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湖北省黄冈中学2013届高三10月月考数学(文)试题


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湖北省黄冈中学 2013 届高三 10 月月考数学(文)试题
命题人:袁小幼 审稿人:蔡盛 校对:周永林 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数

r />
i 的共轭复数为( 1? i 1 1 A. ? ? i 2 2 1 1 D. ? i 2 2
【答案】 C 【解析】

) B.

1 1 ? i 2 2

C. ?

1 1 ? i 2 2

i i ? (1 ? i ) ?1 ? i 1 1 ? ? ?? ? i 1? i 2 2 2 2 1 1 ? ? ? 2.设 ? ? ??2, ?1, ? , ,1, 2? ,则使 f ( x) ? x 为奇函数且在 (0, ?? ) 单调递减的 ? 的值 2 2 ? ?
的个数是( A.1 【答案】A 【解析】仅有 ? ? ?1 时满足题意 3.以下说法错误的是( .. )
2

) B.2 C.3 D.4

2 A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0? 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”.

B. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.
2

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、q 均为假命题.
2 D.若命题 p: ?x ? R,使得 x ? x ? 1 ? 0? 则 ?p ? ?x ? R,则 x ? x ? 1 ? 0 .
2

【答案】C 【解析】若 p ? q 为假命题,则只需 p 、q 至少有一个为假命题即可. 4.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 0 ,则 S21 的值是( A. 1 【答案】 C B. ?1 C. 0 D.不能确定 )

【解析】 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 4a11 ? 0,? a11 ? 0 , S21 ? 21a11 ? 0 5.某几何体的正视图和侧视图均为如图 1 所示,则在图 2 的四个图中可以作为该几何体的 俯视图的是( )

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A. , (1)(3) B. , (1)(4) C. (2)(4) D. , , , (1)(2)(3)(4) , 【答案】A 【解析】可以是一个正方体上面一个球,也可以是一个圆柱上面一个球. 6.一同学在电脑中打出如下若干个圆:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?, 若依此规律继续下去,得到一系列的圆,则在前 2 012 个圆中共有●的个数是( A.61 B.62 C.63 D.64 )

【答案】A 【解析】作如下分类○●,○○●,○○○●,○○○○●,??, n?n+3? n?n+3? ∴第 n 个●前共有小球的个数为 由题意知 ≤2012∴n=61. 2 2
??? ? ??? ? ???? ??? ??? ? ? ? 7.已知:如图, | OA |?| OB |? 1 , OA 与 OB 的夹角为 120 , OC 与 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? ? OA 的夹角为 30 ,若 OC ? ? OA ? ? OB ( ?、? ? R )则 等
B C

?

于( A.



O

A

3 2

B.

2 3 3

C.

1 2

D.2

【答案】D 【解析】应用向量加法三角形法则知 8. ?ABC 中, A ?

? 1 =2 ? ? sin 30?


?
3

,BC=3,则 ?ABC 的周长为(

A. 4 3 sin ? B ?

? ?

??

??3 3?

B. 4 3 sin ? B ?

? ?

??

??3 6?

C. 6 sin? B ?
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? ?

??

??3 3?

D. 6 sin? B ?

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【答案】D 【解析】方法 1:由正弦定理得

b c b?c b?c , ? ? ? ? sin B sin C sin B ? sin C 2? sin sin B ? sin( ? B) 3 3 2? ? 得 b+c= 2 3 [sinB+sin( -B)]= 6 sin( B ? ) .故三角形的周长为:3+b+c 3 6 3 ?
= 6 sin? B ?

? ?

??

? ? 3. 6?

