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6.4复合函数求导法则


第四节 复合函数的求导法则
------链式法则 链式法则

情形一: 情形一 中间变量为多元函数

z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )]
如果 u = φ ( x , y ) 及 v = ψ ( x , y ) 都在点( x , y ) 的偏导数, 具有对 x 和 y 的偏导数,且函数 z

= f ( u, v )在对应 点( u, v )具有连续偏导数,则复合函数 具有连续偏导数,

z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
导数存在, 导数存在,且可用下列公式计算 存在

?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?u ? z ?v = + = + , . ?y ? u ?y ?v ?y ?x ?u ?x ?v ?x

链式法则如图示

u

x

z
v

y

?z ?z ?u ?z ?v = ? + ? , ?x ?u ?x ?v ?x
?z ?z ?u ?z ?v ? = + ? . ?y ?u ?y ?v ?y

u 例 1 设 z = e sin v ,而 u = xy , v = x + y ,

? z ?z 求 和 . ? x ?y



?z ?z ?u ?z ?v = ? + ? ?x ?u ?x ?v ?x

= e u sin v ? y + e u cos v ? 1 = e u ( y sin v + cos v ),
?z ?z ?u ?z ?v = ? + ? ?y ?u ?y ?v ?y u u u = e sin v ? x + e cos v ? 1 = e ( x sinv + cosv).

例2 z = ( x + y )
2

2 sin( x + 3 y )

?z ?z ,求 和 . ?x ?y

x ?z ?z 例3 z = f ( xy, ), f 可微,求 和 . y ?x ?y

类似地再推广, 类似地再推广,设u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y )、

w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数,复合 的偏导数,
函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点( x , y ) 两个偏导数存在, 两个偏导数存在,且可用下列公式计算

?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w , = + + ?x ?u ?x ?v ?x ?w ?x z ?z ?z ?u ?z ?v ?z ?w . = + + ?y ?u ?y ?v ?y ?w ?y

u v w

x
y

情形二:中间变量为一元函数 情形二 中间变量为一元函数
定理  定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导,函数 z = f (u, v ) 在对应点(u, v ) 具有连续偏 导数, 导数,则复合函数 z = f [φ (t ),ψ (t )]在对应点t 可 且其导数可用下列公式计算: 导,且其导数可用下列公式计算:

dz ?z du ?z dv . = + dt ?u dt ?v dt
证 设 t 获得增量 ?t,
则 ?u = φ ( t + ?t ) ? φ ( t ), ?v = ψ ( t + ?t ) ? ψ ( t );

由于函数 z = f ( u , v ) 在点 ( u , v ) 有连续偏导数

?z ?z ? z = ? u + ? v + ε 1 ? u + ε 2 ?v , ?u ?v
当 ?u → 0 , ?v → 0 时, ε 1 → 0 ,ε 2 → 0

? z ?z ? u ?z ? v ?u ?v = ? + ? + ε1 + ε2 ? t ?u ? t ?v ? t ?t ?t
当 ?t → 0时, ?u → 0 ,?v → 0

?u du → , dt ?t

dv ?v → , dt ?t

dz ?z ?z du ?z dv = lim = ? + ? . dt ?t →0 ?t ?u dt ?v dt
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如

dz ? z du ? z dv ? z dw = + + dt ? u dt ? v dt ? w dt

z

dz 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt

u v w

t

t 例 4 设 z = uv + sin t ,而 u = e , v = cos t ,

dz 求全导数 . dt


dz ?z du ?z dv ?z = ? + ? + dt ?u dt ?v dt ?t

= ve ? u sin t + cos t
t

= e cos t ? e sin t + cos t
t t

= e t (cos t ? sin t ) + cos t .

dz 例5 z =f ( x , e ), f 可微,求 . dx
2 2x

情形三:中间变量既有一元函数 又有多元函数 情形三 中间变量既有一元函数,又有多元函数 中间变量既有一元函数

z = f (u , v), u = u ( x, y ), v = v( y ), 则

?z ?f ?u = ?u ?u ?x ?z ?f ?u ?f dv = + ?v ?u ?y ?v dy

特别一: 特别一 z = f ( u, x , y ) 其中 u = φ ( x , y ) 即 z = f [φ ( x , y ), x , y ], 令 v = x ,
w = y,

?v = 1, ?x

?w = 0, ?x

?v = 0, ?y

?w = 1. ?y

区 别 类 似

? z ?f ? u ? f = ? + , ?x ?u ? x ? x


?z ?f ?u ?f = ? + . ?y ? u ? y ?y

z = f ( u, x , y )
u x

z = f [φ ( x , y ), x , y ] 中


y

y

x

特别二 : z = f (u ), u = φ ( x, y ), ?z df ?u 则 = ?x du ?x
x ?z ?z 例6 z = sin ,求 和 . y ?x ?y

例7

设 w = f ( x + y + z , xyz ) , f 具有二阶

?w ? w 连续偏导数, . 连续偏导数,求 和 ?x ?x?z
2



令 u = x + y + z, 记

v = xyz;

?f ( u , v ) f1′ = , ?u ′′ f11 ,

? 2 f ( u, v ) ′′ f12 = , ? u? v ′′ f 22 .

