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2015年高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题,有答案)


2015 年高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题)
一.选择题(共 15 小题) 1. (2014?成都一模)已知椭圆 C: 则| A. |=( ) B.2 C.
2

+y =1 的右焦点为 F,右准线为 l,点 A∈l,线段 AF 交 C 于点 B,若

2

=3

r />
D.3

2. (2014?鄂尔多斯模拟)已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点,若 |FA|=2|FB|,则 k=( ) A. B. C. D.

3. (2014?和平区模拟)在抛物线 y=x +ax﹣5(a≠0)上取横坐标为 x1=﹣4,x2=2 的两点,经过两点引一条割线, 2 2 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x +5y =36 相切,则抛物线顶点的坐标为( ) A.(﹣2,﹣9) B.(0,﹣5) C.(2,﹣9) D.(1,6)

2

4. (2014?焦作一模)已知椭圆

(a>b>0)与双曲线
2 2 2

(m>0,n>0)有相同的焦点(﹣c,0) )

和(c,0) ,若 c 是 a、m 的等比中项,n 是 2m 与 c 的等差中项,则椭圆的离心率是( A. B. C. D.

5. (2014?焦作一模)已知点 P 是椭圆 若 M 是∠ F1PF2 的角平分线上一点,且 A.[0,3) B.(0,2

+

=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,O 是坐标原点, ? ) =0,则| |的取值范围是( C.[2 ,3) ) D.[0,4]

6. (2014?北京模拟)已知椭圆 线交椭圆于 P,则使得 A. B.

的焦点为 F1、F2,在长轴 A1A2 上任取一点 M,过 M 作垂直于 A1A2 的直 的 M 点的概率为( C. ) D.

7. (2014?怀化三模)从

(其中 m,n∈{﹣1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程 ) D.

中任取一个,则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为( A. B. C.

8. (2014?重庆模拟)已知点 F1,F2 分别是双曲线

的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x )

轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( A. B. C. D.

9. (2014?黄冈模拟)已知点 F 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F )

且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,△ ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ ) D.(2,1+ )

10. (2014?凉州区二模)已知双曲线

(a>0,b>0)的左右焦点是 F1,F2,设 P 是双曲线右支上一点, 且它们的夹角为 C. ,则双曲线的离心率 e 为( D. )

上的投影的大小恰好为 A. B.

11. (2015?浙江一模)如图,F1、F2 是双曲线

的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的 )

左、右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A .4

B.

C.

D.

12. (2014?河西区二模)双曲线

的左、右焦点分别为 F1、F2 离心率为 e.过 F2 的直
2

线与双曲线的右支交于 A、B 两点,若△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e 的值是( A.1+2 B.3+2 C.4﹣2 D.5﹣2



13. (2014?呼和浩特一模)若双曲线 该双曲线的离心率为( A. ) B.

=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则

C.

D.

14. (2014?太原一模) 点 P 在双曲线:

(a>0, b>0) 上, F1, F2 是这条双曲线的两个焦点, ∠ F1PF2=90°, ) D.5

且△ F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( A .2 B.3 C .4

15. (2014?南昌模拟)已知双曲线

的左右焦点分别为 F1,F2,e 为双曲线的离心率, )

P 是双曲线右支上的点,△ PF1F2 的内切圆的圆心为 I,过 F2 作直线 PI 的垂线,垂足为 B,则 OB=( A .a B.b C.ea D.eb 二.填空题(共 5 小题) 16. (2014?江西一模)过双曲线

=1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF(O 为原点)

的垂直平分线上,则双曲线的离心率为 _________ .

17. (2014?渭南二模)已知 F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的

左、右两支分别交于 A,B 两点.若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,则双曲线的离心率为 _________ .

18. (2013?辽宁)已知椭圆

的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连

接 AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ ABF= ,则 C 的离心率 e= _________ .

19. (2013?江西)抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 等边三角形,则 p= _________ .

2

=1 相交于 A,B 两点,若△ ABF 为

20. (2014?宜春模拟)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 与 C 的一个交点为 B,若 ,则 p= _________ .

2

的直线与 l 相交于 A,

三.解答题(共 10 小题) 21. (2014?黄冈模拟)已知椭圆 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、

B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (Ⅰ )求 a,b 的值;



(Ⅱ )C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 的方程;若不存在,说明理由.

成立?若存在,求出所有的 P 的坐标与 l

22. (2014?南充模拟)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) ,B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ )若 ,求 k 的值;

(Ⅱ )求四边形 AEBF 面积的最大值.

23. (2014?福建)已知双曲线 E:



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x.

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、第四象限) ,且△ OAB 的 面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程,若不 存在,说明理由.

24. (2014?福建模拟)已知椭圆 四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程;

的左、右焦点分别为 F1、F2,短轴两个端点为 A、B,且

(2)若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥ CD,连接 CM,交椭圆于点 P.证明:

为定

值. (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP、MQ 的交点, 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

25. (2014?宜春模拟)如图,已知圆 G:x +y ﹣2x﹣

2

2

y=0,经过椭圆

=1(a>b>0)的右焦点 F 及上顶点

B,过圆外一点 M(m,0) (m>a)倾斜角为

的直线 l 交椭圆于 C,D 两点,

(1)求椭圆的方程; (2)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,求 m 的取值范围.

26. (2014?内江模拟)已知椭圆 C:

的离心率为

,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成

的三角形的面积为



(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交于 A、B 两点. ① 若线段 AB 中点的横坐标为 ② 已知点 ,求证: ,求斜率 k 的值; 为定值.

