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浙江省杭州市2009届高三第一次高考科目教学质量检测 理科数学


09 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 数学试题卷(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 ?1 ? i ?z ? ?1 ? i ? 则 z=( )
2

A.-1+i
6

B.1+i


C.1-i

D.-1-i

1? ? 2. ? x ? ? 展开式中的常数项为( ) x? ?
A.15 B.一 15 3.下列不等式不一定成立的是( ) ... A. a ? b ? 2ab , (a,b∈R)
2 2

C.20

D.一 20

B. a ? 3 ? 2a , (a,b∈R)
2

1 C. x ? ? 2 , (x>0) x

a?b a 2 ? b2 D. , (a,b∈R) ? 2 2

4.若向量 a 与 b 的夹角为 120°,且 a ? 1 b ? 2,c ? a ? b ,则有( ) , A. c ? a 5.已知 x ? ? ? B. c ? b C. c//b ) D.c//a

4 ? ? ? ,?,cosx ? ,则 tan2x=( 0 5 ? 2 ?

A.

7 24 24 C. 7

7 24 24 D. ? 7
B. ? B.2049 D.1025

6.执行如图的程序框,输出的 A=( ) A.2047 C.1023 7.已知 f(x) ? ? A.-1 C.l

?f(x ? 5),x ? 0 则 f(2009)等于( ) ?log2 (? x),x ? 0
B.0 D.2

? 8.关于 x 的函数, f(x) sin(?x ? ?) 有以下命题:
① ?? ? R,f(x ? 2?) f(x) ; ? ② ?? ? R,f(x ? 1 ? f(x) )

③ ?? ? R,f(x) 都不是偶函数; ④ ?? ? R ,使 f(x)是奇函数. 其中假命题的序号是( ) A.①③ B.①④ C.②④ 9.如图是函数 Q(x)的图象的一部分,设函数 f(z)=sinx,

D.②③

g ( x) ?
A.

1 Q(x)是( ) x

f( x ) g( x)

B.f(x)g(x) C.f(x)-g(x) D.f(x)+g(x) 10.设 S ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 1 ? ? 2 2 1 2 2 3 3 4 2008 20092
C.2009 D.3000

不大于 S 的最大整数[s]等于( ) A.2007 B.2008

二.填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卷的相应位置

1 3 ,且 a 1 ? ,则 a 30 ? 2 2 1 12.在△ABC 中,若 ?B ? 60?,sinA ? ,BC ? 2 ,则 AC= 3 13.某篮球运动员在一个赛季的 40 场比 0 8 9
11.若数列 a n 满足条件: a n ? 1 ? a n ? 赛中的得分的茎叶图如图所示, 则这组数 据的中位数是 ;众数 是 .

。 。

11 2 2 20 1 1 30 1 2 ?x ? y ? 3 14.若 x,y 满足条件 ? ,则 4 0 1 3 ?y ? 2x
z=2x+3y 的最大值是 15.设函数 y ? 2sin(2 x ? x0=
x

2 3 3 4 6 7 8 9 1 3 3 3 3 5 5 7 8 8 2 3 4 4 8 9 5 6



?

? ? ? ) 的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x 0 ? ?? ,? ,则 0 3 ? 2 ?


16. 在下列五个函数中,① y ? 2 ,②y=log2x,③y=x2,④y=x-1 ,⑤y=cos2x.当 0<x1<x2<1 时,使 f ?

? x 1 ? x 2 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? 恒成立的函数是 ?? 2 ? 2 ?

(将正确序号都填上).

17.有 3 张都标着字母 A,6 张分别标着数字 1,2,3,4,5,7 的卡片,若任取其中 5 张

卡片组成牌号,则可以组成的不同牌号的总数等于 (用数字作答) 三.解答题:本大题有 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18.(本题 14 分)已知向量 a=(2cos ? x,cos2 ? x),b=(sin ? x,1),令 f(x)=a·b,且 f(x)的 周期为 ? . (1)求 f ?

?? ? ? 的值; ?4? ? ? ?? , 上的单调递增区间 ? 2 2? ?

(2)写出 f ?x ?在??

19.(本题 14 分)设集合 P={b,1},Q={c,1,2}, P ? Q .用随机变量 ? 表示方程

x 2 ? bx ? c ? 0 实根的个数(重根按一个计),若 b,c∈{1,2,3,4,5 6,7,8,9}.
(1)求方程 x2+bx+c=0 有实根的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.

20.(本题 14 分)数列{an}中,al=2,an+1=an+cn,(c 是不为零的常数,n=l,2,3,?),且 a1, a2,a3 成等比数列. (1)求 c 的值; (2)求{an}的通项公式; (3)求数列 ?

