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北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第二学期统一考试理科数学


北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第二学期统一考试

数学试卷(理工类)
x 1.已知集合 A ? x 1 ? 2 ? 4 , B ? x x ? 1 ? 0 ,则 A I B =

2016.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题

目要求的一项.

?

?

?

?

A. x 1 ? x ? 2 2.复数 z ?

?

?

B. x 0 ? x ? 1

?

?

C. x 0 ? x ? 1

?

?

D. x 1 ? x ? 2

?

?
开始

i 错误!未找到引用源。( i 为虚数单位)在复平面内对应 1? i

的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.6 B.10 C.14 D.15 b b 4.已知非零向量 a , ,“ a ∥ ”是 “ a ∥ (a ? b) ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.同时具有性质:“①最小正周期是 ? ; ②图象关于直线 x ? ③在区间 ?

k ? 2, S ? 1

k ? k ?1
k ? 5?


S ? S ?k

? 对称; 3



? 5? ? , ? 上是单调递增函数”的一个函数可以是 输出 S 的值 ?6 ? ? x ? ?? ) A . y ? cos( ? ) B . y ? sin(2 x ? 2 6 6 结束 ? ? y ? cos(2 x ? ) y ? sin(2 x ? ) C. D. 3 6 ? x ? 1, x ? 2, (a ? 0 且 a ? 1) 的最大值为 1 ,则 a 的取值范围是 6.已知函数 f ( x) ? ? ?2 ? log a x, x ? 2 1 1 A. [ , 1) B. (0,1) C. ( 0 , ] D. (1, ?? ) 2 2
7.某学校高三年级有两个文科班,四个理科班,现每个班指定 1 人,对各班的卫生进行检 查.若每班只安排一人检查, 且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是 A. 48 错误!未找到引用源。 B. 72 错误!未找到引用源。 C. 84 错误!未找到引用源。 D. 168 B C D ? A B C D 8.已知正方体 A 的棱长为 2, E 是棱 D 1 C 1 的中点,点 F 在正方体内部或正方体的表面上,且 EF ∥平面 11 1 1

A1 BC1 ,则动点 F 的轨迹所形成的区域面积是 9 A. 错误!未找到引用源。 B. 2 3 错误!未找到引用源。 2
D.错误!未找到引用源。

C. 3 3 错误!未找到引用源。

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.

x2 2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程是 ;若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点与双曲线 C 的一个焦点重合,则 p ? . 3 10.如图, P 为⊙ O 外一点, PA 是⊙ O 的切线, A 为切点,割线 PBC A 与⊙ O 相交于 B, C 两点,且 PC ? 3PA , D 为线段 BC 的中点, O P B AD 的延长线交⊙ O 于点 E .若 PB ? 1 ,则 PA 的长为______; AD ? DE 的值是 C D . uuu r uuu r E 11.已知等边 ?ABC 的边长为 3, D 是 BC 边上一点,若 BD ? 1 ,则 AC ? AD 的值是______.
9.双曲线 C :
? x ? 0, ? 12.已知关于 x , y 的不等式组 ? y ? x, 所表示的平面区域 D 为三角形区域,则实数 k 的取值范围是 ? ? x ? y ? 2, ? ?2 x ? y ? k



13.为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用 8 万元, 以后每年支出的费用比上一年多 2 万元.每年销售蔬菜的收入为 26 万元.设 f ( n) 表示前 n 年的纯利润( f ( n) =前 n 年的总收 入-前 n 年的总费用支出-投资额) ,则 f (n) ? (用 n 表示) ;从第 年开始盈利.

14. 在平面直角坐标系 xOy 中, 以点 A (2, 0) , 曲线 y ? 1 ? x 2 上的动点 B , 第一象限内的点 C , 构成等腰直角三角形 ABC , 且 ?A ? 90? ,则线段 OC 长的最大值是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
3 , c ? 3,sin A ? 6 sin C . 15.(本小题满分 13 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ) 若角 A 为锐角,求 b 的值及 ?ABC 的面积. 16. (本小题满分 13 分) 交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值.交通 10) ,五个级别规定如下: 指数范围为 (0, cos 2 A ? ? 1

[2, 4) (0, 2) [4, 6) [6,8) [8,10) 交通指数 级别 畅通 基本畅通 轻度拥堵 中度拥堵 严重拥堵 某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内,他随机记录了上班的 40 个工作日早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)的交通指数(平均值),其统计结果如直方图所示. (Ⅰ)据此估计此人 260 个工作日中早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)中度拥堵的天 数; (Ⅱ) 若此人早晨上班路上所用时间近似为: 畅通时 30 分钟, 基本畅通时 35 分钟, 轻度拥堵时 40 分钟,中度拥堵时 50 分钟,严重拥堵时 70 分钟,以直方图中各种路 况的频率作为每天遇到此种路况的概率,求此人上班路上所用时间 X 的数学期望. 17. (本小题满分 14 分)

