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苏教版必修三 2.4.2线性回归方程(1) 教案


§2.4

第 8 课时

线性回归方程(1)

教学目标 (1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量 间的相关关系; (2)在两个变量具有线性相关关系时,会在散点较长中作出线性直线,会用线性回 归方程进行预测; (3) 知道最小二乘法的含义, 知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性

回归方程系数公式 建立线性回归方程,了解(线性)相关系数的定义. 教学重点 散点图的画法,回归直线方程的求解方法. 教学难点 回归直线方程的求解方法. 教学过程 一、问题情境 1.情境: 客观事物是相互联系的 过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种 非因果关系 比如说:某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数 学是“因” ,物理是“果” ,或者反过来说 事实上数学和物理成绩都是“果” ,而真正的“因” 是学生的理科学习能力和努力程度 所以说,函数关系存在着一种确定性关系 但还存在着 另一种非确定性关系——相关关系 2.问题: 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系, 随机统计并制作了某 6 天卖出热茶的 杯数与当天气温的对照表: 0 26 18 13 10 4 ?1 气温/ C
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奎屯 新疆

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杯数

20
0

24

34

38

50

64

如果某天的气温是 ?5 C ,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗? 二、学生活动 为了了解热茶销量与气温的大致关系,我们以横坐标 x 表示气温,纵坐标 y 表示热茶销 量,建立直角坐标系,将表中数据构成的 6 个数对所表示的点在坐 系内标出,得到下图,今后我们称这样的图为散点图 (scatterplot). 从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线 函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系. 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取 (4,50),(18, 24) 这两点 直线; (2)取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相 (3)多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截 的平均值,作为所求直线的斜率、截距; ?????? 怎样的直线最好呢? 标



的 同; 距

三、建构数学 1.最小平方法: ? 用方程为 y ? bx ? a 的直线拟合散点图中的点,应使得该直线与散点图中的点最接近。

? 那么,怎样衡量直线 y ? bx ? a 与图中六个点的接近程度呢?
第 1 页 共 3 页

? 我们将表中给出的自变量 x 的六个值带入直线方程,得到相应的六个 y 的值: 26b ? a,18b ? a,13b ? a,10b ? a, 4b ? a, ?b ? a .这六个值与表中相应的实际值应该越
接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和

Q(a, b) ? (26b ? a ? 20) 2 ? (18b ? a ? 24) 2 ? (13b ? a ? 34) 2 ? (10b ? a ? 38) 2 ? (4b ? a ? 50) 2 ? (?b ? a ? 64) 2 ? 1286b 2 ? 6a 2 ? 140ab ? 3820b ? 460a ? 10172 ? Q ( a, b) 是直线 y ? bx ? a 与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来 ? 衡量直线 y ? bx ? a 与图中六个点的接近程度,所以,设法取 a , b 的值,使 Q (a, b) 达到最小值.
这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) .

140a ? 3820 时, Q 取得 2 ?1286 140b ? 460 最小值.同理, 把 b 看作常数,那么 Q 是关于 a 的二次函数.当 a ? ? 时, Q 取得 12
先把 a 看作常数,那么 Q 是关于 b 的二次函数.易知,当 b ? ?
140a ? 3820 ? ?b ? ? 2 ?1286 时, Q 取的最小值,由此解得 b ? ?1.6477, a ? 57.5568 . ? 最小值.因此,当 ? ? a ? ? 140b ? 460 ? ? 12

? ? 所求直线方程为 y ? ?1.6477 x ? 57.5568 .当 x ? ?5 时, y ? 66 ,故当气温为 ?5 C 时,热
0

茶销量约为 66 杯. 2.线性相关关系: ? 像能用直线方程 y ? bx ? a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系. 3.线性回归方程: 一般地,设有 n 个观察数据如下:

x
y

x1

x2 y2

x3 y3

? ?

xn yn

y1

当 a , b 使 Q ? ( y1 ? bx1 ? a)2 ? ( y2 ? bx2 ? a)2 ? ... ? ( yn ? bxn ? a)2 取 得最小值时 ,就称

? y ? bx? a为拟合这 n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. 上述式子展开后,是一个关于 a , b 的二次多项式,应用配方法,可求出使 Q 为最小值时 的 a , b 的值.即
n n n ? n? xi yi ? (? xi )(? yi ) ? i ?1 i ?1 ,(*) ?b ? i ?1 n n 2 ? n? xi ? (? xi )2 ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx ? ?

x?

1 n ? xi , n i ?1

y?

1 n ? yi n i ?1

四、数学运用 1.例题: 例 1. 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料,请判断机动车辆数与交通 事故数之间是否有线性相关关系,如果具有线性相关关系,求出线性回归方程;如果不具 有线性相关关系,说明理由. 95 110 112 120 129 135 150 180 机动车辆数 x /千台 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 交通事故数 y /千件 解:在直角坐标系中画出数据的散点图,直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关 关系.计算相应的数据之和:

? xi ? 1031, ? yi ? 71.6, ? xi ? 137835, ? xi yi ? 9611.7 ,
2

8

8

8

8

将它们代入( ? )式计算得 b ? 0.0774, a ? ?1.0241 , 第 2 页 共 3 页

i ?1

i ?1

i ?1

i ?1

所以,所求线性回归方程为 ? ? 0.0774x ?1.0241. y 2.练习: (1)第 75 页练习 1、2 (2)下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( D ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 (3)给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据: 15 20 25 30 35 施化肥量 x 330 345 365 405 445 水稻产量 y (1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 解:(1)散点图(略) . (2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格 i 1 2 3 4 5 xi 15 20 25 30 35 yi 330 345 365 405 445 xiyi 4950 6900 9125 12150 15575
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40 450

45 455

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奎屯

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6 40 450 18000

7 45 455 20475

x ? 30, y ? 399.3 ,

?x
i ?1

7

2 i

? 7000,? yi2 ? 1132725, ? xi yi ? 87175
i ?1 i ?1

7

7

故可得到

b?

87175? 7 ? 30 ? 399.3 ? 4.75, 7000? 7 ? 302 a ? 399.3 ? 4.75 ? 30 ? 257

^ 从而得回归直线方程是 y ? 4.75 x ? 257 .(图形略)
五、回顾小结: 1. 对一组数据进行线性回归分析时, 应先画出其散点图, 看其是否呈直线形, 再依系数 a , b 的计算公式,算出 a , b .由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致,谨防 计算中产生错误. 求线性回归方程的步骤: 计算平均数 x, y ; 计算 xi 与yi 的积, 求 计算

?x

?x y
i

i



2 i

;将结果代入公式求 a ;用 b ? y ? ax 求 b ;写出回归方程

王新敞
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六、课外作业: 课本第 75 页习题 2.4 第 1、2、3 题.

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