? an ? c ? 的前 n 项之和 Tn n ? ? n?c ?

21.(本题 15 分)已知 a∈R,函数 f(x)=x2(x-a). (1)当 a=3 时,求 f(x)的零点; (2)求函数 y=f(x)在区间[1,2]上的最小值。

22.(本题 15 分)已知二次函数,f(x)=x2+ax(a∈R). (1)若函数 y ? f sin x ? 3 cos x ?x ? R? 的最大值为 (2)当 a=2 时,设 n∈N*,S ?

?

?

16 ,求 f(x)的最小值; 3

3 n n ?1 3n ? 1 3n ? ? ... ? ? ,求证: <S<2; 4 f ?n ? f ?n ? 1? f ?3n ? 1? f ?3n ?

(3)当 a>2 时,求证 f(sin2xlog2sin2x +cos2xlog2cos2x)≧1-a,其中 x∈R,x≠kπ 且 x≠kπ +

? (k∈z) 2

2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 数学参考评分标准(理科)
一.选择题: 题号 答案 1 A (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 A 3 C 4 A 5 D 6 A 7 B 15. ? 8 A 9 D 10 B

二.填空题: 11.16

(本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 13.23;23 14.8

12. 3 3

?
6

16.②

17.4020

三.解答题: (本大题有 5 小题, 共 72 分) 18.(本题 14 分) 解:(1) f ? x ? ? a.b ? 2cos ? x sin ? x ? cos 2? x

??

一 2 分-

?? ? ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 sin ? 2? x ? ? 4? ?
? f ? x ?的周期为?, ? ? 1 ?

—2 分

一 2 分-

?? ? f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?

一2分

? ? ?? ? ? f ? ? ? sin ? cos ? 1 2 2 ?4?
(2) f ? x ? ? 当? 即?

一2分

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?
?
4 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
2

? 2k? (k ? Z )时,f ? x ? 单增,

一3分

3? ? ? ? ?? ? k? ? x ? ? k? (k ? Z ),? x ? ?? , ? 8 8 ? 2 2?
一3分

? ? ?? ? 3? ? ? ? f ? x ? 在 ? ? , ? 上的单调递增区间为 ? ? , ? 8 8 ? 2 2? ? ?
19.(本题 14 分) 解:(1) ? P ? Q 当 b=2 时,c=3,4,5,6,7,8,9; 当 b>2 时,b=c=3,4,5,6,7,8,9.基本事件总数为 14. 记“方程有实根”为事件 A,
2

一2分 一3分

若使方程有实根,则△ ? b ? 4c ? 0 ,即 b=C=4,5,6,7,8,9,共 6 种. 一 2 分

? P( A) ?

6 3 ? 14 7

一2分

(2) ? 的分布列

?
P

0

1

2

8 14
11 14

1 14

5 14
一3分 一2分

E? ?

20.(本题 14 分) 解:(I)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c, 因为 a1,a2,a3 成等比数列, 所以(2+c)2=2(2+3c), 解得 c=0 或 c=2.

一2分 一2分 一1分

? c ? 0,? c ? 2
(2)当 n≥2 时,由于 a2 一 a1=c,a3 一 a2=2c,L L an 一 an-1=(n-1)c, 所以 an ? a1 ? ?1 ? 2 ? L ? ? n ? 1? ? c ? ? ?

n ? n ? 1? c 2
2

—3 分

又 a1=2,c=2,故 an ? 2 ? n ? n ?1? ? n ? n ? 2(n ? 2,3, L) 当 n=1 时,上式也成立 所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1, 2, L) —2 分
n

a ?c ?1? (3)令 bn ? n n ? ? n ? 1? ? ? n.c ?2?

—1 分
2 3 4 n

?1? ? 1? ? 1 ? Tn ? b1 ? b 2 ? b 3 ?bn ? 0 ? ? ? ? 2? ? ? 3 ? ? ? ? n ? ? ? ?2? ? 2? ? 2 ? 1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 0 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? n ? 2? ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 ? 2? ?2? ? 2? ? 2? ?1? ①-②得: Tn ? 1 ? ? ? ?2?
21.(本题 15 分) 解:(1)由题意 f ? x ? ? x
2
n ?1 3 4 n n ?1

? 1 ?1 ? ??① ? ? ? 2 ?
??②

?

n ?1 2n

—3 分

? x ? 3? ,

由 f ? x ? ? 0 ,解得 x=0,或 x=3; (2)设此最小值为 m. f ? ? , x

一3分

? ?x3

2

2 ? ? a2 x x a? x? , ?2 ? x ? 3 ? )( , 1 3 ? ?