1 AD ? 2 , ?A ? 60? , 2 E 为 AD 中点,点 O, F 分别为 BE, DE 的中点.将 ?ABE 沿 BE 折起到 ?A1BE 的 BCDE (如图 2). 位置,使得平面 A 1BE ? 平面
如图 1,在等腰梯形 ABCD 中, BC // AD , BC ? (Ⅰ)求证: AO ? CE ; 1 (Ⅱ)求直线 A 所成角的正弦值; 1B 与平面 ACE 1

P ,使得 BP // 平面 AOF (Ⅲ)侧棱 AC ? 若存在, 1 上是否存在点 1
求出

A1 P 的值;若不存在,请说明理由. A1C

18. (本小题满分 13 分)

1 2 x ? (a ? 1) x ? ( 1 ? a ) ln x , a ? R . 2 (Ⅰ)当 a ? 3 时,求曲线 C : y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
已知函数 f ( x) ? ? (Ⅱ)当 x ??1,2? 时,若曲线 C : y ? f ( x) 上的点 ( x, 19.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 在椭圆 C :
? ?1 ? x ? 2, ? y ) 都在不等式组 ? x ? y, 所表示的平面区域内,试求 a 的取值范围. ? 3 ?y ? x ? ? 2

xx x2 ? y 2 ? 1上,过点 P 的直线 l 的方程为 0 ? y0 y ? 1 . 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若直线 l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A, B 两点,试求 ?OAB 面积的最小值; (Ⅲ)设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1 , F2 ,点 Q 与点 F 1 关于直线 l 对称,求证:点 Q, P, F 2 三点共线. 20.(本小题满分 13 分)
? ? 3n ? 1 ? ? 已知集合 S ? ? , k ? N? ? (n ? 2 ,且 n ? N ) .若存在非空集合 S1 , S2 ,?, Sn ,使得 S ? S1 ? S2 ??? Sn , ?k 1 ? k ?

? ?

2

? ?

? ,n ),x? y 且 Si ? S j ? ? (1 ? i, j ? n, i ? j ) , 并 ?x, y ? S , 都 有 x ? y? S i ( i ? 1, 2, i , 则 称 集 合 S 具 有 性 质 P , Si
( i ? 1, 2,?, n )称为集合 S 的 P 子集. (Ⅰ)当 n ? 2 时,试说明集合 S 具有性质 P ,并写出相应的 P 子集 S1 , S2 ; (Ⅱ)若集合 S 具有性质 P ,集合 T 是集合 S 的一个 P 子集,设 T ? ? {s ? 3 | s ?T } ,
n

求证: ?x, y ? T ? T ? , x ? y ,都有 x ? y ? T ? T ? ; (Ⅲ)求证:对任意正整数 n ? 2 ,集合 S 具有性质 P .

北京市朝阳区 2015-2016 学年度第二学期高三年级统一考试 数学答案(理工类) 2016.5 一、选择题:(满分 40 分)
题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 D 6 A 7 D 8 C

设直线 则

所成角为 ? A1B 与平面 ACE 1



???? ? 3? 3 3 15 . sin ? ? cos? A1 B, n? ? ? ? 5 2? 5 5

二、填空题:(满分 30 分) 题 号 答 案 9 10 1 1 12
2

13

14

y??

3 ,4 x 3

3 ,16

6

(??, ?2] ? [0,1)

?n ? 19n ? 60 ,

5

2 2 ?1

15 .…………9 分 5 P ,使得 BP // 平面 AOF (Ⅲ)假设在侧棱 AC . 1 上存在点 1 ???? ???? 设A 1P ? ? AC 1 , ? ? [0,1] . ??? ? ???? ???? ???? ???? 因为 BP ? BA , 1?A 1P ? BA 1 ? ? AC 1
所以直线 所成角的正弦值为 A1B 与平面 ACE 1

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题:(满分 80 分) 15.(本小题满分 13 分)
1 2 解:(Ⅰ) 因为 cos 2 A ? 1 ? 2 sin A ? ? ,且 3

??? ? 所以 BP ? (?1 , 0,3) ? ?(0,3, ? 3) ? (?1, 3?, 3 ? 3?)
易证四边形 BCDE 为菱形,且 CE



0? A??,

所以 sin A ? 因为 c ?

