当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题一 第3讲 分类讨论思想(共30张PPT)


第三讲

分类讨论思想

1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时, 需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结 论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论 是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略.

2.分类讨论的常见类型 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决, 引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种: (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类的, 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学 定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致, 如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等.

(3)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为 零,偶次方根被开方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运 算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数 的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置 需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如 含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不 同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.

(6)由实际意义引起的讨论:此类问题常常出现在应用题中. 3.分类讨论解题的步骤 (1)确定分类讨论的对象:即对哪个变量或参数进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结:将各类情况总结归纳.

由概念、法则、公式引起的分类讨论
[例 1] 设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=

1,2,3,?),则 q 的取值范围是________.

[思维流程]

[解析]

因为{an}是等比数列,Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0.

当 q=1 时,Sn=na1>0; a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= >0, 1-q
?1-q>0, ?1-q<0, ? ? 1-qn ? 即 >0(n=1,2,3,?),则有 ①或? n ?1-q >0 ?1-qn<0 1-q ? ?

②,由①得-1<q<1,由②得 q>1. 故 q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).

[答案]

(-1,0)∪(0,+∞)

总结 ——————————规律· —————————————

四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步: 确定需分类的目标与对象. 即确定需要分类的目标, 一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标. 第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对 分类对象进行区分. 第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目 标”分别进行处理. 第四步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,并 作进一步处理.

1.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 C 的离心率等 于 1 3 A.2或2 1 C.2或 2 2 B.3或 2 2 3 D.3或2 ( )

解析:不妨设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,其中 t≠0, 若该曲线为椭圆,则有|PF1|+|PF2|=6t=2a,|F1F2|=3t=2c, c 2c 3t 1 e=a=2a=6t=2; 若该曲线为双曲线,则有|PF1|-|PF2|=2t=2a,|F1F2|=3t= c 2c 3t 3 2c,e=a=2a=2t=2.
答案:A

由参数变化而引起的分类讨论
[例 2] 已知 a∈R,求函数 f(x)=x2|x-a|在区间[1,2]上的最小值.

[思维流程]

[解]

设函数 f(x)=x2|x-a|在区间[1,2]上的最小值为 m.

①当 a≤1 时, 在区间[1,2]上,f(x)=x3-ax2, 因为 f′(x)=3x
2

? 2 ? -2ax=3x?x-3a?>0,x∈(1,2), ? ?

则 f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以 m=f(1)=1-a. ②当 1<a≤2 时, 在区间[1,2]上,f(x)=x2|x-a|≥0, 由 f(a)=0,知 m=f(a)=0.

③当 a>2 时, 在区间[1,2]上,f(x)=ax2-x3, f′(x)=2ax-3x
2

?2 ? =3x?3a-x?. ? ?

若 a≥3,在区间(1,2)上,f′(x)>0,则 f(x)是区间[1,2]上的增函 数,所以 m=f(1)=a-1; 2 若 2<a<3,则 1<3a<2,
? 2 ? 2 当 1<x<3a 时,f′(x)>0,则 f(x)是区间?1,3a?上的增函数, ? ? ?2 ? 2 当3a<x<2 时,f′(x)<0,则 f(x)是区间?3a,2?上的减函数, ? ?

因此当 2<a<3 时,m=f(1)=a-1 或 m=f(2)=4(a-2). 7 当 2<a≤3时,4(a-2)≤a-1,故 m=f(2)=4(a-2), 7 当3<a<3 时,4(a-2)>a-1,故 m=f(1)=a-1. ?1-a,a≤1, ? ?0,1<a≤2, ? 综上所述,函数的最小值 m=?4?a-2?,2<a≤7, 3 ? ? 7 ?a-1,a>3. ?

总结 ——————————规律· —————————————
两类与参数有关的分类讨论问题 (1)由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同, 所 以要对某些问题中所求的变量进行讨论; (2)有的问题中虽然不需要对变量讨论,但却要对参数讨 论.在求解时要注意讨论的对象,同时应理顺讨论的目的.

