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2014届高三数学(理)一轮复习课后作业(三十八) 基本不等式


课后作业(三十八)
一、选择题 1.若函数 f(x)=x+ A.1+ 2

基本不等式

1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( x-2 C.3 D.4

)

B.1+ 3

2.下列不等式:①a2+1>2a;② 数是( ) A.0

a+

b 1 ≤2;③x2+ 2 ≥1,其中正确的个 x +1 ab

D.3 1 1 3.(2013· 潮州模拟)已知 a>0,b>0,则a+b+2 ab的最小值是( A.2 B.2 2 C.4 D.5

B.1

C.2

)

4.(2012· 湖北高考)设 a,b,c 均大于 0,则“abc=1”是“

1 1 1 + + ≤ a b c

a+b+c”的( ) A.充分条件不必要条件 B.必要条件不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件 5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( ) 9 11 A.3 B.4 C.2 D. 2 二、填空题 6. (2013· 深圳调研)已知 a, b∈R, ab=50, 且 则|a+2b|的最小值是________. a b 7.已知 log2a+log2b≥1,则 3 +9 的最小值为________. 8.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购买,每次购 买的运费为 2 万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数 数值, 要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是 ________. 三、解答题 9.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,求: (1)xy 的最小值;(2)x+y 的最小值. 1 1 1 10.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,求证:a+b+c≥9. 11. 某种商品原来每件售价为 25 元,年销售量 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售 的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?

(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行 1 全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入6(x2-600)万元 1 作为技改费用,投入 50 万元作为固定宣传费用,投入5x 万元作为浮动宣传费 用.试问:当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销 售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.

解析及答案
一、选择题 1. 【解析】 ∴f(x)=x+ ∵x>2,∴x-2>0, 1 (x-2)· +2=4, x-2

1 1 =(x-2)+ +2≥2 x-2 x-2

当且仅当 x-2= ∴a=3. 【答案】 C

1 (x>2),即 x=3 时等号成立, x-2

1 1 2. 【解析】 ①②不正确,③正确,x2+ 2 =(x2+1)+ 2 -1≥2-1= x +1 x +1 1. 【答案】 B

3. 【解析】

1 1 a+b+2 ab≥2

4 1 1 +2 ab≥4 ab·ab=4. ab

?a=b, ? 当? 1 即 a=b=1 时,等号成立, ?ab=ab, ? 1 1 因此a+b+2 ab的最小值为 4. 【答案】 4. 【解析】 C bc+ ca+ ab 1 1 1 + + = , a b c abc

当 abc=1 时, ∴ bc+ ca+ ab 1 ≤2[(b+c)+(c+a)+(a+b)] abc

=a+b+c. 1 1 1 + + ≤a+b+c. a b c 1 1 1 反过来,取 a=b=1,c=4 有 + + ≤a+b+c,但 abc≠1, a b c 1 1 1 ∴“abc=1”是“ + + ≤a+b+c”的充分不必要条件. a b c 【答案】 A 故 abc=1? 5. 【解析】 ∵x+2y+2xy=8,∴y= 8-x >0, 2x+2

8-x ∴0<x<8,∴x+2y=x+2· 2x+2 =(x+1)+ 9 -2≥2 x+1 9 (x+1)· -2=4, x+1

当且仅当 x+1= 【答案】 B 二、填空题 6. 【解析】

9 时“=”成立,此时 x=2,y=1. x+1

因为|a+2b|= (a+2b)2= a2+4b2+4ab≥ 8ab=20,当

且仅当 a2=4b2 时取等号,所以|a+2b|的最小值是 20. 【答案】 20 7. 【解析】 由 log2a+log2b≥1 得 log2(ab)≥1,即 ab≥2,

∴3a+9b=3a+32b≥2×3 立).

a+2b 2 (当且仅当 3a=32b,即 a=2b 时“=”号成

又∵a+2b≥2 2ab≥4(当且仅当 a=2b 时“=”成立), ∴3a+9b≥2×32=18. 故当 a=2b 时,3a+9b 有最小值 18. 【答案】 18 8. 【解析】 200 设每次购买该种货物 x 吨,则需要购买 x 次,则一年的总运

200 400 费为 x ×2= x ,一年的总存储费用为 x, 400 400 400 所以一年的总运费与总存储费用为 x +x≥2 x ·x=40,当且仅当 x =x,即 x=20 时等号成立. 故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物 20 吨. 【答案】 20 三、解答题 9. 【解】 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0, (1)xy=2x+8y≥2 16xy, ∴ xy≥8,∴xy≥64. 故 xy 的最小值为 64. 2 8 (2)由 2x+8y=xy,得: y +x =1, 2 8 ∴x+y=(x+y)· 1=(x+y)( y+ x) 2x 8y =10+ y + x ≥10+8=18. 故 x+y 的最小值为 18. 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c 10. 【证明】 a+b+c= a + b + c b a c a c b =3+(a+b)+(a+c)+(b+ c) b a c a c b ≥3+2 ·b+2 ·c+2 a a b·c =3+2+2+2=9 1 当且仅当 a=b=c=3时取等号, 1 1 1 ∴a+b+ c≥9. 11.【解】 (1)设每件定价为 x 元,依题意得

x-25 (8- 1 ×0.2)x≥25×8, 整理得 x2-65x+1 000≤0, 解得 25≤x≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. 1 1 (2)依题意,不等式 ax≥25×8+50+6(x2-600)+5x 有解, 150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ x +6x+5有解, 150 1 150 1 ∵ x +6x≥2 x ·6x=10(当且仅当 x=30 时,等号成立), ∴a≥10.2. ∴当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售 收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.


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