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导数公式大全


导数的基本公式与运算法则 基本初等函数的导数公式
c ?0
'

( c为 任 意 常 数 )

(x? )? = ?x? -1 . (ax)? = ax lna .
(log
a

(ex)? = ex.
. (ln x )? ? 1 x .

/>x )? ?

1 x ln a

(sin x)? = cos x. (tan x)? = sec2x . (sec x)? = sec x tan x .

(cos x)? = - sin x. (cot x)? = - csc2x . (csc x)? = - csc x cot x .

另外还有反三角函数的导数公式:
(arcsin x ) ? ? x )? ? 1 1- x -1 1- x
2 2

,

(arccos

,

(arctan

x )? ?

1 1? x
-1 1? x
2

2

,

( arc cot x )? ?

.

导数的四则运算
定理2. 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导,
v( x) u( x ) (u( x ) ? 0)

则它们的和、差、积与商 在 x 处也可导, 且

(u(x) ? v(x))? = u?(x) ? v ?(x); (u(x)v(x))? = u(x)v?(x) + u?(x)v(x);
? v( x) ? u ( x )v ?( x ) - u ?( x )v ( x ) ? ? ? . 2 ? ? [ u ( x )] ? u( x ) ? ?

推论 1 推论 2

(cu(x))? = cu?(x) (c 为常数).
? 1 ? u ?( x ) ? ? ? - 2 . ? ? u (x) ? u( x ) ? ?

乘法法则的推广:

( uvw ) ' ? u ' vw ? uv ' w ? uvw '

补充例题: 求下列函数的导数: 例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1,求 f ?(x) 及 f ?(0). 解 根据推论 1 可得 (3x4)? = 3(x4)?, (5cos x)? = 5(cos x)?, 4)? = 4x3,(cos x)? = - sin x, 又(x (ex)? = ex, (1)? = 0, 故 f ?(x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) ? = (3x4) ? -(ex )? + (5cos x) ? - (1)?

= 12x3 - ex - 5sin x .
f ?(0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1

例2

设 y = xlnx , 求 y ?.

解 根据乘法公式,有

y? = (xlnx)? = x (lnx)? ? (x)?lnx
? x? 1 x ? 1 ? ln x

? 1 ? ln x .

例3




y ?

x -1 x ?1
2

,

求 y ?.

根据除法公式,有
( x ? 1 )( x - 1 ) ? - ( x ? 1 ) ? ( x - 1 ) ? x-1 ? y? ? ? 2 ? ? 2 2 x ?1? ( x ? 1) ?
2 2

?

?

( x ? 1 )[( x ) ? - ( 1 ) ? ] - [( x ) ? ? ( 1 ) ? ]( x - 1 )
2 2

( x ? 1)
2

2

?

( x ? 1) - 2 x ( x - 1)
2

( x ? 1)
2

2

?

2x - x ?1
2

( x ? 1)
2

2

.

教材P32 例2 求下列函数的导数: 2 x 3 (1) y ? x - co s x ( 2 ) y ? x e

(3)
解:

y ?

x 1- x
3

2

( 4 ) y ? 2 x ? 3 x sin x ? e
3
3 2

2

(1) y ' ? ( x - cos x ) ' ? ( x ) ' - (cos x ) ' ? 3 x ? sin x
(2) y ' ? ( x e ) ' ? ( x ) ' e ? x ( e ) ' ? 2 xe ? x e ? ( x ? 2) xe
2 x 2 x 2 x x 2 x x

(3) y ' ? (

x
2

?

1- x 2 1? x
2

)'?

x '(1 - x ) - x (1 - x ) '
2 2

(1 - x )
2

2

?

1 - x - x(-2 x)
2

(1 - x )
2

2

(1 - x )
3

2

(4)

y ' ? (2 x ) ' ? (3 x sin x ) ' ? ( e ) '? 2 ( x 3 )' - 3 ( x sin x )' ? 0 2 ? 6 x - 3 (sin x ? x cos x )
2

高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f ?(x) 再求导,
所得到的一个新函数, 称为函数 y = f(x) 的二阶导数, 记作 f ?(x) 或 y? 或
d y dx
2 2

.

如对二阶导数再求导,则
d y dx
3 3

称三阶导数, 记作 f ??(x) 或

.
4

四阶或四阶以上导
d y
n

数记为

y(4),y(5),·· (n) ·,y



d y

·, n , , ·· 4 dx dx

而把

f ?(x) 称为 f (x) 的一阶导数.

例3 求下列函数的二阶导数

(1) y ? x cos x
解:

(2)

y ? arctan x

(1) y ' ? cos x ? x ( - sin x ) ? cos x - x sin x
y " ? - sin x - (sin x ? x cos x ) ? - 2 sin x - x cos x

(2) y ' ?

