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广州市执信中学高一上学期期末考试(数学)


广东省广州市执信中学 09-10 学年高一上学期期末

数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 10 页,满分为 150 分。考试用时 150 分钟。 参考公式:台体的体积公式 V ? (S1 ? S2 ? S1S2 )

h 3

第一部分 选择题(共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小

题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设函数 y ? ln(1 ? x) 的定义域为 A,函数 y ? x 2 的值域为 B,则 A. [0,1] B. [0,1) C. (0,1]

A? B ? (

)

D. (0,1)

2.如图正方形 OABC 的边长为 1,它是水平放置的一个平面图形的直观图, 则原图形的面积是( A. 2 2 B.1 ) D.2(1+ 2 ) O ( ) A C B

y

C. 2

x

3.下列的哪一个条件可以得到平面 ? ∥ 平面 ? A.存在一条直线 a , a ∥?,a ∥ ? B.存在一条直线 a,a ? ?,a ∥ ?

C.存在两条平行直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥? D.存在两条异面直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥? 4.下列四种说法,不正确 的是 ... A.每一条直线都有倾斜角 B.过点 P(a, b) 平行于直线 Ax ? By ? C ? 0 的直线方程为 A( x ? a) ? B( x ? b) ? 0 C.过点 M(0,1)斜率为 1 的直线仅有 1 条 D.经过点 Q(0,b)的直线都可以表示为 y ? kx ? b 5.直线 y=x+m 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 相切,则 m 是 A.–4 B.–4 或 0 C .0 或 4 ( D. 4 )
D1 A1 D A 第7题 B B1 C C1







6.函数 f ( x) ?| x | 和g ( x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是 ( A. (??,0], (??,1] C. [0,??), (??,1] B. (??,0],[1,??) D. [0,??),[1,??)
?

7.如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠DAD1=45 , ∠CDC1=30 ,那么异面直线 AD1 与 DC1 所成角的 余弦值是 ( )
?

A.

2 4
x

B.

3 4

C.

2 8

D.

3 8

8.函数 f(x)=2 +3x-6 的零点所在的区间是 A.[0,1 ) B. [ 1,2 ) C.

( [2,3 )

) D.[3,4 )

9.在 30?的二面角?-l-?中,P∈?,PQ⊥?,垂足为 Q,PQ=2a,则点 Q 到平面 ? 的 距离为 A. ( ) B. 2 3 a C. a D.

3a

2 3 a 3

10.奇函数 f ( x) 在区间 ?? b,?a? 上单调递减,且 f ( x) ? 0 (0 ? a ? b) ,那么 f ( x) 在区 间 ?a, b? 上 ( A.单调递减 ) B.单调递增 C.先增后减 D.先减后增

第二部分非选择题(共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.直线 3x ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角 ? = ;

12. 两圆 C 1: x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 ,C 2 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 10 y ? 13 ? 0 的公切线 有 条; 13.计算: ? 5 log9 4 ? log3

32 ? 1 ? ?? ? 9 ? 64 ?

?

2 3

=



14.已知两条直线 l1 : ax ? 8 y ? b ? 0 和 l2 : 2 x ? ay ? 1 ? 0 ( b ? 0 ) 若 l1 ? l2 且直线 l1 的纵截距为 1 时, a ? ,b = ; 15.用棱长为 1 个单位的立方块搭一个几何体,使它的正视图和俯视图 如右图所示,则它的体积的最小值为 最大值为 .
主视图 俯视图



三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) (1)求过点 P(-1,2)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于 (2)求圆心在 y 轴上且经过点 M(-2,3) , N(2,1)的圆的方程. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? loga (a x ? 1) (1)求此函数的定义域; ( a ? 0, 且a ? 1)

1 的直线方程; 2

(2)已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 为函数 y ? loga (a x ? 1) 图象上任意不同的两点, 若 a ? 1 ,求证:直线 AB 的斜率大于 0. P F E C B

18. (本小题满分 12 分) 如图,PA⊥平面 ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC=2. (1)求证:平面 AEF⊥平面 PBC; A (2)求三棱锥 P—AEF 的体积. 19. (本小题满分 12 分)

已知方程 x2 ? y 2 ? 2(t ? 3) x ? 2(1 ? 4t 2 ) y ? 16 t 4 ? 9 ? 0 (t ? R) 表示的图形是一个圆 (1)求 t 的取值范围; (2)当实数 t 变化时,求其中面积最大的圆的方程。 20. (本小题满分 13 分)

