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等差数列的通项与求和


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等差数列的通项与求和

教学 目标 教学重 点、 难点

一、知识导学

教 学 过 程

1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的

每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项),第 2 项,?,第 n 项,?. 3.通项公式:一般地,如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么 这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一 个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健 是先求出 a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.

8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A= 和b的等差中项. 二、疑难知识导析

.我们把A=

叫做a

1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次 序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为 正整数集或其有限子集({1,2,3,?,n})的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

3.数列 {an} 的前 n 项的和 Sn 与 an 之间的关系:

若 a1 适合 an(n>2),则

不用分段形式表示,切不可不求 a1 而直接求 an. 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于 n 的一次式;从 图像上看,表示等差数列的各点(n, )均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难
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得出,任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前 n 项之和公式的理解:等差数列的前 n 项之和公式可变形为

,若令 A=

,B=a1-

,则

=An +Bn. ,n 中任意三个,可求其余两个。

2

6、在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d, 三、经典例题导讲

[例 1]已知数列 1,4,7,10,?,3n+7,其中后一项比前一项大 3.(1)指出这个数列的 通项公式;(2)指出 1+4+?+(3n-5)是该数列的前几项之和. 错解:(1)an=3n+7; (2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前 n 项之和. 错因:误把最后一项(含 n 的代数式)看成了数列的通项.(1)若令 n=1,a1=10 1,显然 3n+7 不是它的通项. 正解:(1)an=3n-2; (2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前 n-1 项的和.

[例 2] 已知数列

的前 n 项之和为①



求数列

的通项公式。

错解: ①

② 错因:在对数列概念的理解上,仅注意了 an=Sn-Sn-1 与的关系,没注意 a1=S1. 正解: ①当 时,

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时,

经检验



也适合,

②当

时,



时,



[例 3] 已知等差数列 于 错解:S30= S10·2d.

的前 n 项之和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等 。 d=30, S40= S30+d =100.

错因:将等差数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等差数列.

正解:由题意:



代入得 S40 =



[例 4]等差数列



的前 n 项和为 Sn、Tn.若





错解:因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27.

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错因:误认为

正解:

[例 5]已知一个等差数列 错解:由 an 0 得 n 5

的通项公式 an=25-5n,求数列

的前 n 项和;

前 5 项为非负,从第 6 项起为负, Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n 5)

当 n 6 时,Sn=|a6|+|a7|+|a8|+?+|an|=

Sn= 错因:一、把 n 5 理解为 n=5,二、把“前 n 项和”误认为“从 n 6 起”的和.

正解: [例 6]已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220, 由此可以确定求其前 项和的公式吗?

解:理由如下:由题设:

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得:



[例 7]已知: 最





(1) 问前多少项之和为

大?(2)前多少项之和的绝对值最小?

解:(1)



(2)



近于 0 时其和绝对值最小

令:

即 1024+

得:





[例 8]项数是 列的和

的等差数列, 中间两项为

是方程 的根。(

的两根, 求证此数 )

是方程

证明:依题意

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(获证)。

四、典型习题导练

1.已知

,求





2.设

,求证:



3.求和:

4.求和:

5.已知

依次成等差数列,求证:

依次成等差数列.

6.在等差数列 A.72

中, B.60 C.48

,则 D.36



)。

7. 已知

是等差数列,且满足

,则

等于________。

8.已知数列

成等差数列,且

,求

的值。

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§4.2 等比数列的通项与求和

一、知识导学 1. 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 同 一个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示. 2. 等比中项:若a,G,b成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.

3.等比数列的前 n 项和公式: 二、疑难知识导析 1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 也不为 0. 2.对于公比 q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第 2 项起,而是 从第 3 项或第 4 项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以说此数 列从. 第 2 项或第 3 项起是一个等比数列. n-1 4.在已知等比数列的 a1 和 q 的前提下,利用通项公式 an=a1q ,可求出等比数列中的任一项. n-m 5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用 an=amq 可求等比数列中任意一项.

6.等比数列{an}的通项公式 an=a1q 可改写为

n-1

.当 q>0,且 q

1 时,y=q 是一个指数

x

函数,而

是一个不为 0 的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点. 7.在解决等比数列问题时,如已知,a1,an,d, 三、经典例题导讲 ,n 中任意三个,可求其余两个。

[例 1] 已知数列

的前 n 项之和 Sn=aqn(

为非零常数),则

为(

)。

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A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列,也不是等比数列 D.既是等差数列,又是等比数列

错解:

(常数)

为等比数列,即 B。

错因:忽略了

中隐含条件 n>1.

正解:当 n=1 时,a1=S1=aq;

当 n>1 时,

(常数)



既不是等差数列,也不是等比数列,选 C。

[例 2] 已知等比数列

的前 n 项和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于.

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错解:S30= S10·q 2.

q 2=7,q=



S40= S30·q =

.

错因:是将等比数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等比数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等比数列.

正解:由题意:





S40=

.

[例 3] 求和:a+a2+a3+?+an.

错解:

a+a2+a3+?+an=

.

错因:是(1)数列{an}不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前 n 项和公式(2) 用等比数列前 n 项和公式应讨论 q 是否等于 1. 正解:当 a=0 时,a+a2+a3+?+an=0; 当 a=1 时,a+a2+a3+?+an=n;

当 a 1 时,

a+a2+a3+?+an=

.

[例 4]设

均为非零实数,



求证: 证明:

成等比数列且公比为 。

证法一:关于 的二次方程

有实根,

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,∴

则必有:

,即

,∴非零实数

成等比数列

设公比为 ,则



代入



,即

,即



证法二:∵





,∴

,且



非零,∴



[例 5]在等比数列

中,

,求该数列前 7 项之积。

解:



,∴前七项之积

[例 6]求数列 解:

前 n 项和



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两式相减:

[例 7]从盛有质量分数为 20%的盐水 2kg 的容器中倒出 1kg 盐水,然后加入 1kg 水,以后 每次都倒出 1kg 盐水,然后再加入 1kg 水, 问:(1)第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多 kg? (2)经 6 次倒出后, 一共倒出多少 kg 盐?此时加 1kg 水后容器内盐水的盐 的质量分数为多少? 解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:

a1= 0.2 (kg),

a2= ×0.2(kg),

a3= ( )2×0.2(kg)

由此可见:an= (

)n?1×0.2(kg),

a5= ( )5?1×0.2= ( )4×0.2=0.0125(kg)。

(2)由(1)得{an}是等比数列

a1=0.2 ,

q=

答: 第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐 0.0125kg; 6 次倒出后, 一共倒出 0.39375kg
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盐,此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为 0.003125。

四、典型习题导练

1.求下列各等比数列的通项公式: 1) 2)

a1=?2,

a3=?8

a1=5, 且 2an+1=?3an

3)

a1=5, 且

2.在等比数列

,已知



,求

.

3.已知无穷数列



求证:(1)这个数列成等比数列

(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的



(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列 为 求此数列前 项的和。

5.已知数列{an}中,a1=?2 且 an+1=Sn,求 an ,Sn 6.是否存在数列{an},其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同? 7.在等比数列 中, ,求 的范围。

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课 堂 练 习

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课 后 作 业

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