1 1? x
2

? 2

2x (1 ? x )
2 2

y" ? -

(1 ? x )' (1 ? x )
2 2

二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算

复合函数的求导法则
定 理 2 .2 若 函 数 u ? u ( x ) 在 点 x 可 导 , 函 数 y= f ( u ) 在 点 u 处 可 导 , 则 复 合 函 数 y ? f ( u ( x )) 在 点 x可 导 , 且 或记作: dy dx dy dy du ? ? dx du dx

? f '( u ) ? u '( x )

推论

设 y = f (u) , u = ? (v), v = ? (x) 均

可导,则复合函数 y = f [? (? (x))] 也可导,
? y ?x ? y ? ? u v ? v ?x . u

以上法则说明:复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.
例 4 .求 下 列 函 数 的 导 数 : 1) y ? (3 x ? 1) ;
2 3

2 ) y ? sin ( x - 2 ); 4) y ? e
tan x

3)

y ? ln co s x ;
-x

;

5) y ? 2

解 : 函 数 可 以 分 解 为 y ? u ( x ), u ( x ) ? 3 x ? 1, (1)
3 2

y ' ? [ u ( x )] ' ? 3 u ( x ) ? u ( x ) ' ? 3(3 x ? 1) ? (3 x ? 1) '
3 2 2 2 2

? 3(3 x ? 1) ? 6 x ? 1 8 x (3 x ? 1)
2 2 2

2

( 2 )把

x - 2当 作 中 间 变 量 , x - 2) ? ( x - 2) ? 2 x - 2) x 1 x x - 2) '

y ' ? cos( ? cos( cos( 2

?

(3) 把 co s x当 作 中 间 变 量 , y'? 1 co s x ? (co s x ) ' ? sin x co s x ? - tan x

( 4 ) 把 tan x 当 作 中 间 变 量 , y ' ? (e
tan x

)'? e

tan x

? (tan x ) ' ? sec xe
2

tan x

(5) 把 - x 当 作 中 间 变 量 , y ' ? (2
-x

)'? 2

-x

ln 2 ? ( - x ) ' ? - 2

-x

ln 2

求导方法小结: 先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述复合函数的求导 法则求出. 复合函数求导的关键: 正确分解初等函数 的复合结构.

练 习 : 求 下 列 函 数 的 导 数 (课 堂 练 习 )
2 3

(1) y ? ( - 1 ? x ) ;

( 2 ) y ? co s 3 ;
x

(3) y ?

x - 3 x ? 2;
2

( 4) co s(3 ? 2 x ) lg
2

解:

(1) y ' ? 6 x ( - 1 ? x )
2

2

( 2 ) y ' ? - 3 ln 3 ? sin 3
x

x

(3) y ' ? 2

2x - 3 x - 3x ? 2
2

(4) y ' ?

[co s(3 ? 2 x )] '
2

co s(3 ? 2 x )
2

?

- sin (3 ? 2 x )
2

co s(3 ? 2 x )
2

? (3 ? 2 x ) ' ? - 4 x tan (3 ? 2 x )
2 2

例5:求下列函数的导数
y (1) ? cos x
2

(2)y ? e

x -3 x-2

2

(3)y ? ln ln ln x

(4)y ? ln( x ?

x ? 1)
2

隐函数的导数
y 与 x的 关 系 由 方 程 F x, y) = 0 确 定 , 未 解 出 因 变 量 的 ( 方 程 F x, y) = 0 所 确 定 的 函 数 y ? y ( x ) 称 为 隐 函 数 (

例 6 设 函 数 y ? y ( x )由 方 程 y ? 1 ? xe 所 确 定 , 求
y

dy dx

.

解 : 上 式 两 边 对 x 求 导 , 则 有 y '= (1) ' ? ( xe ) ', 即
y

y ' ? e ? x ? (e ) ? e ? x ? e ? y '
y y y y

? (1 - xe ) y ' ? e
y

y

? y'?

e

y y

1 - xe

隐函数的求导步骤:

(1) 方 程 两 边 对 x 求 导 , 求 导 过 程 中 把 y 视 为 中 间 变 量 , 得 到 一 个 含 有 y '的 等 式 ;

( 2) 从 所 得 等 式 中 解 出 y '.

例 7 设 函 数 y ? y ( x )由 方 程 y - co s( x ? y ) ? x 所 确 定 , 求
2 2

dy dx

.

解 : 方 程 两 边 分 别 对 x求 导 , 得 x ' ? y ' ? sin ( x ? y ) ? ( x ? y ) '
2 2 2 2

? 1 ? y '? sin ( x ? y ) ? ( 2 x ? 2 yy ')
2 2

? 1 ? y '? 2 x sin ( x ? y ) ? 2 y sin ( x ? y ) ? y '
2 2 2 2

? [1 ? 2 y sin ( x ? y )] y ' ? 1 - 2 x sin ( x ? y )
2 2 2 2

? y'?

