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2013东北三省三市四模数学文科答案(word)哈师大附中四模数学理答案


2013 年哈师大附中第四次模拟考试文科数学答案
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.A 3.A 4.C 7.B 8.C 9.D 10.B 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.44 14.2 15. 5.D 11.A 6.B 12.A

1 4

16.1

三.解答题 17.

(本小题满分 12 分)

C ? sin( A ? B) ? 0 2 C C C C ?? cos ? sin C ? 0,?? cos ? 2sin cos ? 0 , 2 2 2 2 C ? 且 0 ? C ? ? ?0 ? ? 2 2 C C 1 C ? ? ? cos ? 0 ? sin ? ,? ? ? C ? 2 2 2 2 6 3 ??? ??? ? ? 1 3 CB ? ab cos C ? ab ? ? ab ? 3 ,又? a ? b ? 4 (Ⅱ)? CA? 2 2 n (Ⅰ)? m ? n,? m? ? 0,?? cos

??

?

?? ?

……2 分 ……4 分

……6 分 ……9 分

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 2ab ? ab ? 16 ? 9 ? 7 ? c ? 7 . ……12 分
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)第一组、第二组的频数分别为 100 ? 0.5 ? 0.1 ? 5,100 ?1.1? 0.1 ? 11

? 第三组的频数为 100 ? 5 ? 11 ? 62 ? 22 , 22 ? 0.22 . ?a? 100
(Ⅱ)第四组的频数记为 a 1 ,

……4 分

? 后五组的频数和为 62,公比为 ,?

1 2

? 第四组、第五组、第六组、第七组、第八组的频数分别为 32,16,8,4,2 ? 前三组共有 5 ? 11 ? 22 ? 38 人, 12 ……10 分 ? 这 100 名学生视力的中位数为: 4.7 ? 0.1? ? 4.7375 32 6 ? 72 , (Ⅲ)由(Ⅱ)知视力良好的频数为 2 ? 4 ? 6 , 1200 ? 100 ……12 分 ? 该校全体高三学生中视力良好的人数为 72 人.
19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)? AE // GD, AE ? GD, CF // GD, CF ? GD,? AE // CF 且 AE ? CF ,

1 (1 ? ( ) 5 ) ? 62, ?a1 ? 32 1 2 1? 2

a1

……6 分

? AEFC 为平行四边行,? EF // AC , 在正方形 ABCD 中, AC ? BD ,? EF ? BD

……2 分

由 GD ? CD, GD ? DA, AD, DC ? 面 ABCD ,又 AD ? DC ? D,?GD ? 面 ABCD ,

AC ? 面 ABCD ,? GD ? AC ,? GD ? EF

……4 分 ……6 分

? EF ? BD, EF ? GD, BD ? GD ? D ,? EF ? 面 BDG .

(Ⅱ)设 EF 的中点为 M,连 GM、BM,则 GM//DB,? GM 与 DB 共面 由 (Ⅰ) EF ? 平面 GDBM, EF ? 平面 BEF , 平面 BEF ? 平面 GDBM, 知 又 交线为 BM, ? 过点 D 作 DO ? BM 于点 O,则 DO ? 平面 BEF,即 DO 为三棱锥 D-BEF 的高 ……8 分

? S ?MBD ?

1 1 2 ? 2 2 10 DB ? GD ? MB ? DO , OD ? ? ? 2 2 5 10 2

……10 分

? BE=BF= 3 ,EF= 2 ,
? BM=
3 ?(
2

1 1 10 5 2 2 10 ? S?BEF ? ? EF ? BM ? ? 2 ? ? ) ? 2 2 2 2 2 2
……12 分

1 1 2 10 5 2 . ?VD ? BEF ? S?BEF ? OD ? ? ? ? 3 3 5 2 3
20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)令直线 AB : x ? my ? 2, ?

? x ? my ? 2
2 ? y ? 4x

? y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ,? y1 y2 ? ?8 . ……6 分

y1 ? y3 y12 4 (Ⅱ)直线 AC : y ? y1 ? ( x ? x1 ) ,即 AC : y ? y1 ? (x ? ) x1 ? x3 y1 ? y3 4
当 x ? 2 时 yM ? y1 ?

y y ?8 y2 4 , (2 ? 1 ) ? 1 3 y1 ? y3 4 y1 ? y3

……8 分

同理 yN ?

y2 y4 ? 8 , y3 y4 ? ?8 y2 ? y4

? yM ? yN ?

y1 y3 ? 8 y2 y4 ? 8 y1 y2 ( y3 ? y4 ) ? y3 y4 ( y1 ? y2 ) ? 8 ? y1 ? y2 ? +8 ? y3 ? y4 ? ? ? y1 ? y3 y2 ? y4 ? y1 ? y3 ? ? ? y2 ? y4 ?

