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2013-2014学年下期高一第二次月考


2013-2014 学年下期高一第二次月考(数学)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 1.在等差数列{an}中,若 a3 ? 2, a5 ? 8, ,则 a9 等于 A.16 2. 不等式 A. ? ? B.18 C.20 D.22 ( C. ? ? ?. ? ) ( )

x ?1 ? 0 的解集为 2x ?1


B. ??

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

? ?

1? ? ? ?1,??? 2?

D. ? ? ?,? ? ? ?1,??? 2

? ?

1? ?

3. 若|a|=2sin 15° ,|b|=4cos 15° ,a 与 b 的夹角为 30° ,则 a· b 的值是 3 1 A. B. 3 C.2 3 D. 2 2

(

)

4. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,若 a1=1,则 S4 等于 ( A.7 B.8 C.15 D.16

)

5. 设 x, y ? R,向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2, ?4) 且 a ? c, b // c ,则 a ? b 的值是( A. 5 B.



10

C. 2 5

D.10

6.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a 2 ? b 2 ? 则 A= ( ) B. 120 C. 60

3bc,sin C ? 2 3 sin B ,
D. 30

A. 150 7. 有下列四种变换方式: ①向左平移

1 1 ? ; ②横坐标变为原来的 ,再向左平移 ;③横坐 2 2 4 8 1 ? ? 1 标变为原来的 ,再向左平移 ; ④向左平移 ,再将横坐标变为原来的 . 2 2 4 8
,再将横坐标变为原来的 其中能将正弦曲线 y ? sin x 的图象变为 y ? sin( 2 x ? A.①和② B.①和③

?

?

4

) 的图象的是
D.②和④





C.②和③

8. ?ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若 CB ? a, CA ? b, a ? b ? 0,| a |? 1,| b |? 2 ,则 AD ? A. a ? b

1 3

1 3

B.

4 4 a? b 5 5

C.

3 3 a? b 5 5

D.

2 2 a? b 3 3

π 9. 若函数 y=Asin(ω x+φ )+m(A>0,ω >0)的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 , 2 π 直线 x= 是其图象的一条对称轴,则它的解析式是 ( ) 3 高一数学试卷 第 1 页 共 6 页

π? ? A.y=4sin?4x+ ? 6? ? π? ? C.y=2sin?4x+ ?+2 3? ?

π? ? B.y=2sin?2x+ ?+2 3? ? π? ? D.y=2sin?4x+ ?+2 6? ?

10.已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-1或x > A. ?x |x<-1或x>lg2

1 2

? ,则 f (10x )>0 的解集为(



?

B. ?x |-1<x<lg2

?

C. ?x |x<-lg2

?

D.

?x |x>-lg2 ?

11. 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产每 吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 1 万元,每吨乙产品可获 得利润 3 万元,该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产 1 吨,乙产品至少要生产 2 吨,消 耗 A 原料不超过 13 吨,消耗 B 原料不超过 18 吨,那么该企业在这个生产周期内获得最大利 润时甲产品的产量应是( A.1 吨 B.2 吨 ) C.3 吨 11 D. 吨 3

12.数列 {an } 的通项公式 a n ? n cos

n? ,其前 n 项和为 Sn ,则 S 2012 等于 2
D. 1006





A.0 B.503 C. 2012 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13. 已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , Sn 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列,则

S8 ? _____ 64
14. 若 ? ? ? , ? , sin 2? = 8 ?4 2?

?? ? ?

3 7

,则 sin ? ? _________ .

3 4

? x, y ? 0 ? 15. 设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?

[?3,3]

16. 已知函数 f(x)=-x2+2x+b2-b-3(b∈R),若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取 值范围是________.(-∞,-2)∪(3,+∞) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。 17. (本小题满分 10 分) 高一数学试卷 第 2 页 共 6 页

已知不等式 x ? x ? m ? 1 ? 0 .
2

(1)当 m ? 3 时解此不等式; (2)若对于任意的实数 x ,此不等式恒成立,求实数 m 的取值范围.
2 解:(1) m ? 3 时,原不等式即 x ? x ? 2 ? 0

? ( x ? 1)(x ? 2) ? 0

解得x ? ?1, 或x ? 2

? 不等式的解集为: (??, ?1) (2, ??) .——————————5 分
(2)由题,对于任意的实数 x ,不等式 x ? x ? m ? 1 ? 0 恒成立,
2

? ? ? 1 ? 4(1 ? m) ? 0

解得 m ?

