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函数导数高考题汇编答案


2009 年高考数学试题分类汇编——函数(答案)
1.(2009 浙江文) (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1)

上不单调,求 a 的取值范围. ... 解析: )由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) (Ⅰ 又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
a?2 3

Ⅱ)由 f ' ( x ) ? 0 ,得 x1 ? a , x2 ? ? 又 f ( x ) 在 ( ?1,1) 上不单调,即

a?2 ? a ? 2 ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?a ? ? 3 3 或? ? ?a ? ? a ? 2 ? ?1 ? a ? 1 ? ? 3 ?

? ?1 ? a ? 1 ? ?5 ? a ? 1 ? ? 解得 ? 1 或? 1 ?a ? ? 2 ?a ? ? 2 ? ?
所以 a 的取值范围是 ( ?5, ? ) ? ( ?

1 2

1 ,1) . 2

2.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1) 当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值? (2) 已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.
2 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

f (x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

x1 ?

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , ? ? 2a a 2a a

所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a, b 满足 b ? a 时, f (x) 取得极值.
2

2 (2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2x 2 2x 2 x2
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a
当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

所以当 x ?

1 1 )?? a. 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( a a

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

ax 1 1 ? 1 ,此时 g '( x ) ? 0在区间 (0,1]恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 在区间 (0,1]上单 2 2x a a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2

调递增,当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ?

综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

当 0 ? a ? 1 时, b ? ?

a ?1 2

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上 为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数 与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.

3.设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

解析:本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关键是通过 分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒成立条件得出不等式 条件从而求出的范围。 解: (I) f ?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a)
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f (x ) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f (x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 f (2a ) ? (2a ) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3

f (0) ? 24a
由假设知
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

?a ? 1 ? ? f ( 2a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ?24a ? 0. ?

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)
4.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值;

(2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解:(1) f ' ( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) , 因为 x ? (??, ??) , f ' ( x) ? m , 即 3x2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立, 所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

(2) 因为 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ; 所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 5.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ? 10 。 (I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)设函数 g ( x) ? f ( x) ? 极值时对应的自变量 x 的值. 【解析】 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ……① 又 f ?( x) ? 3x2 ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ……② 联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 (II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

5 . 2

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g ( x) 取得 3

…………………………………4 分

1 mx 3

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3 1 m ? 0 有实数解, 3
w. w.w.k.s.5 .u. c.o. m

2 当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ?

由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 .

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 无极值 3 3 1 1 ②当 m ? 1 时, g ?( x ) ? 0 有两个实数根 x1 ? (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 情况如 3 3
①当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有实数 x ? 下表:

x
g ?( x )
g ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 ? ?)
+ ↗

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当x?

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3
…………………………………12 分

6.(2009 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的定义域和值域。 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 2bx ? c .因为函数 f ?( x ) 的图象关于直线 x=2 对称, 所以 ?

2b ? 2 ,于是 b ? ?6. 6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x3 ? 6x2 ? cx , f ?( x) ? 3x2 ?12x ? c ? 3( x ? 2)2 ? c ?12 . (ⅰ)当 c ? 12 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 无极值。 (ii)当 c<12 时, f ?( x) ? 0 有两个互异实根 x1 , x2 .不妨设 x1 < x2 ,则 x1 <2< x2 . 当 x< x1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 (??, x1 ) 内为增函数;
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

当 x1 <x< x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 内为减函数; 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x2 , ??) 内为增函数. 所以 f ( x ) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x ) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 .
2 于是 g (t ) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t ) ? 3t ?12t ? c ? 0 得 c ? ?3t ? 12t .
2

于是 g (t ) ? f (t ) ? t ? 6t ? ct ? ?2t ? 6t , t ? (2, ??).
3 2 3 2 2 当 t ? 2 时, g ?(t ) ? ?6t ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t )

在区间 (2, ??) 内是减函数,故 g (t ) 的值域为 (??,8).

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

7.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=my 与 y ?
范围。
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

f ( x) 的图象有三个不同的交点,求 m 的取值

解析: (1) f ' ( x) ? 3x2 ? 3a ? 3( x2 ? a),

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ' ( x) ? 0, 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (??, ??)
' 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ?

a;

由 f ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?
'

a,

当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (??, ? a ),( a , ??) ; f ( x ) 的单调减区间为 (? a , a ) 。 (2)因为 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值, 所以 f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,? a ? 1. 所以 f ( x) ? x3 ? 3x ?1, f ' ( x) ? 3x2 ? 3, 由 f ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。
'

由(1)中 f ( x ) 的单调性可知, f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。 因为直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,又 f (?3) ? ?19 ? ?3 , f (3) ? 17 ? 1 , 结合 f ( x ) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。 9.(2009 天津卷理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R), 其中 a ? R
2 2 x

(1) 当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2) 当 a ?

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。 3

本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考 查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。 (I)解: 当a ? 0时,f ( x) ? x e ,f ' ( x) ? ( x ? 2 x)e ,故f ' (1) ? 3e.
2 x 2 x

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 e. 3
(II) 解:f ' ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? 4a e x .

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 知, 2a ? a ? 2. ? 3

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
? 2a
0 极大值

x

?? ?, 2a? ?
+ ↗

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2
0 极小值

?a ? 2, ?? ?
+ ↗

所以f ( x)在(??, 2a), ? 2, ?)内是增函数,在 ?2a,a ? 2)内是减函数 ? (a ? ( .

函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . f 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . f
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
a?2
0 极大值

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

?a ? 2, 2a ? ?
— ↘

? 2a
0 极小值

?? 2a, ?? ?
+ ↗

所以f ( x)在(??,a ? 2), 2a, ?)内是增函数,在 a ? 2, 2a)内是减函数。 (? ? ( ?

函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . f 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值 (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . f
10.(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 5 分)
2 已知 f ( x) ? x ? bx ? c 为偶函数,曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) , g ( x) ? ( x ? a) f ( x) .

(Ⅰ)求曲线 y ? g ( x) 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若当 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,确定 y ? g ( x) 的单调区间.
2 解: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? bx ? c 为偶函数,故 f (? x) ? f ( x) 即有

(? x)2 ? b(? x) ? c ? x2 ? bx ? c 解得 b ? 0
2 又曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) ,得 2 ? c ? 5, 有 c ? 1

? g ( x) ? ( x ? a) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a 从而 g ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 ,? 曲线 y ? g ( x) 有斜率为
0 的切线,故有 g ' ( x) ? 0 有实数解.即 3x ? 2ax ? 1 ? 0 有实数解.此时有 ? ? 4a ? 12 ≥ 0 解得
2 2

a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ?? ? ?

?

?

所以实数 a 的取值范围: a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ??

?

?

?

?

(Ⅱ)因 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,故有 g ' (?1) ? 0 即 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2 又 g ' ( x) ? 3x2 ? 4x ? 1 ? (3x ? 1)( x ? 1) 令 g ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? ?

1 3

当 x ? (??, ?1) 时, g ' ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (??, ?1) 上为增函数 当 x ? ( ?1, ? ) 时, g ' ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( ?1, ? ) 上为减函数 当 x ? (? , ??) 时, g ' ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (? , ??) 上为增函数

1 3

1 3

1 3

1 3

w.w.w.k.s.5.u.c. o. m


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