定义:若函数 f ( x) 对于其定义域内的某一数 x0 ,有 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x) 的一 个不动点。已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) (1)当 a ? 1 , b ? ?2 时,求函数 f ( x) 的不动点; (2)若对任意的实数 b,函数 f ( x) 恒有两个不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 图象上两个点 A、B 的横坐标是函数 f ( x) 的不动点,且 A、B 的中点 C 在直线 g ( x ) ? ? x ?

a 的上,求 b 的最小值。 5a ? 4 a ? 1
2

(参考公式: A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 的中点坐标为 ? 21. (本小题满分 14 分)

? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ? 2 ? ? 2

如图,四棱锥 P -ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是正三角形, 且侧面 PAD⊥底面 ABCD,E 为侧棱 PD 的中点。 (1)求证:PB//平面 EAC; (2)若 AD=2AB=2,求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的 正切值; (3)当

P E D C

AD 为何值时,PB⊥AC ? AB
A B

试题答案 一、选择题:BADDB
?

CABAB 12、3; 13、 ? 18 ; 15、10, 16;

二、填空题:11、60 ;

14、 (1) a ? 0, b ? ?8 ; 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意设直线方程为

x y ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ……………………1 分 a b ?1 2 ? ? 1 ,则 2a ? b ? ab …………………… 2 分 a b

∵点 P(-1,2)在直线上,∴ 又∵

1 1 ab ? ,则 ab ? 1 ……………………3 分 2 2 ? 2a ? b ? 1 1 2 ∴? 消去 b 整理得 2a ? a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? ? (舍去)……………………5 分 2 ?ab ? 1
由 ab ? 1 解得 b ? 1 ,故所求直线方程是 x ? y ? 1 …………………… 6 分 (2)由题意圆心 C 在线段 MN 的中垂线上……………………7 分

3 ?1 1 ? ? ,MN 的中点是(0,2)………………8 分 ?2 ? 2 2 ∴MN 的中垂线方程是 y ? 2 x ? 2 …………………9 分
∵ kMN ? 令 x=0 则 y=2,圆心 C(0,2) ,半径 r= 所求圆的方程为 x
2

(2 ? 0) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5 ……………………
12 分

11 分

? ( y ? 2) 2 ? 5 ……………………

17.(本小题满分12分) 解: (1)由 a

? 1 ? 0 得 a x ? 1 ? a x ? a 0 ………………1分 当 0 ? a ? 1 时, x ? 0 .......................................................... 2分 当 a ? 1 时, x ? 0 ................................................................. 3分 ? 0 ? a ? 1 时,函数的定义域为 (??,0) ; a ? 1 时函数的定义域为 (0, ??) ………….5分
x

(2)∵A,B为为函数

y ? loga (a x ? 1) 图象上任意不同的两点,
x1

∴可设A ( x1 ,log a (a

? 1)) ,B ( x2 ,log a (a x2 ? 1)) …………………………………6分
log a (a x1 ? 1) ? log a ( a x2 ? 1) ……………………………8分 x1 ? x2
? x2 ………………………………9分

∴直线AB的斜率 k AB

?

∵A,B为图象上任意不同的两点,不妨设 x1 ∵ a ? 1 ,∴ a
x1

? a x2 ,∴ a x1 ? 1 ? a x2 ? 1 ,∴ loga (a x1 ? 1) ? log a (a x2 ? 1) ……11分

∴ k AB

?

log a (a x1 ? 1) ? log a (a x2 ? 1) ? 0 ,即直线 AB 的斜率大于零……………12 分 x1 ? x2

18. (本小题满分 12 分)