(I) 当a ? 0时,f ? ? x ? ? 0, x ? (1,2) , 则 f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以 m=f(1)=1 一 a (II)当 a>0 时, 当 x ? 0或x ? 一2分

2a ?2 ? 时,f ? ? x ? ? 0 ,从 f(x)在区间 ? a, ?? ? 上是增函数;一 3 分 3 ?3 ?
一3分

当0 ? x ?

2a ? 2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,从 f(x)在区间 ?0, a ? 上是单减函数; 3 ? 3 ?

①当

2 a ? 2 ,即 a ? 3 时, m ? f ? 2? ? 8 ? 4a 3

②当 1 ?

2 3 4a3 ? 2a ? a ? 2 ,即 ? a ? 3 时, m ? f ? ? ? ? 3 2 27 ? 3 ? 3 时, m ? f ?1? ? 1 ? a 2

③当 0 ? a ?

3 ? 1 ? a, ( a ? ) ? 2 ? 3 ? 4a 3 综上所述,所求函数的最小值 m ? ?? , ( ? a ? 3) ? 27 2 ?4 ? 2 ? a ? , (a ? 3) ? ?
22.(本题 15 分) 解:(1)令 t ? sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ?

一4分

? ?

??

?, 3?

? x ? R,??2 ? t ? 2 ,
a a y ? t 2 ? at ? (t ? ) 2 ? , 2 4
2 16 ,解得: a ? ? , 3 3 1 2 1 1 此时, f ( x) ? ( x ? ) ? ,? f ( x )最小值 ? ? . 3 9 9 2 16 当 a ? 0 时,t=2 时, y最大 ? 4 ? 2a ? ,解得: a ? 3 3
当 a<0 时,t=2 时, y最大 ? 4 ? 2a ?

1 1 ,? f ( x)最小值 ? ? 9 9 1 综合上述,条件满足时, f ( x ) 的最小值为 ? 9
此时, f ( x) ? ( x ? ) ?
2

1 3

—5 分

(2) ? S ?

n n ?1 3n ? 1 3n ? ??? ? f (n) f (n ? 1) f (3n ? 1) f (3n)

1 1 1 1 ? ??? ? n?2 n?3 3n ? 1 3n ? 2 1 1 1 1 ? ??? ? 设 S ( n) ? ; n?2 n?3 3n ? 1 3n ? 2 1 1 1 1 ? ??? ? 则 S (n ? 1) ? n?3 n?4 3n ? 4 3n ? 5 ?

S (n ? 1) ? S (n) ?

1 1 1 1 3 1 1 ? ? ? ? ? ? ?0 3n ? 3 3n ? 4 3n ? 5 n ? 2 3n ? 5 n ? 2 (3n ? 5)(n ? 2)
47 45 3 ? ? 60 60 4

? S(n)在 n∈N*时单调递增,? S ? S (n) ? S (1) ?
1 1 1 1 ? ??? ? n?2 n?3 3n ? 1 3n ? 2 1 3 ?S ? (2n ? 1) ? 2 ? ?2 n?2 n?2 3 ? 综上有: ? S ? 2 成立. 4
又 (3)) ? x∈R, x ? k? 且 x ? k? ?
2 2

—5 分

?
2

2

(k ? Z ),? sin 2 x, cos 2 x ? 0,1 , ( )
2

又 sin x ? cos x ? 1 ,故设 t ? sin x ,则有 cos x ? 1 ? t 设 f (t ) ? t log2 t ? (1 ? t )log2 (1 ? t ) (其中 t∈(0,1))

f ?(t ) ? log 2 t ? log 2 e ? log 2 (1 ? t ) ? log 2 e ? log 2
令 f ?(t ) ? 0 ,得 t ? 当0 ? t ?

t 1? t

1 2

1 1 时, f ?(t ) ? 0 ,所以 f (t ) 在(0, )单调递减, 2 2 1 1 当 ? t ? 1 时, f ?(t ) ? 0 ,所以 f (t ) 在( ,1)单调递增, 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? t ? 时 f (t ) 取最小值等于 f ( ) ? log 2 ? log 2 ? log 2 ? ?1 2 2 2 2 2 2 2
即有 sin x log2 sin x ? cos x log2 cos x ? ?1
2 2 2 2

当日 a>2 时, f ( x) ? x ? ax 的对称轴 x ? ?
2

a ? ?1 , 2

? f ( x)在(?1, ??) 上单调递增,

? f (sin2 x log2 sin2 x ? cos2 x log2 cos2 x) ? f (?1) ? 1 ? a

—5


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