当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题一 第3讲 分类讨论思想(共30张PPT)


第三讲

分类讨论思想

1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时, 需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结 论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论 是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略.

2.分类讨论的常见类型 有关分类讨论的数学问题

需要运用分类讨论思想来解决, 引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种: (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类的, 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学 定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致, 如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等.

(3)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为 零,偶次方根被开方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运 算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数 的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置 需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如 含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不 同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.

(6)由实际意义引起的讨论:此类问题常常出现在应用题中. 3.分类讨论解题的步骤 (1)确定分类讨论的对象:即对哪个变量或参数进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结:将各类情况总结归纳.

由概念、法则、公式引起的分类讨论
[例 1] 设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=

1,2,3,?),则 q 的取值范围是________.

[思维流程]

[解析]

因为{an}是等比数列,Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0.

当 q=1 时,Sn=na1>0; a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= >0, 1-q
?1-q>0, ?1-q<0, ? ? 1-qn ? 即 >0(n=1,2,3,?),则有 ①或? n ?1-q >0 ?1-qn<0 1-q ? ?

②,由①得-1<q<1,由②得 q>1. 故 q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).

[答案]

(-1,0)∪(0,+∞)

总结 ——————————规律· —————————————

四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步: 确定需分类的目标与对象. 即确定需要分类的目标, 一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标. 第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对 分类对象进行区分. 第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目 标”分别进行处理. 第四步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,并 作进一步处理.

1.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 C 的离心率等 于 1 3 A.2或2 1 C.2或 2 2 B.3或 2 2 3 D.3或2 ( )

解析:不妨设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,其中 t≠0, 若该曲线为椭圆,则有|PF1|+|PF2|=6t=2a,|F1F2|=3t=2c, c 2c 3t 1 e=a=2a=6t=2; 若该曲线为双曲线,则有|PF1|-|PF2|=2t=2a,|F1F2|=3t= c 2c 3t 3 2c,e=a=2a=2t=2.
答案:A

由参数变化而引起的分类讨论
[例 2] 已知 a∈R,求函数 f(x)=x2|x-a|在区间[1,2]上的最小值.

[思维流程]

[解]

设函数 f(x)=x2|x-a|在区间[1,2]上的最小值为 m.

①当 a≤1 时, 在区间[1,2]上,f(x)=x3-ax2, 因为 f′(x)=3x
2

? 2 ? -2ax=3x?x-3a?>0,x∈(1,2), ? ?

则 f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以 m=f(1)=1-a. ②当 1<a≤2 时, 在区间[1,2]上,f(x)=x2|x-a|≥0, 由 f(a)=0,知 m=f(a)=0.

③当 a>2 时, 在区间[1,2]上,f(x)=ax2-x3, f′(x)=2ax-3x
2

?2 ? =3x?3a-x?. ? ?

若 a≥3,在区间(1,2)上,f′(x)>0,则 f(x)是区间[1,2]上的增函 数,所以 m=f(1)=a-1; 2 若 2<a<3,则 1<3a<2,
? 2 ? 2 当 1<x<3a 时,f′(x)>0,则 f(x)是区间?1,3a?上的增函数, ? ? ?2 ? 2 当3a<x<2 时,f′(x)<0,则 f(x)是区间?3a,2?上的减函数, ? ?

因此当 2<a<3 时,m=f(1)=a-1 或 m=f(2)=4(a-2). 7 当 2<a≤3时,4(a-2)≤a-1,故 m=f(2)=4(a-2), 7 当3<a<3 时,4(a-2)>a-1,故 m=f(1)=a-1. ?1-a,a≤1, ? ?0,1<a≤2, ? 综上所述,函数的最小值 m=?4?a-2?,2<a≤7, 3 ? ? 7 ?a-1,a>3. ?

总结 ——————————规律· —————————————
两类与参数有关的分类讨论问题 (1)由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同, 所 以要对某些问题中所求的变量进行讨论; (2)有的问题中虽然不需要对变量讨论,但却要对参数讨 论.在求解时要注意讨论的对象,同时应理顺讨论的目的.

