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湖北省八市2014年高三年级三月联考文科数学试卷


2014 年湖北省八市高三年级三月联考 文科数学参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) BDBDC DACAD 二、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 11.

2 3

12.45

13. 3

14.

2

15. ?2

16.

64 361π

17. 1936 , (10,44)第 1 问 2 分,第 2 问 3 分 三、解答题 18 . ( Ⅰ ) f ( x) ? 2 sin x ?

1 ? cos? ? cos x sin ? ? sin x 2

= sin x ? sin x cos? ? cos x sin ? ? sin x = sin(x ? ? ) … … … … … … … … … … … … 3 分 因 为 f ( x) 在 x ? π 处 取 得 最 小 值 , 所 以 sin(x ? ? ) ? ?1 , 故 si 又 0 ?? ? π n ? ? 1, 所以 ? ?

π ……………………………………………………………………………6 分 2

( Ⅱ )由( 1 )知 f ( x) ? sin(x ? 内 角 ,所 以 A ? 分

3 π ,且 A 为 △ ABC ) ? cos x ,因 为 f ( A) ? cos A ? 2 2

b s i nA 2 π π 3π 由 正 弦 定 理 得 s i nB ? ,所 以 B ? 或 B ? .… 9 ? a 2 6 4 4

π 7π 3π π 时 C ?? ? A? B ? ,当 B ? 时 C ? π ? A? B ? . 4 12 4 12 7π π 综上, C ? … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 分 或C ? 12 12
当 B? 19.(Ⅰ)设公差为 d.由已知得 ?

?4a1 ? 6d ? 14

2 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) 解得 d ? 1或d ? 0(舍去) ,所以 a1 ? 2, 故a n ? n ? 1 … … … … … … … … … … … … 6 分

………………………………3 分

(Ⅱ)?

1 1 1 1 , ? ? ? an an ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

1 1 n 1 1 1 1 ……………………………9 分 ? ? ? ? ? ?…? n ? 1 n ? 2 2(n ? 2) 2 3 3 4 n ?Tn ≤ ? an ?1 对 ?n ? N ? 恒成立,即 ≤ ?(n + 2)对 ?n ? N ? 恒成立 2(n ? 2) n 1 1 1 又 ? ≤ ? 2 4 2(n ? 2) 2(n ? ? 4) 2(4 ? 4) 16 n 1 ∴ ? 的最小值为 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 分 16

?Tn ?

20 . (Ⅰ) 证明: 由题设, PH ? 平面 ACD,?平面 PAD ? 平面 ACD,… … … … … … … 3 分

交线为 AD,又 CD ? AD,?CD ? 平面 PAD,PA ? 平面 PAD,?CD ? PA… … … … 6 分 (II)连接 CH,则 ? PCH 为直线 PC 与平面 ACD 所成的角。 作 HG ? AC,垂足为 G,连接 PG,则 AC ? 平面 PHG ?AC ? PG,… … … … 9 分 又在矩形 ABCD 中,AB=a,BC= 3 a, ?CAB ? 600 在 rt ? PGA 中,PA=a, ?PAG ? ?CAB ? 60 ?AG= a
0

1 2

在 rt ? HAG 中,AH=

3 AG = a ,又 AC=2a, … … … … … … … … … … 11 分 0 3 cos30 21 a ,在 rt ? PHA 3
………………………………13 分

在 rt ? CAH 中,根据余弦定理可得,CH=

中可得 PH=

PH 14 6 ? a ,?tan ?PCH ? CH 7 3
1 2

21. (Ⅰ)依题意: PF ? x ?

………………………………………………………………2 分

1 1 1 1 ? ( x ? )2 ? y 2 ? ? x ……………………4 分 ? ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( ? x) 2 2 2 2 2 ? y 2 ? 2 x ……………………………………………………………………………………6 分
注:或直接用定义求解. (Ⅱ)法Ⅰ:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 x ? ty ?

1 2

1 ? ? x ? ty ? 由? 2 ? y2 ? 2x ? ? y1 y2 ? ?1

得 y ? 2ty ? 1 ? 0 …………………………………………………8 分
2

直线 AO 的方程为 y ?

y1 x x1

y 1 ?点 D 的坐标为 (? , ? 1 ) ……………………11 分 2 2 x1

??

y1 y 1 ?? 1 ? ? ? y2 2 2 x1 y1 y1 ?直线 DB 平行于 x 轴. ……………………………………………………………………14 分 y2 2 x ( y0 ? 0) 法Ⅱ:设 A 的坐标为 ( 0 , y0 ) ,则 OA 的方程为 y ? y0 2 1 ?点 D 的纵坐标为 y ? ? , ……………………………………………………………8 分 y0 y 1 1 2 ? 1) ? F ( , 0) ?直线 AF 的方程为 y ? 2 0 ( x ? ) ( y0 y0 1 2 2 ? 2 2 1 ?点 B 的纵坐标为 y ? ? .……………………………………………………………12 分 y0

2 ? 1 时,结论也成立, ? BD ∥ x 轴;当 y0 ?直线 DB 平行于 x 轴. …………………………………………………………………14 分 2 22. (Ⅰ) ? g ( x) ? 2 g (? x) ? e x ? x ? 9 ,① e 2 1 g (? x) ? 2 g ( x) ? e ? x ? ? x ? 9, 即 g (? x) ? 2 g ( x) ? 2e x ? x ? 9, ② e e

由①②联立解得: g ( x) ? e ? 3 .
x

………………………………………………………………2 分

? h( x) 是二次函数, 且 h(?2) ? h(0) ? 1 ,可设 h( x) ? ax?x ? 2? ? 1 ,
由 h(?3) ? ?2 ,解得 a ? ?1.? h( x) ? ? x?x ? 2? ? 1 ? ? x ? 2 x ? 1
2

? g ( x) ? e x ? 3, h( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 1 .……………………………………………………………5 分
(Ⅱ)设 ? ( x) ? h( x) ? ax ? 5 ? ? x ? ?a ? 2?x ? 6 ,
2

F ( x) ? e x ? 3 ? x e x ? 3 ? ?1 ? x ?e x ? 3x ? 3 ,
依题意知:当 ?1≤ x ≤1 时, ? ( x)min ≥ F ( x)max

?

?

? F ?( x) ? ?e x ? ?1 ? x ? ? e x ? 3? ? 3 ? ? xe x ? 3 ,在 ?? 1,1? 上单调递减,

? F ?( x)min ? F ?(1) ? 3 ? e ? 0

………………………………………………………………7 分

? F ( x) 在 ?? 1,1? 上单调递增, ? F ( x) max ? F ?1? ? 0
? ?? ? ?1? ? 7 ? a ≥ 0 ?? , 解得: ?3 ≤ a ≤ 7 ? ?? ?1? ? a ? 3 ≥ 0

?实数 a 的取值范围为 ?? 3,7? .……………………………10 分

(Ⅲ) f ( x) 的图象如图所示: 令 T ? f ( x) ,则 f (T ) ? 2.

?T1 ? ?1, T2 ? ln 5 f ( x) ? ?1 有两个解, f ( x) ? ln 5 有 3 个解. ? f ? f ( x)? ? 2 有 5 个解.………………………………………………………………………………14 分


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