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滕州木石中学单海龙八年级下册4.3运用公式法(第2课时)教案


2.3 运用公式法(第 2 课时) 教学内容:P101--103§4.3 运用公式法(二) 授课时间:2014 年 4 月 22 日 星期 二 授课班级:八年级(6)班 授课教师:木石中学 单海龙
教学目标 知识与技能:



4 节。

(1)使学生了解运用的意义;发展学生的观察能力和逆向思维能 力。 (2

)会用完全平方公式进行因式分解;培养学生对完全平方公式 的运用能力。 (3) 使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法, 再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式. 过程与方法:经历经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式 法分解因式的方法的过程,发展学生的观察能力和逆向思维能力,总 结因式分解的一般分解的方向。
情感与态度:

培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好习惯行为,体 会因式分解在数学学科中的地位和价值。 教学重点:会用完全平方公式进行因式分解;让学生掌握多步骤、多 方法分解因式方法 教学难点:灵活地运用公式法分解因式,正确判断因式分解的彻底性 问题。 教学关键:把握住因式分解的基本思路,观察多项式的特征,灵活地 运用“换元”和“化归”思想,把问题中的多项式转化成适当的公式 形式,在应用公式时分清公式中两个数的积地倍这一特征。

教学过程
一、创设问题情境,引入新课

因式分解是整式乘法的反过程,倒用乘法公式,我们找到了因式分解 的两种方法:提取公因式法、运用平方差公式法 .还有哪些乘法公式 可以用来分解因式呢? 我们一起来做下面的填空: (1) (a+b) (a-b) = ; 2 (2) (a+b) = ; 2 (3) (a–b) = ; 根据上面式子填空:
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(1)a2–b2= (2)a2–2ab+b2= (3)a2+2ab+b2=

; ; ;

在以前我们不仅学习了平方差公式 (a+b) (a-b)=a2-b2 而且还学习了完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2

设计目的 探讨学习用完全平方公式分解因式. 经历通过整式乘法的
完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程, 发展学生的 观察能力和逆向思维能力,总结因式分解的一般分解方向。

二、讲授新课
一块长为 a 米的正方形实验田,因需要将其边长增加 b 米,形成四 块实验田( 如图 2-3-4 所示),以种值不同的新品
b

种. (多媒体显示题目并动画演示图形变化过程) 互动 1
a a

( 师 ): 你能用不同的形式表示实验田的总面 积吗? (生):可以表示为(a+b)2.

b

2-3-4

( 生 ): 若 将 此 田 分 成 四 块 看 : 还 可 以 表 示 为 :a2+ab+ba+b2, 即 a2+2ab+b2. (师):很好,于是我们可以得到一个等式:(a+b)2=a2+2ab+b2. (生):还可以表示为 a2+2ab+b2=(a+b)2.

-2-

(师):这位同学说得很好,接下来我们看一看这两个等式: (a+b)2=a2+2ab+b2 a2+2ab+b2=(a+b)2 ① ②

第一个式子是七年级学过的公式,大家还记得吗? (生):是整式乘法中的完全平方公式的一种. (师):观察这两个式子有何联系? (生):它们是互逆的关系. (师):大家观察②的形式,你知道它是一种怎样的变形过程? (生):因式分解. (师):与此类似 a2-2ab+b2=(a-b)2 也成立. (师):因此我们把 a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2 看作是 因式分解的完全平方公式. (师):由分解因式与整式乘法的关系可以看出 ,如果把乘法公式 反过来, 那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方 法叫做运用公式法. 明确 在实际情境下,通过计算面积得出因式分解的完全平方公

式,并通过整式乘法的完全平方公式的比较 ,加深对因式分解的完全 平方公式的认识.了解运用公式法的意义. 2.解读探究 a2+2ab+b2=(a+b)2 互动 2 (师):大家观察上式有怎样的结构特点?
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a2-2ab+b2=(a-b)2

(生):所给多项式有三项,其中有两项的符号相同,并且这两项可 化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的 2 倍. (师):在以上公式中涉及几个数或式子? (生):在公式中涉及两个数或式子. (师):公式中的 a、b 分别代表什么? (生):与平方差公式一样,a、b 可代表数,也可以代表代数式,这 里既可为多项式,也可为单项式. (师):你能用自己语言表述上面的公式吗? (生):两个数(式)的平方和加上(减去)这两个数(式)积的 2 倍, 等于这两个数(式)的和(差)的平方. (师):凡是符合完全平方公式特征的多项式都可以运用公式分解 因式. (师):形如 a2+2ab+b2 或 a2-2ab+b2 的式子称为完全平方式,大家 观察此式的结构特点. (生):完全平方式都是二次三项,若以 a 为字母,则第三项(b2)是 中间一项的系数(±ab)的一半的平方.

设计目的 通过分析公式特征 ,让学生准确掌握公式 , 熟练而灵
活地利用公式分解因式,了解完全平方式的组成.