=

-8( y3 ? y4 )-8( y1 ? y2 ) ? 8 ? y1 ? y2 ? +8 ? y3 ? y4 ? =0 ? y1 ? y3 ? ? ? y2 ? y4 ?
. ……12 分

? PM = PN

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ' ( x ) ?
1 ? a( x ? 0) ,由条件 f ' (1) ? 2,?1 ? a ? 2,? a ? ?1 , x

经检验,此时曲线 y ? f (x ) 在点 (1,0) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 2 ,与直线 y ? 2 x 平行, 故 a ? ?1 . (Ⅱ) (ⅰ)? ……3 分

x ? 0 时,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,
……5 分

? f ( 2) ? 0,? ln 2 ? a ? 0,? a ? ln 2 (或证 a ? 0 时不符合条件)

? f ' ( x) ?

1 1 ? ax ?a 1 ?a? ? ( x ? )( x ? 0, a ? ln 2) x x x a

1 1 ? (0, ) 上 f ' ( x ) ? 0 , f (x ) 单调递增; ( ,??) 上 f ' ( x ) ? 0 , f (x ) 单调递减 a a 1 ? (0,??) 上 f ( x) max ? f ( ) ? a ? 1 ? ln a a

?

x ? 0 时,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,?a ? 1 ? lna ? 0 恒成立①

……7 分

?a ? 1 时, ?x ? 0, f ( x ) ? ln x ? ( x ? 1) ? f (1) ? 0, ?a ? ln2 时, ? ln a ? (a ? 1) ? 0 恒成立②

由①②, ? ln a ? (a ? 1) ? 0 ,即 a ? 1 .
1 (ⅱ)由(ⅰ)知 a ? 1 ,记 g ( x) ? ( x ? ) ? 2 ln x x

……9 分

1 2 1 ? ? ( ? 1) 2 ? 0 ,? g (x ) 在 (0,??) 上单调递增 x x2 x 又 g (1) ? 0 ,? (0,1) 上 g ( x ) ? 0 , (1,??) 上 g ( x ) ? 0 g ' ( x) ? 1 ?

……10 分

故, 0 ? x ? 1 时, x ?
x ? 1 时, x ? x ? 1 时, x ?

1 ? 2 ln x ; x

1 ? 2 ln x ; x 1 ? 2 ln x . x

……12 分

22. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)连结 OC , ?DAC ? ?FAC, ?FAC ? ?ACO ??DAC ? ?ACO ,? AD // OC

? ?ADC ? 90? ,??OCD ? 90? ? DC 为圆 O 的切线

……5 分

2 2 (Ⅱ) ?ADC 与 ?AFC 全等,? DC ? CF , CF ? AF ? FB, DC ? DE ? DA

? AF ? FB ? DE ? DA
23. (本小题满分 10 分) ( Ⅰ ) 直 线 l : x?

……10 分

3 y ? 2 ? 0, 圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 , 圆 心 C 到 直 线 的 距 离
……5 分

d?

1 ? 3? 2 ? 1 ? 2 ? r ,? 相交 2

(Ⅱ)令 ?

? x ? 1 ? 2 cos ? ? (? 为参数) ? y ? 3 ? 2sin ? ?

? 3x ? y ? 3(1? 2cos? ) ? 3 ? 2sin ? ? 2sin ? ? 2 3 cos? ? 2 3

? 4sin( x ? ) ? 2 3 ? ?1 ? sin( x ? ) ? 1 , 3 3

?

?

? 3x ? y 的取值范围是 ? 2 3 ? 4, 2 3 ? 4 ? ? ?
24. (本小题满分 12 分)



……10 分

(Ⅰ) a ? ?3 时, x ?1 ? x ? 4 ? 3 ? 9,? x ?1 ? x ? 4 ? 6 ①当 x ? 4 时 2 x ? 5 ? 6,? x ?

11 2

②当 1 ? x ? 4 时 3 ? 6 ,不成立 ③当 x ? 1 时 5 ? 2 x ? 6,? x ? ? 综上,不等式的解集为 x x ?

1 2
……5 分

?

11 1? 或x ? ? ? 2 2?

(Ⅱ)即 x ?1 ? x ? 4 ? a 恒成立, x ?1 ? x ? 4 ? ( x ?1) ? ( x ? 4) ? 3 , 当且仅当 1 ? x ? 4 时取等,? a ? 3 ,即 a 的取值范围是 (??,3) . ……10 分


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