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2015年高中数学竞赛二试模拟题(2)


测验二
一.在 △ ABC 中, a ? c ? 3b ,内切圆分别切边 AB 和 BC 于 D 和 E 两点。过 D 作内切圆 的直径 DK ,过 E 作内切圆的直径 EL 。 AL 交直线 DE 于 X ,CK 交直线 DE 于 Y , AC 的中点为 M 。求证: MX ? MY

二.求实数 m 的最大值,使得对方程组 ?

?x ? y ? z ? u ( x ? y ) 的任意正整数解 ( x, y, z , u ) , ? 2 xy ? z ? u

都有:

x ? m。 y

三.设 a, b, c 为实数。 A ? an ? [ bn ? c]

?

n ? N ? ? B ? 3n 2 ? 2n 丨 n ? N ? ?

?

已知: A ? B ? o / , A ? B ? N ? ,求 a, b, c 。

四. 10 ? 10 方格表中的每一方格都被染上一种颜色。最多可以染上多少种颜色,使得在每 一行与每一列中,都至多有 5 种不同颜色?


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