当前位置:首页 >> 数学 >>

生活中的优化问题1


复习:

(1)利用二次函数的性质

(2)函数的单调性 (3)基本不等式 a+b ? 2 ab
1 a?b 2 a+ ? 2 变形公式ab ? ( ) a 2 (a ? 0, b ? 0)当且仅当a ? b等号成立

一正二定三相等
(4)导数法

引入
将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形,则 这个矩形面积的最大值为多少?

解:设矩形的一边长为xcm另一边长为(6-x)cm面积为s
s=x(6-x)=-x2 ? 6 x (0 ? x ? 6)
开口向下对称轴x ? 3 ? (0,6)

所以当x=3时s有最大值9
x ? (6 ? x) 2 【 】?9 (2) 因为x+(6-x)=6 所以s ? 2
当且仅当x ? 6 ? x即x ? 3时等号成立

所以当x=3时s有最大值9

引入
将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形,则 这个矩形面积的最大值为多少?
解:设矩形的一边为xcm,则另一边为(6 ? x)cm,面积为S
S(x) ? x( ? 6 ? x) ? 6x ? x (0 ? x ? 6) ? S ?( x) ? 6 ? 2 x(0 ? x ? 6)
2

令S ?( x) ? 0,解得x ? 3 当S ?( x) ? 0时, 得0 ? x ? 3 ? S ( x)在(0,3)上是单调递增的, S ( x)在(3,6)是单调递减的 ? S ( x)在x ? 3cm处取到最大值S (3) ? 9cm
2

答 : 当矩形是正方形时, 它的面积最大为9cm

2

结论:周长为定值的矩形中,正方形的面积最 大。

解决优化问题的一般步骤:
(1)审题

(2)建模
(3)解模 (4)回归

温馨提示:用导数解决实际问题,要特别
注意在实际问题中变量的取值范围

利用导数解决优化问题的基本思路:

优化问题

用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

例1学校或班级举行活动,通常需要张贴
海报进行宣传.现让你设计一张如图所示 的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2 上、下两边各空2dm.左、右两边各空 1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周 空白的面积最小?

解 ;设版心的高为ydm,宽为 xdm.如图所示 则有 xy=128,(1) 另设四周空白面积为S, 则 S=(x+2)(y+4)-xy (2) ? 4x ? 2 y ? 8
由(1)式得:

1 2

y

y?

128 x

代入(2)式中得: S ( x) ? 4 x ?

令S'(x)=0,即4-

当x ? (0,8)时,s ( x) ? 0: 当x ? (8,16)时,s' ( x) ? 0
256 ? x ? 8,? 最小面积S ? 4 ? 8 ? ? 8 ? 72 (dm 2 ) 8 128 此时y ? ? 16(dm)
因此,x=8是函数的极小值点,也是最小值点

256 ?0 2 x '

256 ? 8( x ? 0). x

x

解得:x=8或x=-8(舍去)

解法二:由解法(一)得
256 256 S ( x) ? 4 x ? ? 8 ? 2 4x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72

256 当且仅当4 x ? ,即x ? 8( x ? 0)时S 取最小值 x
128 此时y= ? 16 8

答:应使用版心宽为8dm,长为 16dm,四周空白面积最小

例2: 从长8cm,宽5cm的矩形薄铁板的四 角剪去相等的正方形,做一个无盖的箱子, 问剪去的正方形边长为多少时,箱子容积 最大?最大容积是多少?

8cm 5cm
x x

 解: 设剪去的正方形的边长为x cm, 则箱子容积为:    V = x( 8-2x)( 5 - 2x) ? 4x - 26x ? 40x( 0 < x < 2.5),    V′ = 12x - 52x + 40.
3 2 2

  令 V′ ? 0 : 即12x - 52x + 40=0.  4(x - 1)(3x - 10) = 0. 10 解得 x = 1, x = (舍去) . 3   当 0 < x < 1时,V′ > 0;当 1 < x < 2.5时,V′ < 0,
2 1 2

  所以当 x=1时,V最大值 ? 18(cm ).
3

即剪去的正方形边剪去1cm时,箱子的容积最大,其最大值是18cm .
3

例 2:
饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
背景知识:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 2 0.8 ? r 瓶子的制造成本是 分,其中 r 是瓶 子的半径,单位是厘米。已知每出售1 ml 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm

问题(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?

解:由于瓶子的半径为R,所以每瓶饮料的利润是



4 3 2 y ? f ( x) ? 0.2 ? ? r ? 0.8? r 3 3 r ? 0.8? ( ? r 2 ), 0 ? r ? 6 3 2

f '( x) ? 0.8? (r ? 2r ) ? 0 当 r ? 2时, f '(r ) ? 0 当r ? (0,2)时, f ' ( x) ? 0 当r ? (2,6)时, f ' ( x) ? 0

当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 即半径越大,利润越高; 当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越大,利润越低.

1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f (2) ? 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大

未命名.gsp


相关文章:
1.4生活中的优化问题 导学案1
8 [课堂小结]思考:1.解决生活中的优化问题的基本步骤。 2.在解决生活问题的过程中需要注意什么? [课堂演练] 1.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V,那么...
生活中的优化问题
生活中的优化问题_数学_高中教育_教育专区。高二数学《选修 1-1 第三章》导学案 编制人: 审核人: 班级: 小组: 姓名: 等级: §3.3.4 第三章第 4 节 ...
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例_数学_高中教育_教育专区。§1.4 生活中的优化问题举例 【学习目标】 1. 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际...
1.4生活中的优化问题(带答案)
1.4生活中的优化问题(带答案)_数学_高中教育_教育专区。1.4 生活中的优化问题举例 1. 要制做一个圆锥形的漏斗, 其母线长为 20cm, 要使其体积最大, 则高为(...
6、生活中的优化问题
一对一个性化辅导教案 老师 姓名 学科 名称 课题 名称 教学 目标 及重 难点 廖述美 数学 学生姓名 年级 高二 教材版本 上课时间 人教版 生活中的优化问题举例 ...
生活中的优化问题举例教学设计
成都七中万达学校 2016 年青年教师赛课教学设计 课题:生活中的优化问题举例 课型:新课(第一课时) 授课人:曾威(高二数学组) 授课班级:高 2014 级 12 班 授课...
1.4.1生活中的优化问题举例
高中数学选修 2-2 第一章 姓名 班级 1.4.1 生活中的优化问题举例编写:孙又国 魏博 四、自主测评 1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润 (单位:万元)...
1.4 生活中的优化问题举例 教学设计 教案
1.4 生活中的优化问题举例 教学设计 教案。教学准备 1. 教学目标一、知识与技能目标 1、体会导数在解决实际问题中的作用,能解决利润最大、用料最省、效率最高等...
1.4生活中的优化问题 导学案1
1.4生活中的优化问题 导学案1_语文_初中教育_教育专区。1.4 生活中的优化问题举例 [学习目标] 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际...
1.4.1生活中的优化问题举例(学、教案)
1.4.1生活中的优化问题举例(学、教案)_数学_高中教育_教育专区。§1.4.1 生活中的优化问题举例 课前预习学案【预习目标】 预习优化问题,初步体会导数在解决实际...
更多相关标签: