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2014届高三数学(理)一轮复习课后作业(三十) 数系的扩充与复数的引入


课后作业(三十)

数系的扩充与复数的 引入

一、选择题 1+2i ) i ,则复数 z=( A.-2-i B.-2+i 1.若 z= 2.i 是虚数单位,复数 7-i =( 3+i )

C.2-i

D.2+i

A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i 3. (2012· 山东高考)若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位), z 为( 则 ) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 4.(2012· 江西高考)若复数 z=1+i(i 为虚数单位),z 是 z 的共轭复数,则 z2 +z2 的虚部为( ) A.0 B.-1 C.1 D.-2

图 4-5-3 z 5. i 为虚数单位, 4-5-3 中复平面内点 Z 表示复数 z, 若 图 则表示复数 1+i 的点是( ) A.E B.F C.G D.H 二、填空题 6.(2013· 深圳模拟)若复数(a+i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则 实数 a 的值是________. 7.已知 i 是虚数单位,则 i+i2+i3+…+i2 013=________. 8.(2013· 宁波模拟)若复数 的值为________. 三、解答题 a+3i (a∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 1+2i

9.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2, 且 z1·z2 是实数,求 z2. 10.复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是 一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数. z 11.已知 z 是复数,z+2i, 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在 2-i 复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围.

解析及答案
一、选择题 1+2i (1+2i)i =2-i,∴z=2+i. i = -1

1. 【解析】 【答案】 2. 【解析】 D

∵z=

7-i (7-i)(3-i) 20-10i = = 10 =2-i. 10 3+i

【答案】 B 3. 【解析】 ∵z(2-i)=11+7i, ∴z= 11+7i (11+7i)(2+i) 15+25i = = 5 =3+5i. 2-i (2-i)(2+i)

【答案】 A 4. 【解析】 ∵z=1+i,∴z=1-i, 则 z2+z2=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0. 【答案】 A

5. 【解析】 ∴

由图可得 z=3+i,

3+i (3+i)(1-i) 4-2i z = = = 2 =2-i. 1+i 1+i (1+i)(1-i)

对应的点为(2,-1),即点 H. 【答案】 D 二、填空题 6. 【解析】 (a+i)2=a2-1+2ai,由题意知 a2-1=0 且 2a<0,∴a=-1. 【答案】 -1 7. 【解析】 ∵in+in+1+in+2+in+3=0, ∴i+i2+i3+…+i2 013=i. 【答案】 i 8. 【解析】 a+3i (a+3i)(1-2i) a+6 3-2a = = 5 + 5 i, 1+2i (1+2i)(1-2i)



a+3i a+6 3-2a 是纯虚数,∴ 5 =0 且 5 ≠0,∴a=-6. 1+2i

【答案】 -6 三、解答题 9. 【解】 ∵(z1-2)(1+i)=1-i, 1-i (1-i)2 ∴z1= +2= +2=2-i, 2 1+i 设 z2=a+2i(a∈R), 则 z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i, 又 z1·z2 是实数, ∴a=4,从而 z2=4+2i. 10.

【解】

如图,z1、z2、z3 分别对应点 A、B、C.

→ → → ∴AB=OB-OA, → ∴AB所对应的复数为 z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i, → → 在正方形 ABCD 中,DC=AB, → ∴DC所对应的复数为-3-i, → → → 又DC=OC-OD,

→ → → ∴OD=OC-DC所对应的复数为 z3-(-3-i)=(-1-2i)-(-3-i)=2-i, ∴第四个顶点对应的复数为 2-i. 11. 【解】 设 z=x+yi(x,y∈R),则 z+2i=x+(y+2)i, 由题意得 y=-2. x-2i 1 z 1 1 = =5(x-2i)(2+i)=5(2x+2)+5(x-4)i, 2-i 2-i 由题意得 x=4,∴z=4-2i ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
2 ?12+4a-a >0, ? 根据条件,可知 解得 2<a<6. ?8(a-2)>0,

∴实数 a 的取值范围是(2,6).



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