6 . 3

3,sin A ? 6 sin C ,

? BD , 又由(Ⅰ)可知, AO . ? CE ,所以 CE ? 平面 AOF 1 1 ??? ? 所以 CE ? (?1, ? 3,0) 为平面 AOF 的一个法向量. 1

a c ? 由正弦定理 ,得 a ? sin A sin C

6 ?c ? 6 ? 3 ? 3 2

(Ⅱ) 由 sin

3. 6 ? , 0 ? A ? 得 cos A ? 3 3 2 2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A , 得 b 2 ? 2b ? 1 5 0 ? 解得 b ? 5 或 b ? ?3 (舍负).
A?
所以 S?ABC ? bc sin A ?
1 2 5 2 . 2



??? ?由 ??? ? BP ? CE ? (?1, 3?, 3 ? 3?) ? (?1, ? 3,0) ? 1 ? 3? ? 0 , 1 得 ? ? ? [0,1] . 3 P ,使得 BP // 平面 AOF 所以侧棱 AC ,且 A1 P 1 .…14 分 1 上存在点 1 ?
A1C 3
18.(本小题满分 13 分)

………13 分

解: (Ⅰ)由已知可得:上班的 40 个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为 0.25, 据此估计此人 260 个工作日早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)中度拥堵的天数为 260× 0.25=65 天. ……………………………………………………5 分 (Ⅱ)由题意可知

X

的可能取值为 30,35, 40,50, 70 .

且 P( X ? 30) ? 0.05 ; P( X

? 35) ? 0.10 ; P( X ? 40) ? 0.45 ; P( X ? 50) ? 0.25 ; P( X ? 70) ? 0.15 ;

所以 EX ? 30 ? 0.05+35 ? 0.1+40 ? 0.45+50 ? 0.25+70 ? 0.15=46 .…………13 分 17. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)如图 1,在等腰梯形

1 ? 3 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 2ln x , x ? 0 . 2 2 f ?( x) ? ? x ? 4 ? . x 1 7 则 f ?(1) ? ?1 ? 4 ? 2 ? 1 ,而 f (1) ? ? ? 4 ? . 2 2 7 所以曲线 C 在点(1, f (1) )处的切线方程为 y ? ? x ? 1 ,即 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 .…4 分
解:(Ⅰ)当 a

2

ABCD 中, 1 由 BC //AD , , ?A ? 60? , E 为 AD 中点, BC ? AD ? 2
2

(Ⅱ)依题意当

x ??1, 2? 时,曲线 C 上的点 ? x, y ?

所以 ?ABE 为等边三角形.如图 2, 因为 O 为

? ?1 ? x ? 2, ? 都在不等式组 ? x ? y, 所 ? 3 ?y ? x ? ? 2

BE 的中点,所以 AO ? BE . 1

表示的平面区域内,等价于当 1 ? 立. 设

x ? 2 时, x ? f ( x) ? x ?

A1BE ? 平面 BCDE , BCDE ? BE , 且平面 A 1BE ? 平面 所以 AO ? 平面 BCDE ,所以 AO ? CE .………4 分 1 1 (Ⅱ)连结 OC ,由已知得 CB ? CE ,又 O 为 BE 的中点, 所以 OC ? BE . 由(Ⅰ)知 AO ? 平面 BCDE , 1
又因为平面

3 恒成 2

x 2 ? ax ? ( 1 ? a) ln x , x ??1, 2? . g ( x) ? f ( x) ? x ? ? 1 2

所以

g ?( x)= ? x+a+

1? a ? x 2 ? ax ? (1 ? a) ?(x ? 1)(x ? ? a ? 1)) . = = x x x

(1) 当 a ?1 ? 1 , 即a 为单调减函数, 所以 g (2)

? 2 时, 当 x ? ?1, 2? 时,g ?( x ) ? 0 ,g ( x )
依题意应有
1 3 ? g (1) ? a ? ? , ? 2 2 ? ? g ( 2) ? ?2 ? 2a ? (1 ? a )ln2 ? 0, ?

? g ( x) ? g (1) .
a ? 2.
,即

AO ? BE, AO ? OC , 1 1 所以 OA 1 , OB, OC 两两垂直. 以 O 为原点, OB, OC , OA 1 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系(如图).
所以 因为 BC

解得 ? a ? 2, 所以 1 ?
? ? a ? 1.

? 2 ,易知 OA1 ? OC ? 3 .

