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 1 1 , cos ? ? cos ? ? ,求 的值. 5 3 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ?

10. 设 a1, a2 ,?, an 是 1, 2,?, n 的一个排列( n ? 3 ) ,求证:

2 ? n ? 2? 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? . 2 2 2 2 2 2 2 2 a12 ? a2 ? a3 a2 ? a3 ? a4 a3 ? a4 ? a5 an ?2 ? an ?1 ? an n ? n ? 1?? 2n ? 1?
2

11.对任意的正整数 n ,证明恒等式

?k
k ?1

n

n k 1 ? 2 ?k . 4 ? k 2 ? 1 n ? n ? 1 k ?1

- 1 -

12. 设 S 是一些互不相同的 4 元数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 的集合, 其中 ai ? 0 或 1 , i ? 1, 2,3, 4 . 已知 S 的元素个 数不超过 15 且满足: 若 (a1 , a2 , a3 , a4 ),(b1 , b2 , b3 , b4 ) ? S ,则

(max{a1 , b1}, max{a2 , b2}, max{a3 , b3}, max{a4 , b4}) ? S


(min{a1 , b1}, min{a2 , b2}, min{a3 , b3}, min{a4 , b4}) ? S .
求 S 的元素个数的最大值.


1. 19 提示:



227 ? 1 ? 2 ? 32 ? 64 ?128 ? 2 0 ? 2 1 ? 2 5 ? 2 6 ? 2 7 ,
故 k1 ? k2 ? ? ? kn ? 0 ? 1 ? 5 ? 6 ? 7 ? 19 ,于是应填 19 . 提示:由 f ( x ) 和 g ( x) 的图像知三角形 ABC 是底为 a 的等腰直角三角形,故其面积 1 ?

2.

2

a2 ,于是 4

a ? 2 . 应填 2 .
3. [10,14] 提示:设 an ? a1 ? (n ?1)q ,则 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) q ,于是 2 Sn ? 210 q 210 q ? n? ? a1 ? . n 2 n 2 6q 210 5q 210 7q 210 q ? ? min{ ? , ? } ,由此可得 5 ? ? 7 ,故 q 的取值范围是 [10,14] . 2 6 2 5 2 7 2

4.3 提示: 由 y ? x3 知 y? ? 3x2 ,于是 y ? x3 在 x ? ak 的切线方程为
3 2 y ? ak ? 3ak ? x ? ak ? .

它与 x 轴交于点 (ak ?1 ,0) ,故
3 2 ?ak ? 3ak ? ak ?1 ? ak ? ,

由此可得 ak ?1 ?

2 ak .又 a1 ? 1 ,故 3

2 1 ? ( )n 3 ? 1 ? 3, lim Sn ? lim n ?? n ?? 2 2 1? 1? 3 3
所以应填 3 . 5. 0 提示:

x ? ? y ? z ? f (0) ? f (0) ? f ? 2x ? ? 3 f ? 0? ? f ? 2x ? ? f ? 0? ,

x ? y ? ? z ? f (2 x) ? f (0) ? f (0) ? 3 f (2 x) ? f (0) ? f (2 x)
由此得

f (0) ? f ( x) ? f (0) ,

从而

f ( x) ? f (0) ? c (常数).故应填 0 .

6.提示:由题设及余弦定理

4ab ?
于是

a 2 ? b2 ? c 2 ? a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? 2c 2 , 2ab

1 1 cos B sin A ? sin B cos A ? ? tan A tan B sin A sin B ? sin( A ? B) sin C sin 2 C ? sin A sin B sin C sin A sin B sin C

c2 a 2 ? b2 ? ? ab sin C 2ab sin C 2ab 1 2 ? ? ? 2ab sin C sin C 3
而上式等号成立当且仅当 A ? B ? C

1 1 2 ? ? . tan A tan B 3
7. [?4, 4] 提示:设 P( x0 , y0 ) , F ? ?c,0? , F2 ? c,0? ,则有 1

???? PF1 ? (?c,0) ? ( x0 , y0 ) ? (?x0 ? c, ? y0 ) , ???? ? PF2 ? (c,0) ? ( x0 , y0 ) ? (c ? x0 , ? y0 ) ,
于是

???????? ? 2 2 2 2 PF1?PF2 (?x0 ? c, ? y0 )(c ? x0 , ? y0 ) ? x0 ? c2 ? y0 ? x0 ? y0 ? c2 .
注意到 b ? x0 ? y0 ? a ,即有
2 2 2 2
2 2 b2 ? c2 ? x0 ? y0 ? c2 ? a2 ? c2 ,

也即

???????? ? b2 ? c2 ? PF1?PF2 ? a2 ? c2
(其中 a ? 12, b ? 4, c ? a ? b ? 8 ) ,故有 ?4 ? PF ?PF2 ? 4 . 1
2 2 2 2 2

???????? ?

8.

1 35

提示:当其中一种颜色染 4 个顶点时,其余两种颜色可任意染色剩余的 4 个顶点.于是满足要求

的染色方法共有

- 3 -

1 0 1 2 3 C3 ? C84 ? (C4 ? C4 ? C4 ? C4 ) ? 3? 70 ?15 (种)

若要求任一棱的两个端点都不同色, 则一种颜色染 4 个顶点的染法只有 2 种, 此时其余两种颜色仍可任意染 色剩余的 4 个顶点.于是这样的染法共有
1 0 1 2 3 C3 ? 2 ? (C4 ? C4 ? C4 ? C4 ) ? 6 ?15 (种)

故所求概率为

6 ? 15 1 ? . 3 ? 70 ?15 35

9.



sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2

?

