当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(38)


加试模拟训练题(38) (附详细答案) 1、 一条直线 l 与⊙O 不相交,E 是 l 上一点,OE⊥l,M 是 l 上任意异 于 E 的点,从 M 作圆的两条切线分别切圆于 A 和 B,点 C 是 MA 上的点, 使得 EC⊥MA,D 是 MB 上的点,使得 ED⊥MB,直线 CD 交 OE 于 F,求证:F 的位置不 依赖于 M 的位置. 2、设函数 f:R→R 适合条件:

f(x3+y3)=(x+y)((f(x)2-f(x)f(y)+(f(y))2) x、y∈R.试证:对一切 x∈R,都有 f(1996x)=1996f(x) 3、 某地区网球俱乐部的 20 名成员举行 14 场单打比赛,每人至少上场一次.求证:必有 6 场比赛,其 12 个参赛者各不相同. 4、 设 S ? {1, 2, , 400}, T ? {a1 , a2 , , a200 }是S的一子集, 且 满足 (1)T 的任两个数之和不等于 401; (2) ?a i ?1 200 i ? 38452 。 证明 T 中奇数的个数是 4 的倍数,且 T 中所有数字的平方和为一定数。 加试模拟训练题(38) 1、 一条直线 l 与⊙O 不相交,E 是 l 上一点,OE⊥l,M 是 l 上任意 异于 E 的点,从 M 作圆的两条切线分别切圆于 A 和 B,点 C 是 MA 上 的点,使得 EC⊥MA,D 是 MB 上的点,使得 ED⊥MB,直线 CD 交 OE 于 F,求证:F 的位置不依赖于 M 的位置. 【题说】 第三十五届(1994 年)IMO 预选题.本题由塞浦路斯提供. 【证】 设 EM=x,OE=a,圆半径为 R,连结 OM.设 OM 交 AB 于 J, OE 交 AB 于 H,则易知 OJ⊥AB.从而∠AJM=∠OEM=90?,J、M、E、H 四点共圆.OH ×OE=OJ×OM=OA2, a2-R2 R2 即 OH= ,EH=OE-OH= a a 设 E 在 AB 上的射影为 G.由于 E、A、B 都在以 OM 为直径的圆上,对这个圆的内接三角 形 MAB,E 点的西摩松线 CD 通过 G 点. 连 EB.由 E、G、B、D 共圆,∠EGD=∠EBD.由 E、B、O、M 共圆,∠EBD=∠EOM =90?-∠GHE.所以∠FGH=90?-∠EGD=∠GHE.从而 F 是直角三角形 EGH 斜边的中 a2-R2 1 点.EF= EH= 为定值,故 F 为定点,它的位置与 M 的位置无关. 2 2a 2、设函数 f:R→R 适合条件: f(x3+y3)=(x+y)((f(x)2-f(x)f(y)+(f(y))2) x、y∈R.试证:对一切 x∈R,都有 f(1996x)=1996f(x) 【题说】1996 年中国数学奥林匹克(第十一届数学冬令营)题 3. 【证】在(1)中令 x=y=0,得 f(0)=0. 在(1)中令 y=0,得 f(x3)=x(f(x))2,x∈R (2) (1) 因此,当 x≥0 时,f(x)≥0;x≤0 时,f(x)≤0. 令 S={a|a>0,f(ax)=af(x),x∈R} 由(2)及 S 定义,有 再证:若 a、b∈s,则 a+b∈S. 利用(1)~(3),有 =(a+b)f(x),x∈R 因为 1∈S,故 1+1=2∈S,由此推知,任何正整数 n∈S,特别地 n=1996∈S.从 而 f(1996x)=1996f(x),x∈R 3、 某地区网球俱乐部的 20 名成员举行 14 场单打比赛,每人至少上场一

相关文章:
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(30)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(30)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(30) (附详细答案) 1、 设 ABCDEF 是凸六边形,满足 AB=BC=CD, ...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(28)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(28)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(28)_学科竞赛_...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(18)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(18)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(18) 1 、圆 S1 , S 2 , S3 均与圆 S 外切,切点分...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(83)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(83)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(83)_学科竞赛_...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(23)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(23)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(23)_学科竞赛_...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(50)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(50)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(50) (附详细答案) 1.如图,O、I分别为?ABC的外心和内心,AD是BC边...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(5)(附答案)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(5)(附答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(5) 1.⊙O过△ABC 顶点 A,C,且与 AB, BC 交于 K,N...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(80)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(80)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题( 80) (附详细答案) 1 ABCD 是一个平行四边形,E 是 AB 上的一点...
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(26)
2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(26)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(26)_学科竞赛_...
更多相关标签:
全国中学生物理竞赛 | 全国中学生英语竞赛 | 中学生英语能力竞赛 | 中学生安全知识竞赛 | 全国中学生数理化竞赛 | 中学生物理竞赛 | 中学生法律知识竞赛 | 全国中学生生物学竞赛 |