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生活中的优化问题1


复习:

(1)利用二次函数的性质

(2)函数的单调性 (3)基本不等式 a+b ? 2 ab
1 a?b 2 a+ ? 2 变形公式ab ? ( ) a 2 (a ? 0, b ? 0)当且仅当a ? b等号成立

一正二定三相等
(4)导数法

引入
将一段长为

12cm的铁丝围成一个矩形,则 这个矩形面积的最大值为多少?

解:设矩形的一边长为xcm另一边长为(6-x)cm面积为s
s=x(6-x)=-x2 ? 6 x (0 ? x ? 6)
开口向下对称轴x ? 3 ? (0,6)

所以当x=3时s有最大值9
x ? (6 ? x) 2 【 】?9 (2) 因为x+(6-x)=6 所以s ? 2
当且仅当x ? 6 ? x即x ? 3时等号成立

所以当x=3时s有最大值9

引入
将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形,则 这个矩形面积的最大值为多少?
解:设矩形的一边为xcm,则另一边为(6 ? x)cm,面积为S
S(x) ? x( ? 6 ? x) ? 6x ? x (0 ? x ? 6) ? S ?( x) ? 6 ? 2 x(0 ? x ? 6)
2

令S ?( x) ? 0,解得x ? 3 当S ?( x) ? 0时, 得0 ? x ? 3 ? S ( x)在(0,3)上是单调递增的, S ( x)在(3,6)是单调递减的 ? S ( x)在x ? 3cm处取到最大值S (3) ? 9cm
2

答 : 当矩形是正方形时, 它的面积最大为9cm

2

结论:周长为定值的矩形中,正方形的面积最 大。

解决优化问题的一般步骤:
(1)审题

(2)建模
(3)解模 (4)回归

温馨提示:用导数解决实际问题,要特别
注意在实际问题中变量的取值范围

利用导数解决优化问题的基本思路:

优化问题

用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

例1学校或班级举行活动,通常需要张贴
海报进行宣传.现让你设计一张如图所示 的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2 上、下两边各空2dm.左、右两边各空 1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周 空白的面积最小?

解 ;设版心的高为ydm,宽为 xdm.如图所示 则有 xy=128,(1) 另设四周空白面积为S, 则 S=(x+2)(y+4)-xy (2) ? 4x ? 2 y ? 8
由(1)式得:

1 2

y

y?

128 x

代入(2)式中得: S ( x) ? 4 x ?

令S'(x)=0,即4-

当x ? (0,8)时,s ( x) ? 0: 当x ? (8,16)时,s' ( x) ? 0
256 ? x ? 8,? 最小面积S ? 4 ? 8 ? ? 8 ? 72 (dm 2 ) 8 128 此时y ? ? 16(dm)
因此,x=8是函数的极小值点,也是最小值点

256 ?0 2 x '

256 ? 8( x ? 0). x

x

解得:x=8或x=-8(舍去)

解法二:由解法(一)得
256 256 S ( x) ? 4 x ? ? 8 ? 2 4x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72

256 当且仅当4 x ? ,即x ? 8( x ? 0)时S 取最小值 x
128 此时y= ? 16 8

答:应使用版心宽为8dm,长为 16dm,四周空白面积最小

例2: 从长8cm,宽5cm的矩形薄铁板的四 角剪去相等的正方形,做一个无盖的箱子, 问剪去的正方形边长为多少时,箱子容积 最大?最大容积是多少?

8cm 5cm
x x

 解: 设剪去的正方形的边长为x cm, 则箱子容积为:    V = x( 8-2x)( 5 - 2x) ? 4x - 26x ? 40x( 0 < x < 2.5),    V′ = 12x - 52x + 40.
3 2 2

  令 V′ ? 0 : 即12x - 52x + 40=0.  4(x - 1)(3x - 10) = 0. 10 解得 x = 1, x = (舍去) . 3   当 0 < x < 1时,V′ > 0;当 1 < x < 2.5时,V′ < 0,
2 1 2

  所以当 x=1时,V最大值 ? 18(cm ).
3

即剪去的正方形边剪去1cm时,箱子的容积最大,其最大值是18cm .
3

例 2:
饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
背景知识:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 2 0.8 ? r 瓶子的制造成本是 分,其中 r 是瓶 子的半径,单位是厘米。已知每出售1 ml 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm

问题(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?

解:由于瓶子的半径为R,所以每瓶饮料的利润是



4 3 2 y ? f ( x) ? 0.2 ? ? r ? 0.8? r 3 3 r ? 0.8? ( ? r 2 ), 0 ? r ? 6 3 2

f '( x) ? 0.8? (r ? 2r ) ? 0 当 r ? 2时, f '(r ) ? 0 当r ? (0,2)时, f ' ( x) ? 0 当r ? (2,6)时, f ' ( x) ? 0

当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 即半径越大,利润越高; 当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低.

1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f (2) ? 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大

未命名.gsp


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