27. (2014?红桥区二模)已知 A(﹣2,0) ,B(2,0)为椭圆 C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,且△ APB 面积的最大值为 . (Ⅰ )求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ )直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D,当直线 AP 绕点 A 转动时,试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的 位置关系,并加以证明.

28. (2014?南海区模拟)一动圆与圆 (I)求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程.

外切,与圆

内切.

(Ⅱ )设过圆心 O1 的直线 l:x=my+1 与轨迹 L 相交于 A、B 两点,请问△ ABO2(O2 为圆 O2 的圆心)的内切圆 N 的 面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线 l 的方程,若不存在,请说明理由. 29. (2014?通辽模拟)如图所示,F 是抛物线 y =2px(p>0)的焦点,点 A(4,2)为抛物线内一定点,点 P 为抛 物线上一动点,|PA|+|PF|的最小值为 8. (1)求抛物线方程; (2)若 O 为坐标原点,问是否存在点 M,使过点 M 的动直线与抛物线交于 B,C 两点,且以 BC 为直径的圆恰过 坐标原点,若存在,求出动点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
2

30. (2014?萧山区模拟)如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1:x =2py(p>0)的焦点,且抛物线 C1 上点 P 处 2 2 的切线与圆 C2:x +y =1 相切于点 Q. (Ⅰ )当直线 PQ 的方程为 x﹣y﹣ =0 时,求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ )当正数 p 变化时,记 S1,S2 分别为△ FPQ,△ FOQ 的面积,求 的最小值.

2

参考答案与试题解析
一.选择题(共 15 小题) 1. (2014?成都一模)已知椭圆 C: 则| A. |=( ) B.2 C. D.3 +y =1 的右焦点为 F,右准线为 l,点 A∈l,线段 AF 交 C 于点 B,若
2

=3



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 过点 B 作 BM⊥ l 于 M,设右准线 l 与 x 轴的交点为 N,根据椭圆的性质可知 FN=1,由椭圆的第二定义可求
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得|BF|,进而根据若

,求得|AF|.

解答: 解:过点 B 作 BM⊥ l 于 M, 并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N,易知 FN=1. 由题意 ,故 .

又由椭圆的第二定义,得 ∴ . 故选 A 点评: 本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,属基础题. 2. (2014?鄂尔多斯模拟)已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点,若 |FA|=2|FB|,则 k=( ) A. B. C. D.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据直线方程可知直线恒过定点,如图过 A、B 分别作 AM⊥ l 于 M,BN⊥ l 于 N,根据|FA|=2|FB|,推断出
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|AM|=2|BN|,点 B 为 AP 的中点、连接 OB,进而可知

,进而推断出|OB|=|BF|,进而求得点 B

的横坐标,则点 B 的坐标可得,最后利用直线上的两点求得直线的斜率. 解答: 解:设抛物线 C:y =8x 的准线为 l:x=﹣2 直线 y=k(x+2) (k>0)恒过定点 P(﹣2,0) 如图过 A、B 分别作 AM⊥ l 于 M,BN⊥ l 于 N, 由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|, 点 B 为 AP 的中点、连接 OB, 则 ,
2

∴ |OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为 故选 D ,

点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了对抛物线的基础知识的灵活运用. 3. (2014?和平区模拟)在抛物线 y=x +ax﹣5(a≠0)上取横坐标为 x1=﹣4,x2=2 的两点,经过两点引一条割线, 2 2 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x +5y =36 相切,则抛物线顶点的坐标为( ) A.(﹣2,﹣9) B.(0,﹣5) C.(2,﹣9) D.(1,6) 考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 求出两个点的坐标,利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率;利用导数在切点处的值为切线的斜率求出 切点坐标; 利用直线方程的点斜式求出直线方程; 利用直线与圆相切的条件求出 a, 求出抛物线的顶点坐标. 解答: 解:两点坐标为(﹣4,11﹣4a) ; (2,2a﹣1)
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2

两点连线的斜率 k= 对于 y=x +ax﹣5 y′ =2x+a ∴ 2x+a=a﹣2 解得 x=﹣1 在抛物线上的切点为(﹣1,﹣a﹣4) 切线方程为(a﹣2)x﹣y﹣6=0 直线与圆相切,圆心(0,0)到直线的距离=圆半径
2

解得 a=4 或 0(0 舍去) 2 抛物线方程为 y=x +4x﹣5 顶点坐标为(﹣2,﹣9) 故选 A. 点评: 本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆 心到直线的距离等于半径.

4. (2014?焦作一模)已知椭圆

(a>b>0)与双曲线
2 2 2

(m>0,n>0)有相同的焦点(﹣c,0) )

和(c,0) ,若 c 是 a、m 的等比中项,n 是 2m 与 c 的等差中项,则椭圆的离心率是( A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质;等差数列的性质;等比数列的性质;圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题;压轴题.

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分析: 根据是 a、m 的等比中项可得 c2=am,根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得 a2+b2=m2+n2=c,根据 n2 是 2m2 2 2 2 2 与 c 的等差中项可得 2n =2m +c ,联立方程即可求得 a 和 c 的关系,进而求得离心率 e. 解答: 解:由题意:

∴ ∴ ∴ .

, ,∴ a =4c ,
2 2

故选 D. 点评: 本题主要考查了椭圆的性质,属基础题.

5. (2014?焦作一模)已知点 P 是椭圆 若 M 是∠ F1PF2 的角平分线上一点,且 A.[0,3) B.(0,2

+

=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,O 是坐标原点, ? ) =0,则| |的取值范围是( C.[2 ,3) ) D.[0,4]

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的定义. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 结合椭圆 =1 的图象,当点 P 在椭圆与 y 轴交点处时,点 M 与原点 O 重合,此时|OM|取最小值 0.
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当点 P 在椭圆与 x 轴交点处时,点 M 与焦点 F1 重合,此时|OM|取最大值 范围. 解答: 解:由椭圆 =1 的方程可得,c= .

.由此能够得到|OM|的取值

由题意可得,当点 P 在椭圆与 y 轴交点处时,点 M 与原点 O 重合,此时|OM|取得最小值为 0. 当点 P 在椭圆与 x 轴交点处时,点 M 与焦点 F1 重合,此时|OM|取得最大值 c=2 . ∵ xy≠0,∴ |OM|的取值范围是(0, ) . 故选:B. 点评: 本题考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,结合图象解题,事半功倍.

6. (2014?北京模拟)已知椭圆 线交椭圆于 P,则使得 A. B.

的焦点为 F1、F2,在长轴 A1A2 上任取一点 M,过 M 作垂直于 A1A2 的直 的 M 点的概率为( C. ) D.

考点: 椭圆的应用;几何概型. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 当∠ F1PF2=90°时,P 点坐标为
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,由

,得∠ F1PF2≥90°.故



M 点的概率. 解答: 解:∵ |A1A2|=2a=4, ,

设 P(x0,y0) , ∴ 当∠ F1PF2=90°时, 解得 由 ,把 代入椭圆 ,得∠ F1PF2≥90°. 得 . ,

∴ 结合题设条件可知使得 故选 C. 点评: 作出草图,数形结合,事半功倍.

的 M 点的概率=



7. (2014?怀化三模)从

(其中 m,n∈{﹣1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程 ) D.

中任取一个,则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为( A. B. C.

考点: 双曲线的标准方程;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题;压轴题. 分析: m 和 n 的所有可能取值共有 3×3=9 个,其中有两种不符合题意,故共有 7 种,可一一列举,从中数出能使 方程是焦点在 x 轴上的双曲线的选法,即 m 和 n 都为正的选法数,最后由古典概型的概率计算公式即可得 其概率 解答: 解:设(m,n)表示 m,n 的取值组合,则取值的所有情况有(﹣1,﹣1) , (2,﹣1) , (2,2) , (2,3) , (3,﹣1) , (3,2) , (3,3)共 7 个, (注意(﹣1,2) , (﹣1,3)不合题意) 其中能使方程是焦点在 x 轴上的双曲线的有: (2,2) , (2,3) , (3,2) , (3,3)共 4 个
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∴ 此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为 故选 B 点评: 本题考查了古典概型概率的求法,椭圆、双曲线、抛物线的标准方程,列举法计数的技巧,准确计数是解 决本题的关键

8. (2014?重庆模拟)已知点 F1,F2 分别是双曲线

的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x )

轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( A. B. C. D. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析:

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先求出 A,B 两点的纵坐标,由△ ABF2 是锐角三角形知,tan∠ AF2F1= e 的范围. 解答: 解:在双曲线 中,

<1,e ﹣2e﹣1<0,解不等式求出

2

令 x=﹣c 得,y=±

,∴ A,B 两点的纵坐标分别为±



由△ ABF2 是锐角三角形知,∠ AF2F1<
2 2 2

,tan∠ AF2F1=

<tan

=1,



<1,c ﹣2ac﹣a <0,e ﹣2e﹣1<0,∴ 1﹣ ,

<e<1+



又 e>1,∴ 1<e<1+ 故选 D. 点评:

本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,判断∠ AF2F1< 关键.

,tan

=

<1,是解题的

9. (2014?黄冈模拟)已知点 F 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F )

且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,△ ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ ) D.(2,1+ )

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的对称性,得到等腰△ ABE 中,∠ AEB 为锐角,可得|AF|<|EF|,将此式转化为关于 a、c 的不等 式,化简整理即可得到该双曲线的离心率 e 的取值范围. 解答: 解:根据双曲线的对称性,得 △ ABE 中,|AE|=|BE|, ∴ △ ABE 是锐角三角形,即∠ AEB 为锐角 由此可得 Rt△ AFE 中,∠ AEF<45°,得|AF|<|EF|
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∵ |AF|=

=

,|EF|=a+c



<a+c,即 2a +ac﹣c >0
2 2

2

2

两边都除以 a ,得 e ﹣e﹣2<0,解之得﹣1<e<2 ∵ 双曲线的离心率 e>1 ∴ 该双曲线的离心率 e 的取值范围是(1,2) 故选:B

点评: 本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形,求双曲线离心率的范围,着重考查了双 曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.

10. (2014?凉州区二模)已知双曲线

(a>0,b>0)的左右焦点是 F1,F2,设 P 是双曲线右支上一点, 且它们的夹角为 C. ,则双曲线的离心率 e 为( D. )

上的投影的大小恰好为 A. B.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 上的投影的大小恰好为
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判断两向量互相垂直得到直角三角形,进而根据直角三

角形中内角为 解答: 解:∵ ∴ PF1⊥ PF2 且它们的夹角为

,结合双曲线的定义建立等式求得 a 和 c 的关系式,最后根据离心率公式求得离心率 e. 上的投影的大小恰好为

,∴



∴ 在直角三角形 PF1F2 中,F1F2=2c, ∴ PF2=c,PF1= 又根据双曲线的定义得:PF1﹣PF2=2a, ∴ c﹣c=2a ∴ e= 故选 C. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生综合分析问题和运算的能力.解答关键是通过解三角形求 得 a,c 的关系从而求出离心率.

11. (2015?浙江一模)如图,F1、F2 是双曲线

的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的 )

左、右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A .4

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质.

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专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a, |BF2|﹣|BF1|=2a, 利用等边三角形的定义可得: |AB|=|AF2|=|BF2|, .在△ AF1F2 中使用余弦定理可得 : = ﹣ ,再利用离心率的计算公式即可得出. .

解答: 解:∵ △ ABF2 为等边三角形,∴ |AB|=|AF2|=|BF2|, 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,∴ |BF1|=2a. 又|BF2|﹣|BF1|=2a,∴ |BF2|=4a. ∴ |AF2|=4a,|AF1|=6a. 在△ AF1F2 中,由余弦定理可得: ∴ =
2

﹣ ,化为 c =7a ,
2





=



故选 B. 点评: 熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键.

12. (2014?河西区二模)双曲线

的左、右焦点分别为 F1、F2 离心率为 e.过 F2 的直
2

线与双曲线的右支交于 A、B 两点,若△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e 的值是( A.1+2 B.3+2 C.4﹣2 D.5﹣2 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设|AF1|=|AB|=m,计算出|AF2|=(1﹣
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)m,再利用勾股定理,即可建立 a,c 的关系,从而求出 e 的值. m﹣2a,

2

解答: 解:设|AF1|=|AB|=m,则|BF1|= ∵ |AB|=|AF2|+|BF2|=m, ∴ m﹣2a+ m﹣2a=m, ∴ 4a= m,∴ |AF2|=(1﹣

m,|AF2|=m﹣2a,|BF2|=

)m,
2 2 2 2

∵ △ AF1F2 为 Rt 三角形,∴ |F1F2| =|AF1| +|AF2| ∴ 4c =( ﹣ ∵ 4a=
2

)m ,

2

m )×8a ,
2

∴ 4c =( ﹣ ∴ e =5﹣2 故选 D.
2

点评: 本题考查双曲线的标准方程与性质,考查双曲线的定义,解题的关键是确定|AF2|,从而利用勾股定理求解.

13. (2014?呼和浩特一模)若双曲线 该双曲线的离心率为( )

=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则

A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 因为双曲线即关于两条坐标轴对称,又关于原点对称,所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等,所
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以不妨利用点到直线的距离公式求(c,0)到 y= x 的距离,再令该距离等于焦距的 ,就可得到含 b,c 的齐次式,再把 b 用 a,c 表示,利用 e= 即可求出离心率. 解答: 解:双曲线 的焦点坐标为(c,0) (﹣c,0) ,渐近线方程为 y=± x

根据双曲线的对称性,任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等, 求(c,0)到 y= x 的距离,d= = =b,

又∵ 焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 , ∴ b= ×2c,两边平方,得 4b =c ,即 4(c ﹣a )=c ,
2 2 2 2 2 2 2 2

∴ 3c =4a ,

,即 e = ,e=

故选 B 点评: 本题主要考查点到直线的距离公式的应用,以及双曲线离心率的求法,求离心率关键是找到 a,c 的齐次式.

14. (2014?太原一模) 点 P 在双曲线:

(a>0, b>0) 上, F1, F2 是这条双曲线的两个焦点, ∠ F1PF2=90°, ) D.5

且△ F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( A .2 B.3 C .4

考点: 双曲线的简单性质;等差数列的性质. 专题: 压轴题. 分析: 通过|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,分别设为 m﹣d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理求出 m=4d=8a,
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c=

,由此求得离心率的值.

解答: 解:因为△ F1PF2 的三条边长成等差数列,不妨设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列, 分别设为 m﹣d,m,m+d, 2 2 2 则由双曲线定义和勾股定理可知:m﹣(m﹣d)=2a,m+d=2c, (m﹣d) +m =(m+d) ,

解得 m=4d=8a,c=

,故离心率 e= =

=5,

故选 D. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档题.

15. (2014?南昌模拟)已知双曲线

的左右焦点分别为 F1,F2,e 为双曲线的离心率, )

P 是双曲线右支上的点,△ PF1F2 的内切圆的圆心为 I,过 F2 作直线 PI 的垂线,垂足为 B,则 OB=( A .a B.b C.ea D.eb

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意,利用切线长定理,再利用双曲线的定义,把|PF1|﹣|PF2|=2a,转化为|AF1|﹣|AF2|=2a,从而求得 点 H 的横坐标.再在三角形 PCF2 中,由题意得,它是一个等腰三角形,从而在三角形 F1CF2 中,利用中位 线定理得出 OB,从而解决问题. 解答: 解:由题意知:F1(﹣c,0) 、F2(c,0) ,内切圆与 x 轴的切点是点 A, ∵ |PF1|﹣|PF2|=2a,及圆的切线长定理知, |AF1|﹣|AF2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为 x, 则|(x+c)﹣(c﹣x)|=2a ∴ x=a. 在三角形 PCF2 中,由题意得,它是一个等腰三角形,PC=PF2, ∴ 在三角形 F1CF2 中,有:
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OB= CF1= (PF1﹣PC)= (PF1﹣PF2)= ×2a=a. 故选 A.

点评: 本题考查双曲线的定义、切线长定理.解答的关键是充分利用三角形内心的性质. 二.填空题(共 5 小题) 16. (2014?江西一模)过双曲线 的垂直平分线上,则双曲线的离心率为 =1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 OF(O 为原点) .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先设垂足为 D,根据双曲线方程可求得其中一个渐近线和焦点 F 的坐标,进而得到 D 点坐标.表示直线 DF 的斜率与直线 OD 的斜率乘积为﹣1,进而得到 a 和 b 的关系,进而求得离心率. 解答: 解:设垂足为 D,
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根据双曲线方程可知其中一个渐近线为 y= x,焦点为 F(

,0)

D 点坐标(





∴ kDF=

=﹣

∵ OD⊥ DF ∴ kDF?kOD=﹣1 ∴ ,即 a=b

∴ e= =

=

故答案为 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.要熟练掌握双曲线关于渐近线、焦点、标准方程等基本知识.

17. (2014?渭南二模)已知 F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的 .

左、右两支分别交于 A,B 两点.若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,则双曲线的离心率为 考点: 专题: 分析: 解答: 双曲线的简单性质. 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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根据双曲线的定义可求得 a=1, ∠ ABF2=90°, 再利用勾股定理可求得 2c=|F1F2|, 从而可求得双曲线的离心率. 解:∵ |AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,不妨令|AB|=3,|BF2|=4,|AF2|=5, 2 2 2 ∵ |AB| +|BF2| =|AF2| ,∴ ∠ ABF2=90°, 又由双曲线的定义得:|BF1|﹣|BF2|=2a,|AF2|﹣|AF1|=2a, ∴ |AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|,∴ |AF1|=3. ∴ |BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a, ∴ a=1. 2 2 2 2 2 在 Rt△ BF1F2 中,|F1F2| =|BF1| +|BF2| =6 +4 =52, 2 2 2 ∵ |F1F2| =4c ,∴ 4c =52,∴ c= . ∴ 双曲线的离心率 e= = .

故答案为: . 点评: 本题考查双曲线的简单性质,考查转化思想与运算能力,求得 a 与 c 的值是关键,属于中档题.

18. (2013?辽宁)已知椭圆

的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连

接 AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ ABF= ,则 C 的离心率 e=



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设椭圆右焦点为 F',连接 AF'、BF',可得四边形 AFBF'为平行四边形,得|AF|=|BF'|=6.△ ABF 中利用余弦定
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理算出|BF|=8,从而得到|AF| +|BF| =|AB| ,得∠ AFB=90°,所以 c=|OF|= |AB|=5.根据椭圆的定义得到 2a=|BF|+|BF'|=14,得 a=7,最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆 C 的离心率. 解答: 解:设椭圆的右焦点为 F',连接 AF'、BF' ∵ AB 与 FF'互相平分,∴ 四边形 AFBF'为平行四边形,可得|AF|=|BF'|=6 ∵ △ ABF 中,|AB|=10,|AF|=6,cos∠ ABF= , ∴ 由余弦定理|AF| =|AB| +|BF| ﹣2|AB|×|BF|cos∠ ABF, 可得 6 =10 +|BF| ﹣2×10×|BF|× ,解之得|BF|=8 由此可得,2a=|BF|+|BF'|=14,得 a=7 2 2 2 ∵ △ ABF 中,|AF| +|BF| =100=|AB| ∴ ∠ AFB=90°,可得|OF|= |AB|=5,即 c=5 因此,椭圆 C 的离心率 e= = 故答案为:
2 2 2 2 2 2

2

2

2

点评: 本题给出椭圆经过中心的弦 AB 与左焦点构成三边分别为 6、8、10 的直角三角形,求椭圆的离心率.着重 考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识,属于中档题.

19. (2013?江西)抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 等边三角形,则 p= 6 .

2

=1 相交于 A,B 两点,若△ ABF 为

考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 常规题型;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的焦点坐标,准线方程,然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标,利用三角形是等边三角 形求出 p 即可. 解答: 解:抛物线的焦点坐标为(0, ) ,准线方程为:y=﹣ ,
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准线方程与双曲线联立可得:



解得 x=±


2 2

因为△ ABF 为等边三角形,所以

,即 p =3x ,



,解得 p=6.

故答案为:6. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,双曲线方程的应用,考查分析问题解决问题的能力以及计算能力. 20. (2014?宜春模拟)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 与 C 的一个交点为 B,若 ,则 p= 2 .
2

的直线与 l 相交于 A,

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 2 设直线 AB 的方程与抛物线方程联立消去 y 得 3x +(﹣6﹣2p)x+3=0,进而根据
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,可知 M 为 A、B

的中点, 可得 p 的关系式,解方程即可求得 p. 解答: 解:设直线 AB: 又∵ ,代入 y =2px 得 3x +(﹣6﹣2p)x+3=0,
2 2

,即 M 为 A、B 的中点,

∴ xB+(﹣ )=2,即 xB=2+ , 得 p +4P﹣12=0, 解得 p=2,p=﹣6(舍去) 故答案为:2 点评: 本题考查了抛物线的几何性质.属基础题. 三.解答题(共 10 小题) 21. (2014?黄冈模拟)已知椭圆 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、
2

B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (Ⅰ )求 a,b 的值;



(Ⅱ )C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 的方程;若不存在,说明理由.

成立?若存在,求出所有的 P 的坐标与 l

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (I)设 F(c,0) ,则直线 l 的方程为 x﹣y﹣c=0,由坐标原点 O 到 l 的距离求得 c,进而根据离心率求得 a 和 b. (II)由(I)可得椭圆的方程,设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,l:x=my+1 代入椭圆的方程中整理得方程△
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>0.由韦达定理可求得 y1+y2 和 y1y2 的表达式,假设存在点 P,使

成立,则其充要条件为:点

P 的坐标为(x1+x2,y1+y2) ,代入椭圆方程;把 A,B 两点代入椭圆方程,最后联立方程求得 c,进而求得 P 点坐标,求出 m 的值得出直线 l 的方程. 解答: 解: (I)设 F(c,0) ,直线 l:x﹣y﹣c=0, 由坐标原点 O 到 l 的距离为