3 2 2.(2013· 东北三校联考)已知函数 f(x)=ax -2x +1(x∈R),
3

其中 a>0. (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
? 1 1? (2)若在区间?-2,2?上,f(x)>0 ? ?

恒成立,求 a 的取值范围.

3 解:(1)当 a=1 时,f(x)=x3-2x2+1,f(2)=3.f′(x)= 3x2-3x,f′(2)=6,所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的 切线方程为 y-3=6(x-2),即 y=6x-9.

(2)f′(x)=3ax2-3x=3x(ax-1). 1 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=a. 以下分两种情况讨论: 1 1 ①若 0<a≤2,则a≥2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
? 1 ? ?- ,0? ? 2 ?

0 0
极大值

? 1? ?0, ? 2? ?

f′(x)


?


?

f(x)



? 1 1? x∈?-2,2?时, ? ?

? ? 1? ?f?-2?>0, ? ? ?? ? f(x)>0 等价于 ?f?1?>0, ? ?2?

?5-a ? >0, ? 8 即? ?5+a ? 8 >0. ?

解不等式组得-5<a<5.因此 0<a≤2. 1 1 ②若 a>2,则 0<a<2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

? 1 ? ?- ,0? ? 2 ?

0 0
极大值

? 1? ?0, ? a? ?

1 a

?1 1? ? , ? ?a 2?

f′(x)




?

0
极小值



f(x)

?

?



? 1 1? x∈?-2,2?时, ? ?

? ? 1? ?f?-2?>0, ? ? f(x)>0 等价于? ? ? ?f?1?>0, ? ?a?

?5-a ? 8 >0, 即? ?1- 1 2>0. 2a ?

2 2 解不等式组得 2 <a<5 或 a<- 2 .因此 2<a<5. 综合①②,可知 a 的取值范围为(0,5).

根据图形位置或形状分类讨论
?x≥0, ? ?y≥0, [例 3] (2013· 长沙模拟) 在约束条件? ?y+x≤s, ?y+2x≤4 ? 3≤s≤5 时,z=3x+2y 的最大值的变化范围是 A.[6,15] C.[6,8] B.[7,15] D.[7,8]

下,当

(

)

[思维流程]

[解析]

?x+y=s, ? 由? ?y+2x=4 ?

?x=4-s, ? ?? ?y=2s-4, ?

取点 A(2,0),B(4-s,

2s-4),C(0,s),C′(0,4). (1)当 3≤s<4 时,可行域是四边形 OABC,如图(1)所示. 此时,7≤z<8.

图(1)

图(2)

(2)当 4≤s≤5 时,此时可行域是△OAC′,如图(2) 所示.zmax=8. 综上,z=3x+2y 最大值的变化范围是[7,8].
[答案] D

总结 ——————————规律· —————————————
几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化;(2)函数问题中区间的变化;(3)函 数图像形状的变化;(4)直线由斜率引起的位置变化;(5)圆锥曲线 由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化;(6)立体几何 中点、线、面的位置变化等.

3.抛物线 y2=4px(p>0)的焦点为 F,P 为其上的一点,O 为坐标原 点,若△OPF 为等腰三角形,则这样的 P 点的个数为 A.2 C.4 B.3 D.6 ( )

解析:当|PO|=|PF|时,点 P 在线段 OF 的中垂线上,此时,点 P 的 位置有两个;当|OP|=|OF|时,点 P 的位置也有两个;对|FO|=|FP| 的情形, P 不存在. 点 事实上, F(p,0), 若设 P(x, 则|FO|=p, y), |FP| = ?x-p?2+y2,若 ?x-p?2+y2=p,则有 x2-2px+y2=0,又∵ y2=4px,∴x2+2px=0,解得 x=0 或 x=-2p,当 x=0 时,不构成 三角形;当 x=-2p 时,与点 P 在抛物线上矛盾.所以符合要求的 P 点一共有 4 个. 答案:C