同理有 f 2′,

?w ?f ?u ?f ?v = ? + ? = f1′ + yzf 2′; ?x ? u ? x ? v ? x

? ?f1′ ?f 2′ ? w ( f1′ + yzf 2′) = ; + yf 2′ + yz = ?z ?z ?x?z ?z ?f1′ ?f1′ ?u ?f1′ ?v ′′ ′′ ? + ? = f11 + xyf12 ; = ?u ?z ?v ?z ?z
2

?f 2′ ?f 2′ ?u ?f 2′ ?v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; = ? + ? ?u ?z ?v ?z ?z ? 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 ?x?z
′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.

小结:(多元复合函数求偏导数——链式 小结:(多元复合函数求偏导数 :(多元复合函数求偏导数 链式 法则,应注意以下几点) 法则,应注意以下几点)
(1)先要搞清复合关系,哪些是自变量,哪些 )先要搞清复合关系,哪些是自变量, 是中间变量,要画结构图; 是中间变量,要画结构图; (2)对某个自变量求偏导数时,要经过一切与 )对某个自变量求偏导数时, 其有关的中间变量,最后归结到该自变量。 其有关的中间变量,最后归结到该自变量。 (3)求抽象函数的二阶偏导数时要注意,对一 )求抽象函数的二阶偏导数时要注意, 切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结 构图相同。 构图相同。

二、多元复合函数的高阶偏导数
x ?z ?z (2) 例 设 = f (x + y , ), f ∈C , 求 2 , 1 z . y ?x ?x?y
2 2 2 2

例2

?z ?z ?2z z = y f ( x + y, x2 y) , f ∈C(2) , 求 , , . ?x ?y ?x?y

x y 例3 设u = yf ( ) + xg( ) , 其中 f 、g 具有二阶导数, y x ?2u ?2u ?2u ?2u 求 2, 及x 2 + y . ?x ?x?y ?x ?x?y

′ ′ f f 对抽象函数 f (u, v) , 其偏导数 fu、v 或 f1 、2 注意: 注意: , 均仍然是多元复合函数 它们与 f 具有相同的中间 . 变量和相同的自变量

例 4 设 w = f ( x + y + z , xyz ), f 具有二阶
?w ? w 连续偏导数, 连续偏导数,求 和 . ?x?z ?x 解 令 u = x + y + z , v = xyz;
2



?f ( u , v ) f1′ = , ?u ′′ f11 ,

? 2 f ( u, v ) ′′ , f12 = ? u? v ′′ f 22 .

同理有 f 2′,

? w ?f ? u ? f ? v ? + ? = = f1′ + yz f 2′; ?u ? x ? v ?x ?x

? ?f1′ ?f 2′ ? w ( f1′ + yzf 2′) = ; + yf 2′ + yz = ?z ?z ?x?z ?z ?f1′ ?f1′ ?u ?f1′ ?v ′′ ′′ ? + ? = f11 + xyf12 ; = ?u ?z ?v ?z ?z
2

?f 2′ ?f 2′ ?u ?f 2′ ?v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; = ? + ? ?u ?z ?v ?z ?z ? 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 ?x?z
′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.

三、全微分形式不变性
具有连续偏导数, 设函数 z = f ( u, v )具有连续偏导数,则有全微分

?z ?z dz = d u + d v ; ?u ?v ?z ?z d x + dy . v 当 u = ? ( x , y ) 、 = ψ ( x , y ) 时 , dz = 有 ?x ?y ?z ?z d z = d x + d y = ? = ?z d u + ? z d v . ?x ?y ?u ?v

全微分形式不变性的实质: 全微分形式不变性的实质: 无论z是自变量 是自变量u、 的函数或中间变量u、 无论 是自变量 、v 的函数或中间变量 、v 的 函数,它的全微分形式是一样的. 函数,它的全微分形式是一样的

?z ?z dz = dx + d y ?x ?y
? ? z ? u ?z ? v ? ? ? z ?u ? z ? v ? = ? ? + ? ?d x + ? ? + ? ?dy ? ? u ?x ? v ? x ? ? ?u ?y ?v ?y ? ?z ? ?u ?u ? ? z ? ? v ?v ? = ? dx + dy ? + ? dx + d y ? ?u ? ?x ?y ? ?v ? ?x ?y ? ?z ?z = du + dv . ?v ?u

补充: 补充:全微分形式不变性
、 无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 、 的函数,它的全微分形式是一样的. 的函数,它的全微分形式是一样的
?z ?z dz = du + dv . ?u ?v

例如  设z=f(x,x +y ,e ),求zx , z y .