则 又 ,∴

,解得 c=1

(II)由(I)知椭圆的方程为 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) 由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 l:x=my+1 2 2 代入椭圆的方程中整理得(2m +3)y +4my﹣4=0,显然△ >0. 由韦达定理有: 假设存在点 P,使 , 成立,则其充要条件为: ,①

点 P 的坐标为(x1+x2,y1+y2) , 点 P 在椭圆上,即 整理得 2x1 +3y1 +2x2 +3y2 +4x1x2+6y1y2=6. 2 2 2 2 又 A、B 在椭圆上,即 2x1 +3y1 =6,2x2 +3y2 =6、 故 2x1x2+3y1y2+3=0② 将 x1x2=(my1+1) (my2+1)=m y1y2+m(y1+y2)+1 及① 代入② 解得 ∴ ,
2 2 2 2 2



x1+x2=

,即

当 当



点评: 本题主要考查了椭圆的性质.处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够.所谓“算”,主要讲的是算 理和算法.算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是 里,一个是现象,一个是本质.有时候算理和算法并不是截然区分的.例如:三角形的面积是用底乘高的 一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算?在具体处理的时候,要根据具体问题及题 意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点. 22. (2014?南充模拟)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) ,B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ )若 ,求 k 的值;

(Ⅱ )求四边形 AEBF 面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;向量的共线定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)依题可得椭圆的方程,设直线 AB,EF 的方程分别为 x+2y=2,y=kx,D(x0,kx0) ,E(x1,kx1) ,F
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(x2,kx2) ,且 x1,x2 满足方程(1+4k )x =4,进而求得 x2 的表达式,进而根据

2

2

求得 x0 的表达

式,由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2,进而求得 x0 的另一个表达式,两个表达式相等求得 k. (Ⅱ )由题设可知|BO|和|AO|的值,设 y1=kx1,y2=kx2,进而可表示出四边形 AEBF 的面积进而根据基本不 等式的性质求得最大值. 解答: 解: (Ⅰ )依题设得椭圆的方程为 ,

直线 AB,EF 的方程分别为 x+2y=2,y=kx(k>0) . 如图,设 D(x0,kx0) ,E(x1,kx1) ,F(x2,kx2) ,其中 x1<x2,

且 x1,x2 满足方程(1+4k )x =4, 故 .①

2

2



知 x0﹣x1=6(x2﹣x0) ,得



由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2,得 所以
2





化简得 24k ﹣25k+6=0, 解得 或 .

(Ⅱ )由题设,|BO|=1,|AO|=2.由(Ⅰ )知,E(x1,kx1) ,F(x2,kx2) , 不妨设 y1=kx1,y2=kx2,由① 得 x2>0,根据 E 与 F 关于原点对称可知 y2=﹣y1>0, 故四边形 AEBF 的面积为 S=S△OBE+S△OBF+S△OAE+S△OAF = = =x2+2y2 = = = , ?(﹣y1)

当 x2=2y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 . 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点 内容,问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等,而不同的解题途径其运算量繁简差别很大.

23. (2014?福建)已知双曲线 E:



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x.

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、第四象限) ,且△ OAB 的 面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程,若不 存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)依题意,可知 =2,易知 c= a,从而可求双曲线 E 的离心率;
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(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为



=1,设直线 l 与 x 轴相交于点 C,分 l⊥ x 轴与直线 l 不与 x 轴

垂直讨论,当 l⊥ x 轴时,易求双曲线 E 的方程为



=1.当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为

y=kx+m,与双曲线 E 的方程联立,利用由 S△OAB= |OC|?|y1﹣y2|=8 可证得:双曲线 E 的方程为 从而可得答案. 解答: 解: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x, 所以 =2.



=1,

所以 故 c= a,

=2.

从而双曲线 E 的离心率 e= =



(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为



=1.

设直线 l 与 x 轴相交于点 C, 当 l⊥ x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a, 所以 |OC|?|AB|=8,

因此 a?4a=8,解得 a=2,此时双曲线 E 的方程为



=1.

以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E 的方程为 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<﹣2;



=1 也满足条件.

则 C(﹣ ,0) ,记 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 得 y1= ,同理得 y2= ,

由 S△OAB= |OC|?|y1﹣y2|得: |﹣ |?|
2



|=8,即 m =4|4﹣k |=4(k ﹣4) .

2

2

2

因为 4﹣k <0, 2 2 2 2 2 2 所以△ =4k m +4(4﹣k ) (m +16)=﹣16(4k ﹣m ﹣16) , 2 2 又因为 m =4(k ﹣4) , 所以△ =0,即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 ﹣ =1.

点评: 本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能 力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想.

24. (2014?福建模拟)已知椭圆 四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程;

的左、右焦点分别为 F1、F2,短轴两个端点为 A、B,且

(2)若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥ CD,连接 CM,交椭圆于点 P.证明:

为定

值. (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP、MQ 的交点, 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

考点: 椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;压轴题. 分析:
2

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(1)由题意知 a=2,b=c,b =2,由此可知椭圆方程为 (2)设 M(2,y0) ,P(x1,y1) ,

. ,直线 CM:

,代入椭圆方程 x +2y =4,得

2

2

,然后

利用根与系数的关系能够推导出

为定值.

(3)设存在 Q(m,0)满足条件,则 MQ⊥ DP.



再由 解答: 解: (1)a=2,b=c,a =b +c ,∴ b =2; ∴ 椭圆方程为 (4 分)
2 2 2 2

,由此可知存在 Q(0,0)满足条件.

