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2015年高一数学精品优秀教案:1.3.1《单调性与最大(小)值》(1)(新人教A版必修一)


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1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 三维目标定向 〖知识与技能〗 (1)结合具体函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)能利用函数图象理解和研究函数的单调性; (3)能利用定义判定一些简单函数的单调性。 〖过程与方法〗 借助二次函数体验单调性概念的形成过程, 领会数形结合的数学思想, 学

会运用概念进 行判断推理,养成细心观察,严谨论证的良好思维习惯。 〖情感、态度与价值观〗 渗透由具体到抽象的认识,通过合作交流,培养学生反思学习、善于思考的习惯。 教学重难点 〖重点〗函数单调性的概念。 〖难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。 教学过程设计 一、问题情境设疑 引例:画出一次函数 f ( x) ? x 和二次函数 f ( x) ? x 的图象。 (几何画板)
2

问题:以上两个图象有什么特征?——“上升” 、 “下降” 上升:随着 x 的增大,相应的 f (x)也增大;下降:随着 x 的增大,相应的 f (x)减小。 二、核心内容整合 1、函数的单调性的概念:

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问题:如何用数学语言描述“随着 x 的增大,相应的 f (x)也增大”?——学生探究。 增函数:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2,当 x1 < x2 时,都有 f (x1) < f (x2),那么就说函数 f (x)在区间 D 上是增函数。 学生类比得出 减函数:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2,当 x1 < x2 时,都有 f (x1) > f (x2),那么就说函数 f (x)在区间 D 上是减函数。 〖知识提炼〗同增异减

注意: ( 1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; (2)必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1 ? x2 时,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,分别是增函数和减函数。 2、函数的单调性的定义 如果函数 y ? f ( x) 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y ? f ( x) 在这一 区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y ? f ( x) 的单调区间。 3、基本初等函数的单调性 (1)一次函数 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) : 当 a > 0 时,在 (??, ??) 上是增函数; 当 a < 0 时,在 (??, ??) 上是减函数。 o
y

y

y

x

o y

x

k (2)反比例函数 f ( x) ? (k ? 0) : x
当 k > 0 时,在 (??, 0) 和 (0, ??) 上是减函数; 当 k < 0 时,在 (??, 0) 和 (0, ??) 上是增函数。 (3)二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) :
2

o

x

o

x

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b b , ??) 上是增函数,在 (??, ? ] 上是减函数; 2a 2a b b 当 a < 0 时,在 [? , ??) 上是减函数,在 (??,y? ] 上是增函数; y 2a 2a
当 a > 0 时,在 [?

o 三、例题分析示例

x

o

x

例 1、如图是定义在区间 [– 5,5]上的函数 y ? f ( x) ,根据图象说出函数的单调区 间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

例 2、物理学中的玻意耳定律 p ?

k (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当 V

其体积 V 减小时,压强 p 将增大。试用函数的单调性证明之。 〖知识提炼〗用定义证明函数的单调性的一般步骤: (1)取值:设 x1 , x2 是给定区间上任意的两个值,且 x1 < x2; (2)作差变形:f (x1) – f (x2); (变形手段:通分、因式分解、配方、有理化等。 ) (3)定号:确定 f (x1) – f (x2)的符号; (4)判断:当 f (x1) < f (x2)时, f ( x) 是增函数;当 f (x1) > f (x2)时, f ( x) 是 减函数。 〖探究〗画出反比例函数 y ?

1 的图象。 x

(1)这个函数的定义域 I 是什么? (2)它在定义域 I 上的单调性是怎样的?证明你的结论。 四、学习水平反馈:P32 练习,1,2,3,4。 五、三维体系构建 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分四步: 取值——作差——定号——判断
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六、课后作业:P39,习题 1.3,A 组 1,2,3。

教学反思

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