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高考数学二轮复习:第二十一讲 选择题的解法


第二十一讲

选择题的解法

一、题型特点: 1.高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现 以考查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答 选择题的基本要求是四个字——准确、迅速. 2.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的 运用、考虑问

题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是:要充分利用题 设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来,能定性判断的,就不再使用复杂的定量 计算; 能使用特殊值判断的, 就不必采用常规解法; 能使用间接法解的, 就不必采用直接解; 对于明显可以否定的选择应及早排除,以缩小选择的范围;对于具有多种解题思路的,宜选 最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏;初选后认真检验,确保 准确。 3.解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基 本、 最常用的方法; 但高考的题量较大, 如果所有选择题都用直接法解答, 不但时间不允许, 甚至有些题目根本无法解答.因此,我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法. 二、例题解析 1.直接求解法 涉及数学定义、定理、法则、公式的应用的问题,常通过直接演算得出结果, 与选择支进行比照,作出选择,称之直接求解法. 例 1、 圆 x2+2x+y2+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解 :本题的关键是确定已知直线与圆的相对位置,这就需对圆心到直线的距离作定量分析. 将 圆的方程化为(x+1)2+(y+2)2=(2 2 )2,∴
| ?1 ? 2 ? 1 |

r=2 2 .∵

圆心(-1,-2)到直线 x+y+1

=0 的距离 d=

2

= 2 ,恰为半径的一半.故选C.

x2 例 2、设 F1、F2 为双曲线 4 -y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上满足∠F1PF2=90o,则

△F1PF2 的面积是( A.1

) B. 5 /2 C.2 D. 5

解 ∵ |PF1|-|PF2|=±2a=±4,∴ |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16, 1 1 S ?F PF 2 ∵ ∠F1PF2=90o,∴ = |PF1|·|PF2|= 4 (|PF1|2+|PF2|2-16).
1 2

又∵ |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20.∴

S ?F PF
1

2

=1,选A.

例 3、 椭圆 mx2+ny2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,过 AB 中点 M 与原点的直线
2 m 2 斜率为 ,则 n 的值为( 2 A. 2 2 3 B. 3
1


3 D. 2

C.1

x2 x2 y2 y2 2 2 2 2 分析:命题: “若斜率为 k(k≠0)的直线与椭圆 a + b =1(或双曲线 a - b =1)相交于 b2 b2 2 2 A、B 的中点,则 k·kOM=- a (或 k·kOM= a ), ” (证明留给读者)在处理有关圆锥

曲线的中点弦问题中有着广泛的应用.运用这一结论,不难得到:
1 n b2 1 2 2 m m 2 a m 2 2 n n kAB·kOM=- =- =- ,∴ =-kAB·kOM=1· = ,故选





A. 2.直接判断法 涉及有关数学概念的判断题,需依据对概念的全面、正确、深刻的理解而作出判断和选择. 例 1、甲: “一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面” ,乙: “两个 二面角相等或互补. ”则甲是乙的( ) A.充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非要条件 分析 显然“乙?甲”不成立,因而本题关键是判断 “甲?乙”是否成立?由反例:正方体中,二面角 A1-AB -C 与 B1-DD1-A 满足条件甲(图 31-1),但它们的度数 分别为 90o 和 45o,并不满足乙,故应选D. 例 2、下列四个函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
a?x A.f(x)=x+lg a ? x
1? x2 C.f(x)= | x ? 2 | ?2

x ?1 B.f(x)=(x-1) x ? 1
1? x ? x2 ?1
2 D.f(x)= 1 ? x ? x ? 1

解 由于选择支B给出的函数的定义域为[-1,1],该定义区间关于原点不对称,故选B. 3、特殊化法(即特例判断法) 例 1.如右下图,定圆半径为 a,圆心为 ( b ,c ), 则直线 ax+by+c=0 与直线 x–y+1=0 的交点在( B ) A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 提示:取满足题设的特殊值 a=2,b=–3,c=1

?2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ? x ? ?2 ? ? x ? y ?1 ? 0 y ? ?1 解方程 ? 得 ? 于是排除 A、C、D,故应选 B
例 2.函数 f(x)=Msin( ?x ? ? ) ( ? ? 0 )在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=–M, f(b)=M,则函数 g(x)=Mcos( ?x ? ? )在[a,b]上( C ) A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值 M D.可以取得最小值–M

解:取特殊值。令 ? =0, ? ? 1, M ? 1 ,则 f ( x) ? sin x
2

f (? ) ? ?1, f ( ) ? 1 [ a , b] ? [ ? , ] 2 2 2 2 ,这时 g ( x) ? cos x , 因 ,则

?

?

? ?

显然应选 C

例 3.已知等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( C ) A.130 B.170 C.210 D.260 解:特殊化法。令 m=1,则 a1=S1=30,又 a1+a2=S2=100 ∴a2=70, ∴等差数列的公差 d=a2–a1=40,于是 a3=a2+d=110, 故应选 C

a sin ? ? b sin ? ? b ? tan ? ??? ? 6 ,则 a 等于( B ) 例 4.已知实数 a,b 均不为零, a cos ? ? b sin ? ,且
3 B. 3 3 D.– 3

A. 3

C.– 3

? ? 0, ? ?
提示:特殊化法。取 4、排除法(筛选法)

?

b ? 3 ? tan ? 6 3 6 ,则 a

故应选 B

?2 ? x ? 1 ? f (x) ? ? 1 2 ? ?x 例 1.设函数
A.(–1,1)

( x ? 0) ( x ? 0) ,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( D )
D.(– ? ,–1) ? (1,+ ? )

B.(–1,+ ? ) C.(– ? ,–2) ? (0,+ ? )

例 2.已知 ? 是第三象限角,|cos ? |=m,且

sin

? ? ? cos ? cos ? 0 2 等于( D ) 2 2 ,则
1? m 2 D.–

1? m 2 A.

1? m 2 B.–

1? m 2 C.

例 3. 已知二次函数 f(x)=x2+2(p–2)x+p, 若 f(x)在区间[0, 1]内至少存在一个实数 c, 使 f( c)>0, 则实数 p 的取值范围是( C ) A. (1,4) B. (1,+ ? ) C. (0,+ ? ) D. (0,1) 点评:排除法,是从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,逐个淘汰与题设矛盾的 选择支,从而筛选出正确答案。 5、数形结合法(图象法) 根据题目特点,画出图象,得出结论。

3 1 x? 2 ,x2–4x+3 中的较大者,则 f(x)的最小 例 1.对于任意 x∈R,函数 f(x)表示–x+3, 2
值是( A ) A.2 B.3 C .8 D.–1

??? ? ???? ??? ? ??? ? OB ? (2, 0) OC ? (2, 2) CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ) , 例 2. 已知向量 , 向量 , 向量 则向量 OA
与向量 OB 的夹角的取值范围是( D )

??? ?

3

? A.[0, 4 ]

? 5? B.[ 4 , 12 ]

5? ? C.[ 12 , 2 ]

? 5? D.[ 12 , 12 ]

例 3.已知方程|x–2n|=k x (n∈N*)在区间[2n–1,2n+1]上有两个不相等的实数根,则 k 的 取值范围是( B )

A.k>0

1 B.0<k≤ 2n ? 1

1 1 C. 2n ? 1 ≤k≤ 2n ? 1

D.以上都不是

6、代入检验法(验证法) 将选择支中给出的答案(尤其关注分界点) ,代入题干逐一检验,从而确定正确答案的方法 为验证法。 例 1.已知 a,b 是任意实数,记|a+b|,|a–b|,|b–1|中的最大值为 M,则(D )

A.M≥0

1 B.0≤M≤ 2

C.M≥1

1 D.M≥ 2

1 解:把 M=0 代入,排除 A、B;再把 M= 2 代入检验满足条件,排除 C。
例 2.已知二次函数 f ( x) ? x ? 2( p ? 2) x ? p ,若在区间[0,1]内至少存在一个实数 c,使
2

f (c) ?0 ,则实数 p 的取值范围是( C )
A. (1,4) B. (1,+∞) 解:取 p=1 代入检验。 C. (0,+∞) D. (0,1)

? 2 x ? y ? 12 ? 2 x ? 9 y ? 36 ? ? ? 2 x ? 3 y ? 24 ? x ? 0, y ? 0 例 3.(2004 广东)变量 x,y 满足下列条件: ?
则使得 z=3x+2y 的值的最小的(x,y)是( B ) A. (4.5,3) B. (3,6) C. (9,2) D. (6,4) 解:一一代入检验。代入运算后比较大小。 7、推理分析法 通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误支,肯定正确支的方法,称之为逻 辑分析法,例如:若“(A)真 ? (B)真” ,则(A)必假,否则将与“只有一个选择支正确”的 前提相矛盾. 4 2 ? x ? 4 x 例 1 当 x?[-4,0]时,a+ ≤ 3 x+1 恒成立,则 a 的一个可能值是( ) A.5 解 ∵
5 B. 3 5 C.- 3

D.-5 ∴ (D)真.

? x 2 ? 4 x ≥0, ∴ (A)真?(B)真?(C)真?(D)真,

4

? m?3 4 ? 2m θ 例 3、已知 sin? = m ? 5 ,cos? = m ? 5 ( 2 <? <?),则 tg 2 =( m?3 m?3 1 A. 9 ? m B.| 9 ? m | C. 3 D.5

).

解 因受条件 sin2? +cos2? =1 的制约,故 m 为一确定值,于是 sin? 、cos? 的值应与 m ? ? ? θ θ θ 2 4 2 2 2 无关,进而推知 tg 的值与 m 无关,∵ <? <?, ∴ ?( , ),∴ tg 2 >1, 故选(D). θ m?3 4 ? 2m 注:直接运用半角公式求 tg 2 ,将会错选(A).若直接计算,由( m ? 5 )2+( m ? 5 )2=1,可
? 得 m=0 或 m=8,∵ 2 <? <?, ∴ sin? >0,cos? <0,故应舍去 m=0,取 m=8,得 θ 5 ?12 sin? = 13 ,cos? = 13 ,再由半角公式求出 tg= 2 =5,也不如上述解法简捷.

三、练习 1 已知点 P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,则在 [0,2? ) 内α 的取值范围为( B )

? 3? 5 ( , ) ? (? , ? ) 2 4 4 A
? 3? 5 3? ( , ) ? ( ?, ) 2 4 4 2

B

? ? 5? ( , ) ? (? , ) 4 2 4

C

D

? ? 3 ( , ) ? ( ? ,? ) 4 2 4
B )

2 一个直角三角形的三内角成等比数列,则其最小内角为(

arccos
A

5 ?1 5 ?1 1? 5 arcsin arccos 2 2 2 B C

arcsin
D

1? 5 2

sin ? ? tan? ? cot? , (?
3若

?
2

?? ?

?

) 2 ,则 ? ? ( (0, ) 4

B



(?
A

?

,? ) 2 4 y?

?

(?
B

?
4

,0 )
C

?

D

( , ) 4 2

? ?

4 函数

6x ? 5 ( x ? R, x ? 1) x ?1 的反函数为( y?
B

B )

y?
A

6x ? 5 ( x ? R, x ? 1) x ?1 x ?1 5 ( x ? R, x ? ? ) 6x ? 5 6
y ? log a (2 ? ax)

x?5 ( x ? R, x ? 6) x?6 x?6 ( x ? R, x ? ?5) x?5

y?
C

y?
D

5 已知函数

在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围为( B )
5

A (0,1)

B (1,2)

C (0,2)
a

D

[2,??)
b

?1? 1? 2 ? log 1 a ? ? ? log 1 b ? ? ? ? log 2 c 2 2 ? ? a , b , c ? ? 2 2 6. (07 天津)设 均为正数,且 , , .则
( A ) A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c A )

c

7 设 f(x)是定义在实数集 R 上的任意一个增函数, 且F (x) =f(x)-f(-x),那么 F (x) 应为 ( A 增函数且是奇函数 B 增函数且是偶函数 C 减函数且是奇函数 D 减函数且是偶函数 解: 取 f(x)=x,知 F(x)=x-(-x)=2x,故选 A。

8 定义在 (??,??) 上的奇函数 f ( x) 为增函数, 偶函数 g ( x) 在区间 [0,??) 的图象与 f ( x) 的 图象重合,设 a ? b ? 0 ,给出下列不等式: 1)f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 2) f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) 3) f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) 4) f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) 其中成立的是( C ) A 1)与 2) B 2)与 3) C 1)与 3) D 2)与 4)

sin ? ? sin ? ?
9若

1 3

(cos ? ? cos? ), ? , ? ? (0, ? )

,则 ? ? ? 的值为(

D



?
A

2? 3

?
B

?
3

? C 3

D

2? 3
A )

10 将直线 3x-y+2=0 绕原点按逆时针方向旋转 900,得到的直线方程为( A x+3y+2=0 B x+3y-2=0 C x-3y+2=0 D x-3y-2=0
2 2

11 已知集合 A= {( x, y) || x | ? | y |? 1} , B= {( x, y ) | x ? y ? 1} , C {( x, y) || x |? 1, | y |? 1} 的则 A、B、C 的关系是( C ). A. C ? A ? B C. A ? B ? C B. C ? B ? A D. B ? A ? C

新疆

王新敞
学案

12 集合 P ? { x ,1}, Q ? { y ,1,2},其中 x,y ? {1,2,?,9}且 P ? Q ,把满足上述条件 的一对有序整数( x,y )作为一个点,这样的点的个数是(B) (A)9 (B)14 (C)15

(D)21

3 13 已知函数 f ( x) ? ? x ? x , x1 , x2 , x3 ? R,且 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 ,则

f ( x1) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )

的值(B) (B)一定小于零
6

(A)一定大于零

(C)等于零

(D)正负都有可能

1 1 a?b 2 2 2 2 a b 14 已知 1 是 与 的等比中项,又是 a 与 b 的等差中项,则 a ? b 的值是 (D) 1 (A)1 或 2

(B)1 或

?

1 2

1 (C)1 或 3

1 (D)1 或 3 ?

15 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A (2,-1) , B (-1,3) ,若点 C 满足
OC ? ? OA ? ? OB 其中 0≤ ?,? ≤1,且 ? ? ? ? 1 ,则点 C 的轨迹方程为(C)

(A) 2x ? 3 y ? 4 ? 0 (C) 4x ? 3 y ? 5 ? 0 (-1≤ x ≤2)

(B)

1 ( x ? )2 ? ( y ? 1)2 ? 25 2

(D) 3x ? y ? 8 ? 0 (-1≤ x ≤2)

? ?) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数, 16.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在 (8,
则( D ) A. f (6) ? f (7) B. f (6) ? f (9) C. f (7) ? f (9) D. f (7) ? f (10)

17 下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的 一个图是(D)

18 如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的2倍, 则函数 y=f(x)的图象是 ( D )

19 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ? 密文(加密) ,接收方由密文 ? 明 文(解密) ,已知加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b, 2b ? c, 2c ? 3d , 4d . 例如,明 文 1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16. 当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时, 则解密得到的明文为 (B) (A) 7, 6,1, 4 (B) 6, 4,1, 7 (C) 4, 6,1, 7 (D) 1, 6, 4, 7

7

?x 2 ? 1? ? x 2 ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题: 20 关于 x 的方程
2

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 (A) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2 ? x ≥1, ?x , f ( x) ? ? x ? 1, g ( x) ? ∞? ? 0, ? ? x, 21 设 是二次函数, 若 f ( g ( x)) 的值域是 , 则 g ( x) 的值域

是( C ) A. C.

? 1? ? ?1, ? ∞? ? ?∞, ? ∞? ? 0,

B. D.

? 1? ? ? 0, ? ∞? ? ?∞, ? ∞? ?1,

22 如果 A. C. D.

?A1B1C1


的三个内角的余弦值分别等于 都是锐角三角形

?A2 B2C2
B.

的三个内角的正弦值,则( D ) 和

?A1 B1C1 ?A1 B1C1 ?A1 B1C1

?A2 B2C2

?A1 B1C1

?A2 B2C2

都是钝角三角形

是钝角三角形, 是锐角三角形,

?A2 B2C2 ?A2 B2C2

是锐角三角形 是钝角三角形

23 已知非零向量 AB 与 AC 满足 (A)等边三角形 (C)等腰非等边三角形

??? ?

????

??? ? ???? ? AB AC ??? ( ??? ? ? ???? ).BC ? 0 AB AC

且 则 ?ABC 为 (A) (B)直角三角形 (D)三边均不相等的三角形

??? ? AB ??? ? AB

???? AC 1 . ???? ? . AC 2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 2 F F b 24 已知双曲线 a 的左、右焦点分别为 1 , 2 , P 是准线上一点,


PF1 ? PF2



PF1 ?PF2 ? 4ab

,则双曲线的离心率是

( B ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

25 如图, 平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任 意一点 M,若 p 、 q 分别是 M 到直线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对( p , q )是点
8

M 的“距离坐标” .已知常数 p ≥0, q ≥0,给出下列命题: ①若 p = q =0,则“距离坐标”为(0,0)的点 有且仅有 1 个; ②若 pq =0,且 p + q ≠0,则“距离坐标”为 ( p , q )的点有且仅有 2 个; ③若 pq ≠0,则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是( D ) (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.

(x) 26(06 江西)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ? ?0,则必有( C
f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1)



9


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