(2)C(﹣2,0) ,D(2,0) ,设 M(2,y0) ,P(x1,y1) ,

直线 CM:

,代入椭圆方程 x +2y =4,

2

2



(6 分)

∵ x1=﹣ 分) ∴

,∴

,∴

,∴

(8

(定值) (10 分)

(3)设存在 Q(m,0)满足条件,则 MQ⊥ DP(11 分) (12 分)

则由

,从而得 m=0

∴ 存在 Q(0,0)满足条件(14 分) 点评: 本题考查直线和椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.

25. (2014?宜春模拟)如图,已知圆 G:x +y ﹣2x﹣

2

2

y=0,经过椭圆

=1(a>b>0)的右焦点 F 及上顶点

B,过圆外一点 M(m,0) (m>a)倾斜角为

的直线 l 交椭圆于 C,D 两点,

(1)求椭圆的方程; (2)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,求 m 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)依据题意可求得 F,B 的坐标,求得 c 和 b,进而求得 a,则椭圆的方程可得; (2)设出直线 l 的方程,与椭圆方程联立消去,利用判别式大于 0 求得 m 的范围,设出 C,D 的坐标,利
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用韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2,进而利用直线方程求得 y1y2,表示出 利用 F 在圆 E 的内部判断出 解答: 解: (1) ∴ F(2,0) , 故椭圆的方程为 , ?



,进而求得

?

的表达式,

<0 求得 m 的范围,最后综合可求得 md 范围. 过点 F、B,

(2)直线 l:

消 y 得 2x ﹣2mx+(m ﹣6)=0 由△ >0? 又 ? ,

2

2

设 C(x1,y1) 、D(x2,y2) ,则 x1+x2=m, , ∴ ∵ F 在圆 E 的内部,∴ ,





又 ? . 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生综合运用所学知识解决实际问题的能力.

26. (2014?内江模拟)已知椭圆 C:

的离心率为

,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成

的三角形的面积为



(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交于 A、B 两点. ① 若线段 AB 中点的横坐标为 ② 已知点 ,求证: ,求斜率 k 的值; 为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)根据椭圆的离心率,三角形的面积及椭圆几何量之间的关系,建立等式,即可求得椭圆的标准方程;
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(2)① 直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及线段 AB 中点的横坐标为 ② 利用韦达定理,及向量的数量积公式,计算即可证得结论. 解答: 2 2 2 (1)解:因为 满足 a =b +c , ,…(2 分)

,即可求斜率 k 的值;

根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 从而可解得 所以椭圆方程为 , …(4 分)

,可得



(2)证明:① 将 y=k(x+1)代入

中,消元得(1+3k )x +6k x+3k ﹣5=0…(6 分)

2

2

2

2

△ =36k ﹣4(3k +1) (3k ﹣5)=48k +20>0,

4

2

2

2

…(7 分)

因为 AB 中点的横坐标为

,所以

,解得

…(9 分)

② 由① 知



所以 = (12 分) = = =

…(11 分) …

= …(14 分)

点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量的数量积,考查学生的运算能力,综合性

强. 27. (2014?红桥区二模)已知 A(﹣2,0) ,B(2,0)为椭圆 C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,且△ APB 面积的最大值为 . (Ⅰ )求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ )直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D,当直线 AP 绕点 A 转动时,试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的 位置关系,并加以证明. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: (I)根据椭圆的特征可得当点 P 在点(0,b)时,△ APB 面积的最大,结合题中的条件可得 a、b 与 c 的关 系进而得到答案.
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(II)设点 P 的坐标为(x0,y0) ,由题意可设直线 AP 的方程为 y=k(x+2) ,可得点 D 与 BD 中点 E 的坐 2 2 2 2 标,联立直线与椭圆的方程得(3+4k )x +16k x+16k ﹣12=0,进而表示出点 P 的坐标,结合点 F 坐标为 (1,0) ,再写出直线 PF 的方程,根据点 E 到直线 PF 的距离等于直径 BD 的一半,进而得到答案. 解答: 解: (Ⅰ )由题意可设椭圆 C 的方程为 ,F(c,0) .

由题意知

解得

,c=1. ,离心率为 .

故椭圆 C 的方程为

(Ⅱ )以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y=k(x+2) (k≠0) . 则点 D 坐标为(2,4k) ,BD 中点 E 的坐标为(2,2k) .
2 2 2 2



得(3+4k )x +16k x+16k ﹣12=0.

设点 P 的坐标为(x0,y0) ,则



所以





因为点 F 坐标为(1,0) , 当 时,点 P 的坐标为 ,点 D 的坐标为(2,±2) .
2 2

直线 PF⊥ x 轴,此时以 BD 为直径的圆(x﹣2) +(y±1) =1 与直线 PF 相切. 当 时,则直线 PF 的斜率 .

所以直线 PF 的方程为



点 E 到直线 PF 的距离

=



又因为|BD|=4|k|,所以



故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.

点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆中有关数值的关系,以及椭圆与直线的位置关系、圆与直线的位置关 系.

28. (2014?南海区模拟)一动圆与圆

外切,与圆

内切.