3

3

xy

例5 设u = f ( x, y, z ), z = g ( x, y ), y = h( x, t ), du t = φ ( x), 求 . dx

例6 已知u =



yz xz

?u ?u e dt , 求 和 . ?x ?y
t2

例7 设函数z = f ( x, y ) 在点 (1,1) 处可微, 且f (1,1) = 1 ?f ?f (1,1) = 2, (1,1) = 3, φ ( x ) = f ( x, f ( x, x)).求 ?x ?y d 3 φ ( x) x = 1. dx

x y ? 2u ? 2u 例8 设u = yf ( ) + xg ( )求 2 , y x ?x ?x?y ?u ?u 及x 2 + y . ?x ?x?y
2 2

二、小结
分三种情况) 链式法则(分三种情况) (特别要注意课中所讲的特殊情况;在计算 特别要注意课中所讲的特殊情况 在计算 过程中要结合结构图!) 过程中要结合结构图!)

思考题
设 z = f ( u, v , x ) ,而u = φ ( x ) ,v = ψ ( x ) ,

dz ?f du ?f dv ?f = + + , 则 dx ?u dx ?v dx ?x dz ?f 是否相同?为什么? 试问 与 是否相同?为什么? dx ?x

答:
不相同. 不相同
的函数, 等式左端的 z 是作为一个自变量x 的函数,
而 等 式 右 端 最 后 一 项 f 是 作 为 u , v, x 的 三 元 函 数 ,

写出来为

dz dx

x

?f = ?u

du ?f ( u ,v , x ) ? x + dx ?v

dv ( u ,v , x ) ? dx

x

?f + ?x

( u ,v , x )

.

练习题
一、填空题: 填空题: x cos y ?z 1、 ________________; 1、设 z = ,则 = ________________; y cos x ?x ?z ________________. = ________________. ?y x 2 ln( 3 x ? 2 y ) ?z _______________; 2 、设 z = ,则 = _______________; 2 ?x y ?z = ________________. ?y dz sin t ? 2 t 3 3、 3、设 z = e ,则 = ________________. dt v ?z ? z 2 2 u 二、设 z = ue ,而 u = x + y , v = xy ,求 , . ?x ?y

dz 三、设 z = arctan(xy ) ,而 y = e ,求 . dx
x

四、设 z = f ( x 2 ? y 2 , e xy ), (其中f具 有一阶连续偏导

?z ?z 数),求 , . ? x ?y ,(其 五、设 u = f ( x + xy + xyz ) ,(其中f具 有一阶连续偏导 ?u ?u ?u ),求 数),求 , , . ?x ?y ?z x ,(其 有二阶连续偏导数), ),求 六、设 z = f ( x , ) ,(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y ?2z ?2z ?2z , , 2. 2 ?x ?x?y ?y

y 其中为可导函数, , 其中为可导函数, 2 2 f (x ? y ) 1 ?z 1 ?z z 验证: 验证: + = 2. x ?x y ?y y 具有二阶导数, 八、设 z = φ [ x + ? ( x ? y ), y ], 其中 φ , ? 具有二阶导数,求 ?2z ?2z , 2. 2 ? x ?y

七、设 z =

练习题答案
cos y(cos x + x sin x ) x cos x ( y sin y + cos y ) 一、1、 ; ,? 2 2 2 y cos x y cos x 2x 3x2 2、 2、 2 ln( 3 x ? 2 y ) + , 2 y (3 x ? 2 y ) y 2x2 2x2 ; ? 3 ln( 3 x ? 2 y ) ? 2 y (3 x ? 2 y ) y 3(1 ? 4t 2 ) . 3、 3、 3 2 1 ? ( 3t ? 4t )

2x y ?z x2 + y2 ]e , 二、 = [2 x + y ? 2 2 2 ?x (x + y )y
2

xy

2y x ?z ( x2 + y2 ) ]e . = [2 y + x ? 2 2 ?y (x + y )
2

xy

dz e x (1 + x ) 三、 = . 2 2x dx 1 + x e ?z ?z ′ + ye xy f 2′ , = ?2 yf 1′ + xe xy f 2′ . 四、 = 2 xf 1 ?x ?y ?u ?u ?u = f ′( x + xz ), = xyf ′. 五、 = f ′(1 + y + yz ), ?x ?y ?z 2 1 ?2z ′′ + f 12 + 2 f 22 , ′′ ′′ 六、 2 = f 11 y y ?x x 1 1 ?2z ′′ ′′ = ? 2 ( f 12 + f 22 ) ? 2 f 2′ , y ? x? y y y x2 ? 2z 2x ′′ = 3 f 2′ + 4 f 22 . 2 y y ?y

?2z 八、 2 = φ 11 (1 + ? ′ ) 2 + φ 1? ′′, ?x ?2z = φ 11 (? ′ ) 2 ? φ 12? ′ + φ 1? ′′ ? φ 21? ′ + φ 22 . ?y 2


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