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2009-2010(2)期末试卷B


2009 —2010 学年第二学期

考试统一用答题册
题号 成绩 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 总分

考试课程 班 姓 级 名

复变函数与积分变换 B 学 号 成 绩

2010 年 6 月 17 日

1B

(试题共 5 页)

/>一、选择题(每题 3 分,共 27 分) 1.若函数 f ( z ) ? x ? 2 xy ? y ? i ( y ? axy ? x ) 在复平面内处处解析,那么实常
2 2 2 2

数a ? ( (A) 0

) (B) 1 ) (B)复数的模不变,辐角增加?/2。 (D)复数的模减少,辐角增加?/2。 )
1 2

(C) 2

(D) ? 2

2.一个复数乘以 i ,则(

(A)复数的模不变,辐角减少?/2 (C)复数的模增加,辐角减少?/2。

3.设 C 为从原点到 1 ? 2 i 的有向线段,则 ? Re z d z ? (
C

(A)

1 2

? i

(B) ?

1 2

? i

(C)

1 2

? i

(D) ?

? i

4. 设 c 为正向圆周 z ? 2 ,则 ? (A)2 ? i 5.若 c n
?2 , ? ? n ?3 ,
n

dz
C

=(

) (C)-2 ? i
??

z

(B)2 ?
n ? 0 ,1 , 2 , ? n ? ? 1,? 2 ,?

(D)-2 ?
n

, 则双边幂级数

?
n ? ??

c n ( z ? 1)

的收敛域为(



(A)

1 3

? | z |?

1 2

(B)

1 3

? | z ? 1 |?

1 2

(C) 2 ? | z |? 3

(D) 2 ? | z ? 1 |? 3

6.在下列函数中, Re s [ f ( z ), 0 ] ? 0 的是(
e
z


sin z z 1 z

(A)

f (z) ?

? 1
2

(B) f ( z ) ?

?

z

(C) f ( z ) ?

sin z ? cos z z

(D) f ( z ) ?
e

1
z

? 1

?

1 z

7.设 z ? 0 为函数 (A)5

1? e

z 2

( z ? sin z )

的 m 级极点,那么 m ? ( (C)3

) (D)2 )

(B)4

8.设 f ( t ) 的傅立叶变换为 F ( ? ) ,则 f ( 2 t ? 1 ) 的傅立叶变换为(

2B

(A)

1 2

?i

1 4

?

e

F(

?
2

)

(B)

1 2

?i

1 2

?

e

F(

?
2

)

(C)

1 2

i

1 4

?

e

F(

?
2

)

(D)

1 2

i

1 2

?

e

F(

?
2

)

9. L [ ? e
0

t

?3t

sin t d t ] ? (
1 1
2


1 1
2

(A)

s (s ? 3) 1

? 1

(B)

s (s ? 3) 1

? 1

(C) ?

1
2

s (s ? 3)

? 1

(D) ?

1
2

s (s ? 3)

? 1

二、

填空题(每题 3 分,共 27 分) 区域 (说明有界还是无界, 单连通还是多连通) . .
9 ? 6i 2

1. z | ? Re z ? 1 表示的点集是 | 2. 复数 cos( i ln 3 )

3. 设 f ( z ) ? z ?
3

z

2

? ( 3 ? 9 i ) z ,则 f ? ( z ) ? 0 的根为__

___

_____.

4. 若函数 u ( x , y ) ? x ? 3 xy 为某一解析函数的虚部, 则此解析函数为
3 2


?
2

5. 设 C 为 过 点

?
2

的正向简单闭曲线,则当 z 从曲线 C 内部趋向

时,

z? 2? 3i

lim

?
c

sin z (? ? z ) sin z (? ? z )
2 2

d? ?

,当 z 从曲线 C 外部趋向

?
2

时,

z? 2? 3i

lim

?
c

d? ?

.

6. Re s [

1 z ? sin z

, z ? 0] ?

.

7.若 z ? z 0 是函数 f ( z ) 的 m 级零点,则 z 0 是 f ( z ) 的
2

级零点。

8. 函数 F ( ? ) ?

1 4 ? ?
s s
2 2

2

的傅立叶逆变换为

.

9.函数 F ( s ) ?

? 1

的拉普拉斯逆变换为

.

3B

三、 分)计算积分 ? ( z ? z ) d z ,其中 C 为 C 1 : 从 ? 1 到 1 的下半单位圆周和 C (8
C

2

:从 1 到

? 1 的直线段所构成的封闭曲线.

四、 分)计算积分 ? (8
C

sin z (1 ? z ) z
3

dz ,其中 C 为不经过 0 ,1 的简单正向闭曲线.

4B

五、 (10 分)将 f ( z ) ?
(z

1
2

? 1 )( z ? 2 )

在适当的圆环域内展成以 2 为心的幂级数。

? ? ? t ? ?1 ?0, ? ?? a, ? 1 ? t ? 0 六 、 10 分 ) 计 算 函 数 f ( t ) ? ? ( 的傅立叶变换,并求积分 0 ? t ? 1 ?a, ? 0 , 1 ? t ? ?? ?

?

?? 0

1 ? cos ?

?

sin ? t d ? 的值,

5B

七、 (10 分)利用拉普拉斯变换求解微分方程
f ?? ? 2 f ? ? f ? sin t , t ? 0 , f ( 0 ) ? 1 , f ? ( 0 ) ? 0 . 。

6B


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