证明:证明: (1)∵ PA ? 平面ABC , BC ? 平面ABC ∴ PA 又

? BC

…………………………………………1 分

P F E A B C

AB ? BC

∴ BC ∴ BC 又 ∴ 而

? 平面PAB ,而 AE ? 平面 PAB………2 分
? AE ………………………………3 分

AE ? PB

AE ? 平面PBC ………………………………………………………………5 分
AE ? 平面 AEF

∴平面 平面AEF

? 平面PBC …………………………………………………6 分

(2) 由(1) AE ? 平面PBC 又∵

AF ? PC ? PC
(三垂线定理逆定理)…………………………………………7 分

∴ EF



?PEF

∽ ?PCB ……………………………………………………………8 分



S?PEF PE2 ( 2 ) 2 1 ? ? ? ………………………………………………10 分 S?PBC PC2 (2 3) 2 6
1 2 S ?PBC = 6 3
………………………………………………………11 分

∴ S ?PEF =

∴ VP? AEF = VA?PEF = 19. (本小题满分 12 分) 解:∵圆的方程可化为 (1)由题意 ?7t
2

1 2 4 × 2× = 3 3 9

………………………………………12 分

[ x ? (t ? 3)]2 ? [ y ? (1 ? 4t 2 )]2 ? ?7t 2 ? 6t ? 1 ..........................2

1 ? 6t ? 1 ? 0 …………………… 3 分, 解得 ? ? t ? 1 …………………… 5 分 7 3 2 16 2 2 (2)设圆的半径为 R,则 R ? ?7t ? 6t ? 1 ? ?7(t ? ) ? …………………… 7 分 7 7 1 16 3 2 ∵ ? ? t ? 1 , ∴当 t ? 时,半径 R 取得最大值 …………………… 9 分 7 7 7 3 当圆的半径最大时,圆的面积最大,此时 t ? ……………………10 7 24 2 13 2 16 则所求圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? ……………………12 分 7 49 7
20. (本题满分 13 分)

f ( x) ? x 2 ? x ? 3 ,由 x 2 ? x ? 3 ? x , 解得 x ? 3 或 x ? ?1 ,所以所求的不动点为 ? 1 3.
解:(1)

……………………1 分 ……………………3 分

? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x ,则 ax2 ? bx ? b ? 1 ? 0 ① 2 由题意,方程①恒有两个不等实根,所以 ? ? b ? 4a(b ? 1) ? 0 , …………………5 分 2 即 b ? 4ab ? 4a ? 0 恒成立, …………………6 分 2 则 ?? ? 16a ? 16a ? 0 ,故 0 ? a ? 1 …………………7 分 a (3)设 A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2), g ( x ) ? ? x ? , …………………8 分 5a 2 ? 4 a ? 1 x1 ? x2 x ? x2 a ?? 1 ? 2 又 AB 的中点在该直线上,所以 , 2 2 5a ? 4a ? 1 a ∴ x1 ? x 2 ? , ………………10 分 2 5a ? 4a ? 1 b b a ? 2 而 x1、x2 应是方程①的两个根,所以 x1 ? x 2 ? ? ,即 ? , a a 5a ? 4 a ? 1 1 a2 1 ∴b ? ? ==……………12 分 2 2 1 5a ? 4a ? 1 ? 1 ? 2 ?1? ? ? ? 4? ? ? 5 ( a ? 2) ? 1 ?a? ?a?
(2)令 ax
2

∴当 a=

1 2

∈(0,1)时,bmin= ? 1

…………13 分

21. (本小题满分 14 分) .解: (1)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO, 因为 O、E 分别为 BD、PD 的中点, 所以 EO//PB, ……………2 分

E0 ? 平面EAC, PB ? 平面EAC ,所以 PB//平面 EAC。…………4 分
(2)设 N 为 AD 中点,连接 PN,则 PN

? AD ...............................5 分

又面 PAD⊥底面 ABCD,所以,PN⊥底面 ABCD……………………6 分 所以 ?PBN 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角,……………………7 分 又 AD=2AB=2,则 PN= 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 3, NB ? 2 ,。

所以 tan ?PBN =

3 2

?

6 2

,即 PB 与平面 ABCD 所成角正切为值

6 2

。 。 。 。 。 。9 分

(3)由(2)知,NB 为 PB 在面 ABCD 上的射影,要使 PB⊥AC,需且只需 NB⊥AC。 。10 分 在矩形 ABCD 中,设 AD=1,AB=x, 由 ?ANB

AN ?

1 , 2

? ?BAC

,得 Rt ?NAB ∽ Rt ?CBA ,………………………………………11 分

AN AB 1 2 ? ? AB 2 ? AN ? BC ? x 2 ? 解之得: x ? AB BC 2 2
所以,当

, ……………………13 分

AD ? 2 时,PB⊥AC。…………………………14 分 AB


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