1 - 2 x sin ( x ? y )
2 2

1 ? 2 y sin ( x ? y )
2 2

练 习 : 设 函 数 y ? y ( x )由 方 程 xy ? y ? 2 x 所 确 定 , 求
2

dy dx

.

解 : 两 边 分 别 对 x求 导 , 得 ( xy ) ' ? ( y ) ' ? 2
2

? y ? x ? y '? 2 y ? y ' ? 2 ? (x ? 2 y) ? y ' ? 2 - y ? y'? 2- y x? 2y

二元函数的偏导数的求法
求 z ? f ( x , y ) 对自变量 x (或 y )的偏导数时,只须将另一 自变量 y (或 x )看作常数,直接利用一元函数求导公式和 四则运算法则进行计算. 例1 设函数
f ( x, y ) ? x - 2 x y ? 3 y , ? ? ? ? f x ( x , y ), f y ( x , y ), f x (1,1), f y (1, - 1), 求
3 2 4

解: f x? ( x , y ) ? ( x - 2 x y ? 3 y ) ?x ? 3 x - 4 xy
3 2 4 2

3 2 4 2 3 f y? ( x , y ) ? ( x - 2 x y ? 3 y ) ?y ? - 2 x ? 12 y

f x? (1,1) ? 3 ? 1 - 4 ? 1 ? 1 ? - 1
2

? (1, - 1) ? - 2 ? 1 2 ? 12 ? ( - 1) 3 ? - 14 fy

例2 设函数

z ? ( x ? y ) ln( x ? y ), 求
2 2 2 2

?z ?x

?z ?y

解:? z ? ( x 2 ? y 2 ) ? ln( x 2 ? y 2 ) ? ( x 2 ? y 2 )[ln( x 2 ? y 2 ) ] ? x x
?x
? 2 x ln ( x ? y ) ? ( x ? y )
2 2 2 2

1 x ? y
2 2

( x ? y ) ?x
2 2

? 2 x ln ( x ? y ) ? 2 x
2 2

? 2 x [ln ( x ? y ) ? 1]
2 2

类似可得 ? z ? 2 y ln( x 2 ? y 2 ) ? ( x 2 ? y 2 )
?y x
? 2 y [ln ( x ? y ) ? 1]
2 2

2y
2

? y

2

二元函数的二阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数
?z ?x ? ? f x ( x , y ),

?z ?y

? f y? ( x , y ),

如果这两个函数关于 一般说来仍然是 x , y 的函数, x , y 的偏导数也存在,则称它们的偏导数是 f (x , y)
的二阶偏导数.

依照对变量的不同求导次序, 二阶偏导数有四 个:(用符号表示如下)

? ?z ? ? ? ? ? ??x? ? ?x ? ?x
? ?z ? ? ? ? ? ??x? ? ? y ? ?y
? ?z ? ? ? ? ? ? ?? y? ?x ? ?x

? ?z ? ? ? ??x? ? ?
? ?z ? ? ? ??x? ? ?
? ?z ? ? ? ?? y? ? ?

?

? z
2

?x
2

2

?? ? f xx ( x , y ) ? z ?x?x ;

?

? z ? x? y

? ?? ? f xy ( x , y ) ? z ?x y ;

?

? z
2

? y? x
? z
2

? ?? ? f yx ( x , y ) ? z ?yx ;

? ?z ? ? ? ? ? ?? y? ? ? y ? ?y

? ?z ? ? ? ?? y? ? ?

?

? y

2

? ?? ? f yy ( x , y ) ? z ?yy .

?? 其中 f x??y ( x , y ) 及 f yx ( x , y ) 称为二阶混合偏导数.

类似的,可以定义三阶、四阶、… 、n 阶偏导数,
而 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数, f x? ( x , y ) ,

f y? ( x , y ) 称为函数

f ( x , y ) 的一阶偏导数.

注:当两个二阶导数连续时,它们是相等的 即 f ?? ( x , y ) ? f ?? ( x , y ) xy yx

例 3 设 z ? arctan xy , 试求函数的四个二阶偏导函数

? z
2

? z
2

? z
2

? z
2

?x

2

?y

2

? x? y

? y? x

思考题一
求曲线 y ? 2 x - x 上与 x 轴平行
3

的切线方程.

思考题一解答
y? ? 2 - 3 x
2

令 y? ? 0
2 3
4 6? , ? 3 9 ? 2

?

2 - 3x ? 0
2

x1 ?
? 切点为 ? ?

x2 ? ? ??

2 3
4 6? , ? 3 9 ? 2

所求切线方程为

y ?

4 6 9

和 y?-

4 6 9


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