1 5 1 3


cos ? ? cos ? ? 2 cos
可得 tan

? ??
2

cos

? ??
2

?

? ??
2

?

3 ,于是 5

3 6 5 ? 5 ? 15 . 2 tan ?? ? ? ? ? ? ? ?? 9 16 8 1 ? tan 2 1? 2 25 25 2 tan 2?
注意到

? ??

tan ?? ? ? ? ? ? ?
从而

1 ? cos 2 ?? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ?

1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 15 = . 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? 8
10.由柯西不等式容易得到:
? ? ?

?a12 ?a22 ?a32 ???a22 ?a32 ?a42 ?????an2?2 ?an2?1 ?an2 ???? ?

? ? 2 ? ? 1 1 1 ? ??? ? n?2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2? an ? 2 ? an ?1 ? an ? ? a1 ? a2 ? a3 a2 ? a3 ? a4 ? ?

?

?

从而有

1 1 1 ? 2 ?? ? 2 2 2 2 2 2 2 a12 ? a2 ? a3 a2 ? a3 ? a4 an?2 ? an ?1 ? an

(n ? 2) 2 ? 2 2 2 2 2 3(a12 ? a2 ? ? ? an ) ? 2(a12 ? an ) ? (a2 ? an ?1 ) ? ? (n ? 2) 2 2 2 3(a12 ? a2 ? ? ? an ) (n ? 2) 2 1 n(n ? 1)(2n ? 1) 2

2(n ? 2)2 ? n(n ? 1)(2n ? 1)
11.证明:
n n k k k ?? 4 ?? 2 ? k 4 ? k 2 ? 1 k ?1 k ? 2k 2 ? 1 ? k 2 k ?1 (k ? 1)2 ? k 2 k ?1 n

??

k 1 n 1 1 ? [? ( 2 ? 2 )] 2 2 2 k ?1 k ? 1 ? k k ? 1 ? k k ?1 (k ? 1 ? k )(k ? 1 ? k )

n

1 1 1 n2 ? n 1 n2 ? n ? (1 ? 2 )? ? 2 ? ? 2 n ?1? n 2 n ? 1 ? n n2 ? 1 ? n 2

?

n 1 ?k . n 2 ? n ? 1 k ?1

(0,1, 0, 0) , 12. 显然所有可能的 4 元数组有 16 种. 因为至少有一个那样的 4 元数组不在 S 中, 所以 (1, 0, 0, 0) ,
(0, 0,1, 0) 和 (0, 0, 0,1) 中至少有一个不在 S 中,若不然由题中条件可推出所有那样的 4 元数组都在 S 中,不妨设 (1,0,0,0) ? S .
此时由题中条件又知 (1,1, 0, 0) , (1, 0,1, 0) 和 (1, 0, 0,1) 中至少有 2 个不能在 S 中,不 妨设 (1,1, 0, 0) 和 (1, 0,1, 0) 不在 S 中.此时又可知 (1,1,1, 0) 和 (1, 0, 0,1) 不能同时在 S 中,不妨设 (1,1,1, 0) 不 在 S 中.于是 S 的元素个数不超过 16 ? 4 ? 12 个. 现在设 S 是所有可能的 16 个 4 元数组中去掉 (1, 0, 0, 0) , (1,1, 0, 0) , (1, 0,1, 0) 和

(1,1,1, 0) 后所成的集合,我们要证 S 满足题中条件,从而 S 的元素个数最大值为12 .
任取 (a1 , a2 , a3 , a4 ),(b1 , b2 , b3 , b4 ) ? S . (1)若 a1 ? b1 ? 0 或 a4 ? 1 或 b4 ? 1,则显然

(max{a1, b1}, max{a2 , b2}, max{a3 , b3}, max{a4 , b4})
- 5 -

不等于上述去掉的 4 个 4 元数组中任何一个, 从而属于 S . (min{a1 , b1}, min{a2 , b2 }, min{a3 , b3}, min{a4 , b4}) 又 (2)若 a1 ? 1 或 b1 ? 1 且 a4 ? b4 ? 0 ,则

(max{a1, b1}, max{a2 , b2}, max{a3 , b3}, max{a4 , b4}) ? (1, max{a2 , b2}, max{a3 , b3},0)
(a1 , a2 , a3 , a4 ) 或 (b1 , b2 , b3 , b4 ) 不属于 S ,这种情况不会出现.类似地有:
(3)若 a1 ? 0 或 b1 ? 0 或 a4 ? b4 ? 1 ,则显然











(min{a1 , b1}, min{a2 , b2}, min{a3 , b3}, min{a4 , b4})
不等于上述去掉的 4 个 4 元数组中任何一个,从而属于 S . (4)若 a1 ? b1 ? 1 且 a4 ? 0 或 b4 ? 0 ,则

(min{a1, b1}, min{a2 , b2}, min{a3 , b3}, min{a4 , b4}) ? (1, min{a2 , b2}, min{a3 , b3},0) ,
由此推出 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 或 (b1 , b2 , b3 , b4 ) 不属于 S ,这种情况也不会出现. 综上所述, S 是满足题目要求的,故 S 的元素个数最大值就是 12 .


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