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2011年北京市夏季普通高中会考数学试题


2011 年北京市夏季普通高中会考(新课程)









第一部分 选择题(每小题 3 分,共 60 分) 在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?1, 4? ,那么集合 A ? B 等于 (A

) ?1? (B) ?4? (C) ?2,3? (D) ?1, 2,3, 4?

2.在等比数列 ? an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? 4 ,那么 a4 等于 (A)6 (B)8 (C)10 (D)16

3.函数 f ? x ? ? x ? 1 的零点的个数是 (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 4.一个空间几何体的三视图如图所示,这个几何体的体积是 (A) 18 (B)12 (C)6 (D)4 5.已知函数 y ? 2 的图象经过点 ? ?1, y0 ? ,那么 y0 等于
x

(A)

1 2

(B) ?

1 2

(C) 2

(D) ?2

6.函数 y ? (A) ? ??, ?1? (C)

x 2 ? 1 的定义域是
(B)

? ?1,1?

? ??, ?1? ? ?1, ?? ?
??? ?

(D) ?1, ?? ?

7.在菱形 ABCD 中,与 AB 相等的向量可以是 (A) CD 8. tan (A) ?1

??? ?

(B) AC ? CB

???? ??? ?

(C) AD

????

(D) AD ? DB

???? ??? ?

3? 的值等于 4
(B) ?
?1

2 2
1

(C)

2 2
3

(D)1

9.四个函数 y ? x , y ? x 2 , y ? x , y ? x 中,在区间 ? 0, ?? ? 上为减函数的是
2 ?1 (A) y ? x

(B) y ? x

1 2

(C) y ? x

2

(D) y ? x

3

10.如果直线 ax ? y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 垂直,那么 a 等于

1

(A) 3

(B) ?3

(C)

1 3

(D) ?

1 3

11.函数 y ? 2sin x cos x 的最小正周期是 (A)

? 2

(B) ?

(C) 2?

(D) 4?

12.函数 y ? log 2 ? x ? 1? 的图象大致是
y
y

y
1

y

1

1
1

1

O

x

O 1

x

O

1

x

O

1

x

(A) (B) (C) (D) 13.口袋中装有大小、材质都相同的 6 个小球,其中有 3 个红球、2 个黄球和 1 个白球,从中随机 摸出 1 个球,那么摸到红球或白球的概率是 (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

14.函数 y ?

1 3 sin x ? cos x 的最大值是 2 2
(B)

(A)

1 2

3 2

(C) 1

(D)

1 3 ? 2 2

15.经统计,2011 年 3 月份 30 个地区工业增加值速度(%).全部介于 6 与 26 之间,现将统计结果 以 4 为组距分成 5 组:? 6,10 ? ,?10,14 ? ,?14,18? ,?18, 22 ? ,? 22, 26 ? , 得到如图所示的频率分布直方图,那么工业增加值增长速度(%)在

?10,18? 的地区有
(A) 3 个 (B) 7 个 (C) 9 个 (D)12 个 16.平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是 (A) ? 内的一条直线与 ? 平行 (B) ? 内的两条直线与 ? 平行 (C) ? 内的无数条直线与 ? 平行(D) ? 内的两条相交直线分别 与 ? 平行

2

17.已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x ? 1? ,那么 f ? ?1? 等于 (A) ?2 (B) ?1 (C) 0 (D) 2

18.已知直线 a, b 和平面 ? ,那么下列命题中的真命题是 (A) 若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b (C)若 a ? b, b ? ? ,则 a // ? (B) 若 a // ? , b // ? ,则 a // b (D)若 a // b, b // ? ,则 a // ?

?y ?1 ? 19.当 x, y 满足条件 ? x ? y ? 0 时,目标函数 z ? x ? y 的最小值是 ?x ? 2 y ? 6 ? 0 ?
(A)0 (B) 2 (C) 4 (D)5
? ?

20.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 ?1 C ,空气的温度是 ? 0 C , t min 后物体
? 的温度 ? C 可由公式 ? ? ? 0 ? ??1 ? ? 0 ? e
?0.24 t

求得.把温度是 100 C 的物体,放在 10 C 的空气中冷

?

?

却 t min 后,物体的温度是 40 C ,那么 t 的值约等于 (参考数据: ln 3 取 1.099 , ln 2 取 0.693 ) (A) 6.61 (B) 4.58 (C) 2.89 (D) 1.69 第二部分 非选择题(共 40 分) 一、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 21.已知 sin ? ?

?

3 ? ?? ,且 ? ? ? 0, ? ,那么 cos ? = 5 ? 2?

22.已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 4 ,那么 xy 的最大值是 23.某校共有学生 2000 人,其中高三年级有学生 700 人.为调查“亿万学生阳光体育运动”的落 实情况,现采用按年级分层抽样的方法,从该校学生中抽取一个容量为 400 的样本,那么样本中高 三年级的学生人数是 24.阅读下面的程序框图,运行相应的程序.当输入 x ? 16 , y ? 12 时,输出的结果是

3

二、解答题(共 3 个小题,共 28 分) 25. (本小题满分 9 分) 已知直线 l 经过两点 P ?1, 0 ? , Q ? 0, ?1? ,圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4
2 2

(Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,求 AB 的值.

26. (本小题满分 9 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, OA ? ? 4, 0 ? , OB ? 1, 3 ,点 C 满足 ?OCB ? (Ⅰ)求 OB ? BA ; (Ⅱ)证明: OC ? 2 2 sin ?OBC ; (Ⅲ)是否存在实数 ? ,使得 BC ? ? BA 成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

??? ?

??? ?

?

?

?
4



??? ??? ? ?

????

??? ?

??? ?

27. (本小题 10 分) 已知函数 f ? x ? ?

x ? ,数列 ? an ? 满足 a1 ? f ?1? , an ?1 ? f ? an ? ? n ? N ? . 2x ?1

(Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ? an ? an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ,并比较 S n 与

n 2 ? 18
n

4

参考答案: 1.D2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.A9.A10.C11.B12.B13.D14.C15.D1.6D17.A18.A 19.D20.B 21.

4 22. 4 23.140 人 24. 4 5

25. (Ⅰ) y ? x ? 1 (Ⅱ) 14 26. (Ⅰ)求 OB ? BA ? 0 ; (Ⅱ)

??? ??? ? ?

? ? ? 1 ???? ??? 1 ??? ??? | OC |? CB | sin ?OCB ? | OB |? CB | sin ?OBC ,面积相等,化简得证; | | 2 2
3 .数形结合,同向或反向。 3

(Ⅲ)是否存在实数 ? ? ? 27. (Ⅰ) a1 ?

1 1 , a2 ? ; 5 3
an 2a ? 1 1 1 ? ? n ? 2? 2an ? 1 an ?1 an an

(Ⅱ)倒数法:? an ?1 ?

则数列 {

1 1 1 } 是首项为 3,公差为 2 的等差数列,则 ? 2n ? 1 , an ? an an 2n ? 1

(Ⅲ) bn ? an ? an ?1 ?

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

n (裂项求和) 6n ? 9 n n Sn 与 n (分类) n ? 3 时, S n 小于 n , ,其他情况大于。 2 ? 18 2 ? 18 Sn ?

5


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