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竞赛中的三角函数例题选讲附答案


竞赛中的三角函数例题选讲 【内容综述】 一.三角函数的性质 1.正,余弦函数的有界性 对任意角 , 2.奇偶性与图象的对称性 正弦函数,正切函数和余切函数都是奇函数,它们的图象关于原点对称,并且 y=sinx 的图象还关于直线 轴对称,并且其图象还关于直线 3.单调性 y=sinx 在 上单调递减:y=cosx 在 上单调递减;y=tanx 在 上都是单调递减的。 4.周期性 y=sinx 与 y=cosx 的最小正周期是 2π ,y=tanx 与 y=cosxr 的最小正周期是π 。 【例题分析】 例 1 已知圆 x 2 ? y 2 ? k 2 至少覆盖函数 值点,求实数 k 的取值范围。 解 因为 是一个奇函数,其图象关于原点对称,而圆 x 2 ? y 2 ? k 2 也关 的一个最值点即可。 ,依题意, 的一个最大值点与一个最小 上单调递增,在 上单调递增,在 上都是单调递增的;y=cotx 在 对称:余弦函数是偶函数,从而 y=cosx 的图象关于 y 对称 , 于原点对称,所以,图 x 2 ? y 2 ? k 2 只需覆盖 令 ,可解得 的图象上距原点最近的一个最大值点 此点到原点的距离不超过|k|,即 综上可知,所求的 K 为满足 例 2 已知 的一切实数。 ,且 求 cos(x+2y)的值。 解 原方程组可化为 因为 上是单调递增的,于是由 得 f(x)=f(-2y) 得 x=-2y 即 x+2y=0 所以 令 ,则 在 例 3 求出(并予以证明)函数 解 首先,对任意 ,均有 这表明, 其次,设 是函数 f(x)的一个周期 ,T 是 f(x)的一个周期,则对任意 ,均有 在上式中,令 x=0,则有 。 两边平方,可知 即 综上可知,函数 sin2T=0,这表明 , 的最小正周期为 。 ,使得 矛盾。 例 3 求证:在区间 证,构造函数 f(x)=cos(sinx)-x f(x)在区间 内存在唯一的两个数 sin(cosc)=c, cos(sind)=d 内是单调递减的,由于 f(0)=cos(sin0)-0=1>0. 故存在唯一的 cos(sind)=d ,使 f(d)=0,即 对上述两边取正弦,并令 c=sind,有 sin(cos(sind))=sind sin(cosc)=c 显然 的,且 例 4 已知对任意实数 x,均有 ,由于 y=sinx 在 是单调递增的,且 d 是唯一的,所以 c 也是唯一 求证: 证 首先,f(x)可以写成 ① 其中 是常数,且 , 在①式中,分别令 和 得 ② ③ ②+③,得 又在①式中分别令 ,得 ④ ⑤ 由④+⑤,得 【能力训练】 (A 组) 1.求函数 2.已知 的单调递增区间 是偶函数, ,求 3.设 的大小。 , , 试比较 4.证明:对所以实数 x,y,均有 5.已知 值。 (B 组) 6.已知 (1) (3) 求 f(x)的解析式 7.证明:对任意正实数 x,y 以及实数 均有不等式 8.已知当 时,不等式 , ;(2) 。 ; 且满足: 为偶函数,且 t 满足不等式 ,求 t 的 恒成立,求 的取值范围。 9.设 , ,求乘积 的最大值和最小值。 参考答案 【能力训练】 A组 1. 2.由偶函数的定义,有 上式对任意 成立,故 所以 3.首先, 又 , 即 4.只需证明 m,n,k,使得 不能同时成立,若不然,则存在整数 即 矛盾 5.由题设,得 即 由于上式对任意 x

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