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第22讲 导数及其应用 1.考题展望 新课标命题的高考中,导数属于高考重点考查的内 容,其主要题型有: (1) 以小题形式考查导数与定积 分的计算及其几何意义; (2)以大题的形式出现,考 查导数在函数中的应用(单调性,极值与最值)和生活 中的优化问题,其中导数在函数中的应用,一般侧 重数学思想与方法的考查. 2.高考真题 考题1(2012 陕西)设函数 f(x)=xex,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 ) 【解析】选D. ∵f(x) = xex , ∴ f′(x) = ex + xex ,令 f′(x) = 0 ,则 x =- 1 , 当x<-1时f′(x)<0,当x>-1时f′(x)>0, 所以x=-1为f(x)的极小值点,故选D. 【命题立意】本小题主要考查导数的运算和应用导数 研究函数的极值及运算求解能力. 考题2(2012 上海)已知函数 y=f(x)的图象是折 1 线段 ABC,其中 A(0,0)、B( ,5)、C(1,0),函 2 数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面 积为__________. 5 【解析】 4 1 当 0≤x≤ 时,线段 AB 的方程为 y=10x; 2 1 当 <x≤1 时, 2 y-0 x-1 线段 BC 的方程为 = , 5-0 1 -1 2 整理得 y=-10x+10, 1 ? ?10x,0≤x≤2 即函数 y=f(x)=? , ?-10x+10,1<x≤1 2 ? 1 ? 2 ?10x ,0≤x≤2 所以 y=xf(x)=? , ?-10x2+10x,1<x≤1 2 ? 函数与 x 轴围成的图形面积为 1 ∫2010x2dx+∫11(-10x2+10x)dx 2 ? 10 3? 10 3 ?1 ?11 5 2 = x ?20+(- x +5x )? = . 3 ? 3 ? 2 4 【命题立意】本小题主要考查分段函数的求法和定积分 的几何意义及运算,考查运算求解能力和数形结合思 想. 【命题立意】本题主要考查函数、导数和导数的几何 意义等基础知识,考查运用导数研究函数的单调性和 最值等基本方法,考查分类讨论思想和运算求解能 力. 3.函数的单调性与导数的关系 (函数单调性的充分条件 )设函数 y=f(x)在某个区间内可导, 如果 f′(x) > 0 ,则 f(x) 为增函数;如果 f′(x) < 0 ,则 f(x) 为减 函数. (函数单调性的必要条件 )设函数 y=f(x)在某个区间内可导, 如果 f(x) 在 该区间 上单调递增 ( 或递减 ) ,则在该区间内 f′(x)≥0(或f′(x)≤0). 4.函数的极值 (1)函数极值的定义:设函数 f(x)在点 x0 附近有 定义,如果对 x0 附近的所有点,都有 f(x0)>f(x),我 们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值= f(x0); 如果对 x0 附近的所有点,都有 f(x0)<f(x),我们 就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值= f(x0).极大值与极小值统称为极值. (2)判断极值的方法:当函数 f(x)在点 x0 处连 续,判别 f(x0)是极大(小)值的方法是: 如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0, 那么 f(x0)是极大值; 如果在 x0 附近的左侧 f

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