3 2 2.(2013· 东北三校联考)已知函数 f(x)=ax -2x +1(x∈R),
3

其中 a>0. (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
? 1 1? (2)若在区间?-2,2?上,f(x)>0 ? ?

恒成立,求 a 的取值范围.

3 解:(1)当 a=1 时,f(x)=x3-2x2+1,f(2)=3.f′(x)= 3x2-3x,f′(2)=6,所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的 切线方程为 y-3=6(x-2),即 y=6x-9.

(2)f′(x)=3ax2-3x=3x(ax-1). 1 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=a. 以下分两种情况讨论: 1 1 ①若 0<a≤2,则a≥2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
? 1 ? ?- ,0? ? 2 ?

0 0
极大值

? 1? ?0, ? 2? ?

f′(x)


?


?

f(x)



? 1 1? x∈?-2,2?时, ? ?

? ? 1? ?f?-2?>0, ? ? ?? ? f(x)>0 等价于 ?f?1?>0, ? ?2?

?5-a ? >0, ? 8 即? ?5+a ? 8 >0. ?

解不等式组得-5<a<5.因此 0<a≤2. 1 1 ②若 a>2,则 0<a<2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

? 1 ? ?- ,0? ? 2 ?

0 0
极大值

? 1? ?0, ? a? ?

1 a

?1 1? ? , ? ?a 2?

f′(x)




?

0
极小值



f(x)

?

?



? 1 1? x∈?-2,2?时, ? ?

? ? 1? ?f?-2?>0, ? ? f(x)>0 等价于? ? ? ?f?1?>0, ? ?a?

?5-a ? 8 >0, 即? ?1- 1 2>0. 2a ?

2 2 解不等式组得 2 <a<5 或 a<- 2 .因此 2<a<5. 综合①②,可知 a 的取值范围为(0,5).

根据图形位置或形状分类讨论
?x≥0, ? ?y≥0, [例 3] (2013· 长沙模拟) 在约束条件? ?y+x≤s, ?y+2x≤4 ? 3≤s≤5 时,z=3x+2y 的最大值的变化范围是 A.[6,15] C.[6,8] B.[7,15] D.[7,8]

下,当

(

)

[思维流程]

[解析]

?x+y=s, ? 由? ?y+2x=4 ?

?x=4-s, ? ?? ?y=2s-4, ?

取点 A(2,0),B(4-s,

2s-4),C(0,s),C′(0,4). (1)当 3≤s<4 时,可行域是四边形 OABC,如图(1)所示. 此时,7≤z<8.

图(1)

图(2)

(2)当 4≤s≤5 时,此时可行域是△OAC′,如图(2) 所示.zmax=8. 综上,z=3x+2y 最大值的变化范围是[7,8].
[答案] D

总结 ——————————规律· —————————————
几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化;(2)函数问题中区间的变化;(3)函 数图像形状的变化;(4)直线由斜率引起的位置变化;(5)圆锥曲线 由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化;(6)立体几何 中点、线、面的位置变化等.

3.抛物线 y2=4px(p>0)的焦点为 F,P 为其上的一点,O 为坐标原 点,若△OPF 为等腰三角形,则这样的 P 点的个数为 A.2 C.4 B.3 D.6 ( )

解析:当|PO|=|PF|时,点 P 在线段 OF 的中垂线上,此时,点 P 的 位置有两个;当|OP|=|OF|时,点 P 的位置也有两个;对|FO|=|FP| 的情形, P 不存在. 点 事实上, F(p,0), 若设 P(x, 则|FO|=p, y), |FP| = ?x-p?2+y2,若 ?x-p?2+y2=p,则有 x2-2px+y2=0,又∵ y2=4px,∴x2+2px=0,解得 x=0 或 x=-2p,当 x=0 时,不构成 三角形;当 x=-2p 时,与点 P 在抛物线上矛盾.所以符合要求的 P 点一共有 4 个. 答案:C