(I)求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程. (Ⅱ )设过圆心 O1 的直线 l:x=my+1 与轨迹 L 相交于 A、B 两点,请问△ ABO2(O2 为圆 O2 的圆心)的内切圆 N 的 面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线 l 的方程,若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;圆与圆的位置关系及其判定;椭圆的定义. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)利用动圆与圆 外切,与圆

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内切,可得|MO1|=R+1,

|MO2|=3﹣R,∴ |MO1|+|MO2|=4,由椭圆定义知 M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上,从而可得动圆圆心 M 的轨 迹 L 的方程; (2)当 最大时,r 也最大,△ ABO2 内切圆的面积也最大,表示出三角形的面积,利用换元法,结

合导数,求得最值,即可求得结论. 解答: 解: (1)设动圆圆心为 M(x,y) ,半径为 R. 由题意,动圆与圆 外切,与圆 内切∴ |MO1|=R+1,|MO2|=3

﹣R,∴ |MO1|+|MO2|=4. (3 分) 由椭圆定义知 M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上,且 a=2,c=1, 2 2 2 ∴ b =a ﹣c =4﹣1=3. ∴ 动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为 . (6 分)

(2)如图,设△ ABO2 内切圆 N 的半径为 r,与直线 l 的切点为 C,则三角形△ ABO2 的面积 =



最大时,r 也最大,△ ABO2 内切圆的面积也最大, (7 分)

设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) (y1>0,y2<0) , 则 , (8 分)



,得(3m +4)y +6my﹣9=0,

2

2

解得



, (10 分)



,令

,则 t≥1,且 m =t ﹣1,

2

2



,令

,则



当 t≥1 时,f'(t)>0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有 f(t)≥f(1)=4, 即当 t=1,m=0 时,4r 有最大值 3,得 ,这时所求内切圆的面积为 . (14 分) ,



∴ 存在直线 l:x=1,△ ABO2 的内切圆 M 的面积最大值为

点评: 本题考查轨迹方程的求法,考查椭圆的定义,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是正确运用椭圆 的定义,确定 最大时,r 也最大,△ ABO2 内切圆的面积也最大

29. (2014?通辽模拟)如图所示,F 是抛物线 y =2px(p>0)的焦点,点 A(4,2)为抛物线内一定点,点 P 为抛 物线上一动点,|PA|+|PF|的最小值为 8. (1)求抛物线方程; (2)若 O 为坐标原点,问是否存在点 M,使过点 M 的动直线与抛物线交于 B,C 两点,且以 BC 为直径的圆恰过 坐标原点,若存在,求出动点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的定义.

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专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)如图,设抛物线的准线为 l,过 P 作 PB⊥ l 于 B,过 A 作 AC⊥ l 于 C,由抛物线定义知当且仅当 A,P, C 三点共线取等号.由题意知|AC|=8,从而求得 p 值,最后写出抛物线的方程; (2)假设存在点 M,设过点 M 的直线方程为 y=kx+b,对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在点 M, 设过点 M 的直线方程为 y=kx+b,再利用以 BC 为直径的圆恰过坐标 原点,求出点 M 的坐标,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在. 解答: 解:如图,设抛物线的准线为 l,过 P 作 PB⊥ l 于 B,过 A 作 AC⊥ l 于 C, (1)由抛物线定义知|PF|=|PB|?|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|(折线段大于垂线段) ,当且仅当 A,P,C 三点共 线取等号.由题意知|AC|=8,即 ?抛物线的方程为:y =16x
2

(2)假设存在点 M,设过点 M 的直线方程为 y=kx+b, 显然 k≠0,b≠0,设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) ,由以 BC 为直径的圆恰过坐标 原点有 ?x1x2+y1y2=0①
2 2 2 2

把 y=kx+b 代入 y =16x 得 k x +2(bk﹣8)x+b =0

由韦达定理

.②

又 y1y2=(kx1+b) (kx2+b)=k x1x2+bk(x1+x2)+b .③ ② 代入③ 得 .④

2

2

② ④ 代入① 得

?动直线方程为 y=kx﹣16k=k(x﹣16)必过定点(16,0)

当 kBC 不存在时,直线 x=16 交抛物线于 B(16,﹣16) ,C(16,16) ,仍然有 综上:存在点 M(16,0)满足条件.



点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生分析问题和解决问题的能力.当研究直线与圆锥 曲线的关系的问题时,常可利用联立方程,进而利用韦达定理来解决. 30. (2014?萧山区模拟)如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1:x =2py(p>0)的焦点,且抛物线 C1 上点 P 处 2 2 的切线与圆 C2:x +y =1 相切于点 Q. (Ⅰ )当直线 PQ 的方程为 x﹣y﹣ =0 时,求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ )当正数 p 变化时,记 S1,S2 分别为△ FPQ,△ FOQ 的面积,求 的最小值.
2

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程. 专题:综合题;压轴题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ )设点 P(x0,

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) ,代入直线 PQ 的方程得一方程,再根据抛物线在 P 处切线斜率为 1 列一方程,解

方程组即可求得 p 值; (Ⅱ )易表示出点 p 处切线方程,据线圆相切得一方程,再与圆联立方程组可表示出 Q 坐标,据弦长公式可 表示出|PQ|,利用点到直线的距离公式可表示出点 F 到切线 PQ 的距离 d,则 S1 可表示,又 = 最小值. 解答: 解: (Ⅰ )设点 P(x0, ) ,由 x =2py(p>0)得,y=
2

,所以

可表示为关于 x0 的函数,据函数结构特点利用基本不等式即可求得其

,求导 y′ = ,

因为直线 PQ 的斜率为 1,所以 所以抛物线 C1 的方程为

=1 且 x0﹣ .



=0,解得 p=2



(Ⅱ )因为点 P 处的切线方程为:y﹣

=

(x﹣x0) ,即 2x0x﹣2py﹣

=0,

根据切线与圆切,得 d=r,即

=1,化简得



由方程组

,解得 Q(



) ,

所以|PQ|=

|xP﹣xQ|=

=



点 F(0, )到切线 PQ 的距离是 d=

=



所以 = 而由 所以 =

= × , 知,4p =
2

×

=



,得|x0|>2,

=

=

=

= ,此时,p= .

+3≥2

+3,当且仅当

时取“=”号,即

所以

的最小值为 2

+3.

点评:本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能 力,综合性强,难度大.


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