1.中学数学教材中与分类讨论有关的知识点 (1)绝对值的定义; (2)一元二次方程根的判别式与根的情况; (3)二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向; k (4)反比例函数 y=x(x≠0)的反比例系数 k,正比例函数 y=kx 的比例系数 k, 一次函数 y=kx+b 的斜率 k 与图像位置及函数单调 性的关系;

(5)幂函数 y=xα 的幂指数 α 的正、负与定义域、单调性、奇偶 性的关系; (6)指数函数 y=ax 及其反函数 y=loga x 中底数 a>1 及 0<a<1 对函数单调性的影响; (7)等比数列前 n 项和公式中 q=1 与 q≠1 的区别; (8)不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的 影响; (9)直线与圆锥曲线位置关系的讨论; (10)运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否存在.

2.利用分类讨论思想应注意以下问题 (1)分类讨论要标准统一,层次分明,分类要做到“不重不 漏”. (2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别,再确定每级 讨论的对象与标准,每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重 不漏,最后将讨论结果归类合并.其中级别与级别之间有严格的 先后顺序、类别和类别之间没有先后;最后整合时要注意是取交 集、并集,还是既不取交集也不取并集只是分条列出.

数学思想专练(三)


相关文章:
...第2部分 专题1 第3讲 分类讨论思想 Word版含解析]
2014高考数学()二轮专题突破训练 第2部分 专题1 第3讲 分类讨论思想 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014高考数学()二轮专题突破训练 第2部分 专题1 第...
...专题配套word版练习:专题八 第3讲 分类讨论思想]
【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)二轮专题配套word版练习:专题第3讲 分类讨论思想]_高考_高中教育_教育专区。【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)...
高考数学(理科)二轮专题复习 : 专题七 第3讲分类讨论思想
高考数学(理科)二轮专题复习 : 专题第3讲分类讨论思想_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学(理科)二轮专题复习 第3讲 分类讨论思想 1.分类讨论思想是...
2014届高考数学(理科)二轮专题突破(浙江专版):专题一 ...
2014届高考数学(理科)二轮专题突破(浙江专版):专题一 第5讲 导数的简单应用_数学_高中教育_教育专区。第五讲 导数的简单应用?选择、填空题型? [来源:学#科#网...
浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破 第1部分 专题一 ...
专题一 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的...《创新方案》2014 届高考数学(理科)二轮专题突破预测...设 a=0.5 ,b=0.3 ,c=log0.30.2,则 a,b...
2015届高考数学(理科)二轮专题突破训练:专题七 概率与...
2015届高考数学(理科)二轮专题突破训练:专题七 概率与统计第3讲_高考_高中教育_教育专区。第3讲 考情解读 统计与统计案例 1.该部分常考内容:样本数字特征的计算...
【创新设计】2015高考数学(四川专用,理科)二轮专题整合...
【创新设计】2015高考数学(四川专用,理科)二轮专题整合:1-7-2分类讨论思想、转化与化归思想]_高考_高中教育_教育专区。【创新设计】2015高考数学(四川专用,理科)...
浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破第1部分 专题一 ...
《创新方案》2014 届高考数学(理科)二轮专题突破预测演练 提能训练(浙江专版) :第 1 部分 专题一 第 1 讲 集合、常用逻辑用 语(选择、填空题型) (以 2013 ...
2015年高考理科数学第二轮复习系列专题课件目录
2015 年高考理科数学第二轮复习系列专题课件目录 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 ...分类讨论思想 2015 年高考理科数学第二轮复习系列专题课件:转化与化归思想 2015 ...
浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破 第1部分 专题一 ...
专题一 第2讲 函数的图像与性质选择、填空题型_...《创新方案》2014 届高考数学(理科)二轮专题突破预测...3 =f(x)的图像与直线 y= ,y=a 共有五个不...
更多相关标签:
高三地理二轮专题 | 地理二轮专题 | 高三物理二轮专题 | 高考物理二轮复习专题 | 高考二轮化学专题复习 | 全品高考第二轮专题 | 高三地理二轮专题复习 | 高三物理二轮复习专题 |