1.中学数学教材中与分类讨论有关的知识点 (1)绝对值的定义; (2)一元二次方程根的判别式与根的情况; (3)二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向; k (4)反比例函数 y=x(x≠0)的反比例系数 k,正比例函数 y=kx 的比例系数 k, 一次函数 y=kx+b 的斜率 k 与图像位置及函数单调 性的关系;

(5)幂函数 y=xα 的幂指数 α 的正、负与定义域、单调性、奇偶 性的关系; (6)指数函数 y=ax 及其反函数 y=loga x 中底数 a>1 及 0<a<1 对函数单调性的影响; (7)等比数列前 n 项和公式中 q=1 与 q≠1 的区别; (8)不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的 影响; (9)直线与圆锥曲线位置关系的讨论; (10)运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否存在.

2.利用分类讨论思想应注意以下问题 (1)分类讨论要标准统一,层次分明,分类要做到“不重不 漏”. (2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别,再确定每级 讨论的对象与标准,每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重 不漏,最后将讨论结果归类合并.其中级别与级别之间有严格的 先后顺序、类别和类别之间没有先后;最后整合时要注意是取交 集、并集,还是既不取交集也不取并集只是分条列出.

数学思想专练(三)



相关文章:
2014届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题一 第3讲 ...
2014届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题一 第3讲 基本初等函数、函数与方程...1?本题在求解时,用了转化与化归、数形结合、分类讨论思想.个别学生不会利用...
第3讲分类讨论思想
第3讲分类讨论思想_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三第二轮专题复习:数学思想方法第3讲 分类讨论思想 1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是...
2014届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题三 第2讲 ...
2014 届高考数学(理科)二轮复习专题讲义:专题三 第 2 讲 数列的综合应用 数列...n? 用“思想”——尝试用“分类讨论思想”解题 3 3 ? ? ?a1=3, ?a1q ...
2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习检测:第一部分...
2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习检测:第一部分 论方法 专题3 分类讨论思想 - 专题训练· 作业(三) 一、选择题 1.(2016· 兰州调研)若 x>0 且 x...
...专题配套word版练习:专题八 第3讲 分类讨论思想]
【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)二轮专题配套word版练习:专题第3讲 分类讨论思想]_高考_高中教育_教育专区。【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)...
...专题整合高频突破习题:第一部分 分类讨论思想 Word...
2018届高三理科数学(新课标)二轮复习专题整合高频突破习题:第一部分 分类讨论思想 Word版 含答案_数学_高中教育_教育专区。2018届高三理科数学(新课标)二轮复习专题...
2015届高考数学二轮专题训练:专题八 第3讲 分类讨论思想
2015届高考数学二轮专题训练:专题第3讲 分类讨论思想_数学_高中教育_教育专区。教学资源网 世纪金榜第3讲 圆您梦想分类讨论思想 www.jb1000.com 1.分类讨论...
...专版)2014届高考数学二轮专题突破第1部分 专题三 第...
高考数学分类复习数列常... 4页 1下载券 2014年高考...高考专题辅导与测试第1部... 暂无评价 45页 免费...《创新方案》2014 届高考数学(理科)二轮专题突破预测...
2015届高考数学(文科)二轮专题复习跟踪训练 专题八 第3讲
2015届高考数学(文科)二轮专题复习跟踪训练 专题八 ...第3讲 分类讨论思想 1.分类讨论思想是一种重要的...2014年高考理科数学新课... 2014年高考理科数学北京...
高三数学第二轮专题复习分类讨论思想课堂资料
高三数学第二轮专题复习分类讨论思想课堂资料一、基础知识整合 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法, 也是一种数学思想, 这种思想对于简化研究对象, 发展人的思维有着...
更多相关标签: