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立体几何多面体与外接球问题专项归纳


立体几何多面体与外接球问题专项归纳
1、 一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为 4,棱柱的体积为 16,棱柱的各顶点在一个球面上, 则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.24π D.32π

2、一个正四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( A.3π B.4π C.3 3 π D.6π

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)

3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

4.一个正四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( A.3π B.4π C.3 3 π D.6π

)

历届高考外接球内切球问题
1. (陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆 上,则该正三棱锥的体积是( ) A.
3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

2. 直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB ? AC ? AA 1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的 表面积等于( A. 18? ) B. 20? C. 22? D. 24? )

2 3. 正三棱柱 ABC ? A 若 A, B 两点的球面距离为 ? , 则正三棱柱的体积为 ( 1B 1C1 内接于半径为 的球,
A.6 B.7 C.8 D.9 1

4.表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为





A.

2 ? 3

B. ?

1 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3
( )

5.已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体的棱长等于 3
C.

A.2 2

B.

2 3 3

4 2 3

D.

4 3 3
( D. 1∶9 )

6.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A. 1∶ 3 B. 1∶3 C. 1∶3 3

7.(2008 海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同 一个球面上,且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8
C.

(

)

A.

2 ? 3

B. ?

1 3

2 ? 3

D.

4? 3
( )

8. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1, 2, 3, 则此球的表面积为 A. 18? B. 14? C. 22? D. 24? 9.(2007 全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2. A. 1 ? 2 2 B. 2 ? 2 2 C. 2 ? 4 2 D. 3 ? 2 2

10.(2006 辽宁)如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? ABCDEF ,则此正六棱 锥的侧面积是________. P

C B A 答案

D E F

6 7

11.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案

2

12.(2009 枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示, 则该几何体外接球的表面积为 ( ) A. 3? B. 2? 2

C. 答案 C

16? 3

D.以上都不对

2 3 13.(吉林省吉林市 2008 届上期末)设正方体的棱长为 ,则它的外接球的表面积为( 3 A. ?



8 3

B.2π

C.4π

D.

4 ? 3

14、球面上有三点 A 、 B 、 C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中 AB ? 18 , BC ? 24 、 AC ? 30 ,球心到这个截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.

15、在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C .如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,且 PA ? PB ? PC ? a ,那 么这个球的表面积是

16:一棱长为 2 a 的框架型正方体,内放一能充气吹胀的气球,求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形 时的球的体积。

17(2006 年广东高考题)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

18、 (2007 年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分 别为 1, 2,3 ,则此球的表面积为 .

19、 (2006 年全国卷 I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球 的表面积为( ). A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?

20(2008 年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表 面积是 .
3

21(2003 年全国卷)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面 积为( ) A. 3? B. 4? C. 3 3? D. 6?

22(2008 年浙江高考题)已知球 O 的面上四点 A、B、C、D, DA ? 平面ABC , AB ? BC , . DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的体积等于

23、已知球面上的三点 A、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半径为 13,求球心到平面 ABC 的距离.

24、 已知过球面上 A、 B、 C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, 且 AB=BC=CA=2, 则球面面积是 ( A.



16π 9

B.

8π 3

C.4π

D.

64π 9

25

一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六

棱柱的体积为

9 ,底面周长为3,则这个球的体积为 8

.

26

已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是( A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?



27 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 . O ? ABC OA ? OB ? 2 OC ? 2 a 变式 1:三棱锥 中, OA, OB, OC 两两垂直,且 ,则三棱锥 O ? ABC 外接 球的表面积为( ) 2 2 2 2 A. 6? a B. 9? a C. 12? a D. 24? a 28 正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,S、A、B、C、D 都在同一球面上, 则此球的体 积为 .

4


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