3 , 4

3 ? 实数 m 的取值范围为: (??, ) .——————————10 分 4
18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
6

) ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 sin x cos x

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 在区间 [ ? 解:(1) f ? x ? ? cos ? 2 x ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值,并求此时 x 的值. 3 3

? ?

??

?? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 2sin x cos x 6? 6? ?
?
6

? cos 2 x cos

?
6

? sin 2 x sin

? cos 2 x cos

?
6

? sin 2 x sin

?
6

? 2 sin x cos x

? 2?

3 cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? sin 2 x 2

? 3 ? 1 ? ? 2? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 ? ?
? f ? x ? 的最小正周期为 T ?

? ?? ? ? ? ? ? 2? sin cos 2 x ? cos sin 2 x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 3 3 3? ? ? ?
2? ?? 2

(2)由(1)知 f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??

?, 3?
第 3 页 共 6 页

高一数学试卷

由?

?
3

?x?

?
3 ?

,得 ?

?
3

? 2x ?

?
3

?? ,

?当 2x ?
当 2x ?

?
3

?
2

,即 x ?

?
12

时, f ? x ? 取得最大值 2 ; 时, f ? x ? 取得最小值 ? 3

?
3

??

?

3

,即 x ? ?

?
3

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=35,a5 和 a7 的等差中项为 13. (1)求 an 及 Sn; 4 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,

因为 S5=5a3=35,a5+a7=26,
?a1+2d=7, ? 所以? 解得 a1=3,d=2, ?2a1+10d=26, ?

所以 an=3+2(n-1)=2n+1, (2)由(1)知 an=2n+1,

n?n-1? Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2

4 1 1 1 所以 bn= 2 = = - , an-1 n?n+1? n n+1 1? ?1 1? 1 n ?1- 1 ? 所以 Tn=? ?1-2?+?2-3?+…+?n n+1?=1-n+1=n+1.

20. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 . (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 解:(I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?
高一数学试卷

1 ,角 A ? 60? 2

第 4 页 共 6 页

(II) S ?

a2 1 2 ? 28 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ? 2 sin 2 A
bc 5 ? 2 4R 7

? sin B sin C ?

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?前 n 项和 S n = n ? 4n( n ? N ), 数列 ?bn ?为等比数列,首项 b1 =2,公比
2 ?

为 q (q>0) 且满足 b2 , b3 ? 4q , b4 为等差数列。 (I)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

3 ? an ? 3? bn ? 记数列 n ? 3n ?cn ? 的前 n 项和为 Tn,,求 Tn。 4 ,

22. (本小题满分 12 分) 某软件公司新开发一款学习软件,该软件把学科知识设计为由易到难共 12 关的闯关游 戏.为了激发闯关热情,每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币).该软件提供了三种奖 高一数学试卷 第 5 页 共 6 页

励方案:第一种,每闯过一关奖励 40 慧币;第二种,闯过第一关奖励 4 慧币,以后每一关比 前一关多奖励 4 慧币;第三种, 闯过第一关奖励 0.5 慧币, 以后每一关比前一关奖励翻一番(即 增加 1 倍),游戏规定:闯关者须于闯关前任选一种奖励方案. (1)设闯过 n(n∈N*,且 n≤12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为 An,Bn,Cn,试求出 An,Bn,Cn 的表达式; (2)如果你是一名闯关者,为了得到更多的慧币,你应如何选择奖励方案? 解:(1)第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列,∴An=40n, 第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是 4,公差为 4 的等差数列, n(n-1) ∴Bn=4n+ ×4=2n2+2n, 2 第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是 0.5,公比为 2 的等比数列, 1 (1-2n) 2 1 ∴Cn= = (2n-1). 2 1-2 (2)令 An>Bn,即 40n>2n2+2n,解得 n<19, ∵n∈N*,且 n≤12,∴An>Bn 恒成立. 1 令 An>Cn,即 40n> (2n-1),可得 n<10, 2 ∴当 n<10 时,An 最大;当 10≤n≤12 时, Cn>An. 综上,若我是一名闯关者,当能冲过的关数小于 10 时,应选用第一种奖励方案;当能冲 过的关数大于等于 10 时,应选用第三种奖励方案.

高一数学试卷

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