2.例题讲解 [例 1]把下列完全平方式分解因式:
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(1)x2+14x+49; (2) (m+n)2-6(m +n)+9. 分析:大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后 再根据公式分解因式.公式中的 a,b 可以是单项式,也可以是多项式. 解: (1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2 (2) (m +n)2-6(m +n)+9=(m +n)2-2· (m +n)×3+32= [ (m +n)-3]2=(m +n-3)2. [例 2]把下列各式分解因式: (1)3ax2+6axy+3ay2;(2)-x2-4y2+4xy. 分析:对一个三项式,如果发现它不能直接用完全平方公式分解 时,要仔细观察它是否有公因式,若有公因式应先提取公因式,再考 虑用完全平方公式分解因式. 如果三项中有两项能写成两数或式的平方,但符号不是“+”号 时,可以先提取“-”号,然后再用完全平方公式分解因式. 解: (1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2 (2)-x2-4y2+4xy =-(x2-4xy+4y2)

=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2
注意:在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两 步完成: (1)有公因式,先提公因式(包括提取负号) ; (2)再用公 式法进行因式分解.

三、课堂练习

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1 观察下列哪些式子是完全平方式?如果是,请将它们进行因式 分解. (1) x2–4y2 (2) x2+4xy–4y2 (3) 4m2–6mn+9n2 (4) m2+6mn+9n2 设计目的:找完全平方式可以紧扣下列口诀:首平方、尾平方, 首尾相乘两倍在中央; 2 课本 103 业 1 题 2 题,分两组到黑板上练习。

设计目的:会用完全平方公式进行因式分解;培养学生对完全
平方公式的运用能力。

拓展例题 已知 x2+2x-y2+6y-8=0,且 x+y≠2,求 x-y 的值. 【分析】 观察发现,由 x2+2x 联想到 1,由 y2 和 6y 联想到 9, 于是可以把 -8 拆成 1 和 -9, 原式可写成 x2+2x+1-y2+6y-9=0, 即 (x+1)2-(y-3)2=0,使原式变为 A2-B2=0 的形式,左边可以利用平方差 公式再继续分解为(A+B)(A-B)=0 的形式,从而由 A+B=0 或 A- B=0 求 值,因为 x+y≠2,所以可求出 x-y 的值.

设计目的:把握住因式分解的基本思路,观察多项式的特征,灵活
地套用平方差公式与完全平方公式, 把问题中的多项式转化成适当的 公式形式,在应用公式时分清公式中两个数的积地倍这一特征。

四 目标检测
2 2 补充:(1)若 x=156,y=144,求代数式 x ? xy ? y .

1 2

1 2

(2)若 9x2+kx+16 是一个完全平方式,则 k=_____. (3)已知 a+b=1,ab=-12,则 a2+b2 的值为________. (4)当 x 取何值时,多项式 x2+4x+9 取得最小值? 【答案】(1)45000 五 延伸拓展
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(2)±24

(3)25

(4)-2

1.链接生活 链接一:一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2+8x+11,并对小刚 说:“无论 x 取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”小刚 动笔演算许多次,结果正如小明所说,小刚很困惑,你能运用你所学的 知识说明一下其中的道理吗? 【答案】4x2+8x+11=4(x2+2x+1)+7=4(x+1)2+7, 而(x+1)2≥0 则 4x2+8x+11>0. 【设计目的】通过对代数式的变形,加强对完全平方式的认识及 对非负数的再认识,培养学生的结合思维能力. 链接二:某商场有四层,第一层有商品 (a+b)2 种,第二层有商品 a(a+b)种,第三层有商品(a+b)b 种,第四层有商品(a+b)3 种,则这商 场共有商品多少种? 【答案】(a+b+2)(a+b)2 种. 【设计目的】在实际情境下,提高学生应用分解因式解决问题的 能力. 2.实践探索 (1)实践活动 ①自编几道应用完全平方公式来分解因式的习题 , 同学之间写 几道完全平方式并互相检查. ②阅读课本第 102 页了解“智慧数”并会写相应的“智慧数”. (2)巩固练习 课本第 103 页习题 4.5.
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六 板书设计 运用公式法 完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 完全平方式:a2+2ab+b2 或 a2-2ab+b2
例1 例2 例 3.

七、课时小结
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式 .它与平方差公式不 同之处是: (1)要求多项式有三项. (2)其中两项同号,且都可以写成某数或式的平方,另一项则 是这两数或式的乘积的 2 倍,符号可正可负。整式乘法的完全平方公 式与因式分解的完全平方公式是互逆关系;完全平方公式中的 a 与 b 既可以是单项式,又可以是多项式。 同时, 我们还学习了若一个多项式有公因式时, 应先提取公因式, 再用公式分解因式.

八 教学反思:
本节课通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的 方法的过程,发展学生的逆向思维和推理能力;在运用公式法分解因 式中,要有意识的引导学生,再熟悉乘法公式的来历,以及乘法公式 的结构,多注意培养学生认真观察地良好习惯。基本完成了既定的教 学目标。本课时学习运用完全平方公式分解因式的方法,让学生了解
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公式特点,掌握运用技巧,熟练地运用公式 . 把握住因式分解的基本 思路,观察多项式的特征,灵活地运用“换元”和“化归”思想,把 问题中的多项式转化成适当的公式形式, 在应用公式时分清公式中两 个数的积地倍这一特征。

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