(2)若

1 ? a ?1 ? 2

2 ? a ? 3 时 , 当 x ??1,a ? 1 ?,

g ?( x) ? 0 , g ( x) 为单调增函

所以 1 ???? ???? ???? 所以 A B ? (1 , 0, ? 3), AC ? (0,3, ? 3), A1E ? (?1 , 0, ? 3) . 1 1 设平面

A (0, 0,3), B(1 , 0, 0), C(0,3, 0), E(?1 , 0, 0) ,
的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , ACE 1

? n ? A1C ? 0, 由 ? ? ???? ? ?n ? A1 E ? 0

????

得 ? 3 y ? 3z ? 0, ?
? ? ?? x ? 3z ? 0.

即? ? y ? z ? 0,

? ? ? x ? 3 z ? 0.



z ? 1 ,得 n ? (? 3,1,1) .

题意. 综上所述, 1 ?

x ? ? a ?1, 2? , g ?( x) ? 0 , g ( x) 为单调减函数. 3 由于 g (1) ? ,所以不合题意. 2 1 5 ? ,显然不合 (3)当 a ? 1 ? 2 ,即 a ? 3 时,注意到 g (1) ? a ? 2 2


数,

a ? 2 .…………………13 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意可知 a

? 2 , c ? 2 ?1 ? 1 , 1 2 所以椭圆 C 离心率为 e ? .…… 3 分 ? 2 2 ( Ⅱ ) 因 为 直 线 l 与 x 轴 , y 轴 分 别 相 交 于 A, B 两 点 , 所 以 x0 ? 0, y0 ? 0 . x0 x 2 2 ? y0 y ? 1 得 x ? ,则 A( , 0) . 令 y ? 0 ,由 2 x0 x0 x0 x 1 1 ? y0 y ? 1 得 y ? 令 x ? 0 ,由 ,则 B (0, ). 2 y0 y0 所以 ?OAB 的面积 1 1 2 1 . S ? OA OB ? ?
?OAB

所 以

S

具 有 性 质

P

. 相 应 的

P

子 集 为

S1 ? { 1 , 4, }

S2 ? {2,3} .

………… 3 分

(Ⅱ)①若 x, y ? T (1 ? y ? x ? 又 ② 若

x? y ?

3n

2

3n ? 1 ) ,由已知 x ? y ? T , 2 ?1 ? 所以 x ? y ? T ? T ' . ? 1 ? 3 ,所以 x ? y ?T .
n

x, y ? T ?
3 ?1 , 2
n

, 可设

n , r, s ? T x ? s ? 3n ,y ? r ? 3

, 且

1? r ? s ?
此时

x ? y ? ( s ? 3n ) ? (r ? 3n ) ? s ? r ?

2

2 x0 y0

x0 y0

且 x ?y ?s ?r ? y ?T ' , T n ③若 y ? T , x ? s ? 3 ? T ? , s ? T , 则

所以 x ?

3n ? 1 . ? 1 ? 3n 2

. 所以 x ?

y ?T ? T ? .

因为点 P( x0 , 所以

y0 ) 在椭圆 C :

x2 x ? y 2 ? 1上,所以 0 ? y0 2 ? 1 . 2 2
2

x ? y ? ( s ? 3n ) ? y ? ( s ? y ) ? 3n ? (1 ?

2 ,则 1 x y .即 x2 . x0 y0 ? 1 ? 0 ? y0 2 ? 2 0 0 ? 2 2 2 2 x0 y0
?OAB

所以 x ? 又 因

y ?T . , ?s 为 y? T
n

3n ? 1 3n ? 3 3n ? 1 , ) ? 3n ? ? 2 2 2

T所 ,
n

所以 S

?

1 1 OA OB ? ? 2. 2 x0 y0

x0 2 2 ? y0 2 ,即 x0 ? ?1, y0 ? ? 时, ?OAB 面积的 2 2 最小值为 2 . … 9 分 (Ⅲ)①当 x0 ? 0 时, P(0, ?1) . ) 此 时 kF2 P ? ?1 , 当 直 线 l : y ? 1 时 , 易 得 Q(? 1, 2 ,
当且仅当

x ? y ? (s ? 3 ? ) y ? s? y ( ? 所以 x ? y ? T ? T ' . 综 上 , 对 于 ?x, y ? T ? T ' x ? y ?T ? T ' . …………… 8 分
(Ⅲ)用数学归纳法证明. (1)由(Ⅰ)可知当 n ( 2 ) 假 设
k

s? ? y ? ) T? . 3
以 ,

T .





x? y







? 2 时,命题成立,即集合 S n?k ( k?2 ) 时 ,

具有性质 P . 命 题 成 立 . 即

kF2Q ? ?1.
因为

S ? {1, 2,3,?,


3 ?1 } ? S1 ? S2 ??? Sk , 2

kF2Q ? kF2 P ,所以三点 Q, P, F2 共线.
: y ? ?1 时,三点 Q, P, F2 共线.

Si ? S j ? ? (1 ? i, j ? n, i ? j )



同理,当直线 l ②当 x0

?x, y ? Si (i ? 1, 2,?, k ), x ? y ,都有 x ? y ? Si .
那么 当 n 并 构

? 0 时,设点 Q(m, n) ,因为点 Q 与点 F1 关于直线 l 对称,

? k ? 1 时,记 Si? ? {s ? 3k | s ? Si } ,
造 如 下

, 集 合 :

n ? x0 m ? 1 ? ? y0 ? ? 1, 所以 ? 2 整理得 ? x0 m ? 2 y0 n ? x0 ? 4 ? 0, 2 2 ? ? ? n ? 2 y0 m ? x0 n ? 2 y0 ? 0. ? ?0 x ? 2 ? (? 0 ) ? ?1. ? m ?1 2 y0 ?1 ? ? 2
2 ? x 2 ? 4 x0 ? 4 y0 解得 ? m ? 0 , 2 2 4 y0 ? x0 ? ? ? n ? 4 x0 y0 ? 8 y0 . 2 2 ? 4 y0 ? x0 ?

?? ? S2 ? S2 ?, S1?? ? S1 ? S1? , S2
???1 ? { Sk
显然 Si??? S ?? j ? ? (i 又 因 为

k +1 个 ?? ? Sk ? Sk ?, , Sk

3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1 ? 1, ? 2,?, 2 ? ? 1} , 2 2 2

? j) .
, 所 以

3k ?1 ? 1 3k ? 1 ? 3? ?1 2 2
3k ?1 ? 1 . } 2

2 2 x0 ? 4 x0 ? 4 y0 4x y ? 8 y , 0 20 2 0 ) . 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 ???? ? ???? ? 又因为 F 2 P ? ( x0 ?1, y0 ) ,F Q ? ( x ? 4 x ? 4 y ? 1, 4 x y

?? ??? Sk ?? ? Sk ???1 ? {1, 2,3,?, S1??? S2
下面证明

所以点 Q(

(i ? 1, 2,?, k ? 1) .
k k

Si?? 中 任 意 两 个 元 素 之 差 不 等 于 Si??

中的任一元素

2 0

0

2 0

2

2 2 4 y0 ? x0

,且 0 0 ? 8 y0 ) 2 2 4 y0 ? x0

k k ①若两个元素 3 ? 1 ? r , 3 ? 1 ? s ? S ?? , 3k ? 1 , ?1 k ?1 1 ? r ? s ? 2 2 2

(

2 2 x0 ? 4 x0 ? 4 y0 4x y ? 8 y (4 x0 ? 8 y0 2 ) ? (4 x0 ? 8)( x0 ? 1) ? 1) ? y0 ? 0 20 2 0 ? ( x0 ? 1) ? y0 ? 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

则 ( 3 ? 1 ? s) ? ( 3 ? 1 ? r ) ? s ? r ? 3 ? 1 ,
k

2

2

2

? y0 ?
? y0 ?

4 x0 ? 8 y0 ? (4 x0 ? 4 x0 ? 8) 2 2 4 y0 ? x0
2 2

k 3k ? 1 所以 3 ? 1 ???1 . ( ? s) ? ( ? r ) ? Sk 2 2

???? ? ???? ? 所以 F 2 三点共线. 2 P// F 2Q .所以点 Q, P, F 综上所述,点 Q, P, F2 三点共线. ………14 分
20.(本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ) 当n 则

?8 y02 ? 4 x02 ? 8 ?4(2 y02 ? x02 ) ? 8 ?4 ? 2 ? 8 ? y0 ? ? y0 ? 2 ?0 2 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

②若两个元素都属于 由(Ⅱ)可知,

Si?? ? Si ? Si? (1 ? i ? k ) , Si?? 中 任 意 两 个 元 素 之 差 不 等 于 Si??

中的任一数

(i ? 1, 2,?, k ? 1) . 从而, n ? k ? 1 时命题成立. 综上所述, 对任意正整数 n ? 2 , 集合 S
, 2 分

具有性质 P . ………………………13

? 2 时,S ? {1, 2,3, 4} ,令 S1 ? { 1 ,4 }
, 且 对

S ? S1 ? S2 x ? y ? Si ,

S ? {2,3} , ?x, y ? iS ( i? 1 , 2 ) x ,? ,y都 有


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