? ,周长应为 3 3 +3,故排除 A、B、C. 6 a b 9. 已知实数 a , b 满足等式 2 ? 3 , 下列五个关系式: 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③ 0 ? a ? b; ①
方法 2:可取△ABC 为直角三角形时,即 B= ④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 其中可能成立的关系式有( A.①②③ 【答案】B 【解析】设 2 ? 3 ? k , 则 a ? log2 k , b ? log3 k ,分别画出 y ? log2 x, y ? log3 x 的图
a b

) C.①③⑤ D.③④⑤

B.①②⑤

像可得. 10.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n ,称 Tn 为数列 a1 , a2 ,??, n

,已知数列 a1 , a2 ,??, a500 的“平均和”为 2004,那么数列 2, an 的“平均和”

a1 , a2 ,??, a500 的“平均和”为(
A.2002 【答案】A 【解析】
2004 ?

) C.2006 D.2008

B.2004

500a1 ? 499a 2 ? 498a3 ? ? ? a500 501? 2 ? 500a1 ? 499a 2 ? 498a3 ? ? ? a500 ,? ? 2002 500 501

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应的横线上) 11. sin163? sin 223? ? sin 253? sin 313? ? 【答案】 .

1 2

【解析】 sin163? sin 223? ? sin 253? sin 313? ? sin163? sin 223? ? sin(163? ? 90?)sin(223? ? 90?)

1 ? sin163? sin 223? ? cos163? cos 223? ? cos(223? ? 163?) ? cos60? ? . 2
12.不等式 2x ? 1 ? 5 ? x 的解集是 【答案】 (?? ,?6) ? ( ,?? ) 【解析】两边平方转化为一元二次不等式. .

4 3

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13.曲线 f ( x) ? x 3 ? x 2 f ' (1) 在点 (2, m) 处的切线斜率为 【答案】0



【解析】 f ?( x) ? 3x 2 ? 2 f ?(1) x , x ? 1 ,可得 f ?(1) ? ?3 ,令 x ? 2 , 令 可得 f ?(2) ? 0 14.函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ? x ? 1 有 【答案】2 【解析】分别画出 y ?

?

?

个零点.

1 与 y ? x ? 2 ? x 的图像,可得它们有 2 个交点. x
y
2 0 2 6

15. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0) 的图象如图 所示,则 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ? 2012? ? .

x

【答案】 2 2 ? 2 【解析】由图象知 2? ? ?x ,其图象关于 ? ? 0, ? ? ? ,? f ? x ? ? 2 sin T 4 4

?4,0?, x ? 2, x ? 6 对称知, f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ?8? ? 0, ?T ? 8, 2012 ? 251? 8 ? 4,
? f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ? 2012? ? f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? f ? 4? ?

2? 3? 4? ? ? ? ? f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ? f ? 4 ? ? 2 ? sin ? sin ? sin ? sin ? ? 2 2 ? 2. 4 4 4 4 ? ?

16 . 如 图 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , AB ∥ CD , AD ? CD ? 1, AB ? 3 ,动点 P 在 BCD 内运动(含 边 界 ) , 设 AP ? ? AD ? AB 则 ? ? ? 的 最 大 值 , ? 是 .

??? ?

????

??? ?

【答案】

4 3

【解析】以 A 为原点, AB 为 x 轴建立直角坐标系,设 P( x, y) ,则

x ,? ? y, 3 x 4 ? ? ? ? ? ? y 由线性规划知识知在点 C (1,1) 处取得最大值 . 3 3 5 17.若 ?x ? (1, ) ,使函数 g ( x) ? log2 (tx2 ? 2x ? 2) 有意义,则 t 的取值范围为 . 2 1 【答案】 t ? ? 2 5 2 2 5 2 【解析】不等式 tx ? 2 x ? 2 ? 0 有属于 (1, ) 的解,即 t ? 2 ? 有属于 (1, ) 的解.又 x x 2 2

AD ? (0,1), AB ? (3,0) ,? x ? 3? , y ? ? ,? ? ?

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5 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 时, ? ? 1 ,所以 2 ? = 2( ? ) ? ∈ [? , 0) .故 t ? ? . 2 5 x x x x 2 2 2 2 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 1? x ?
18.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x |

6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? m ? 0}. x ?1

(Ⅰ)当 m =3 时,求 A ? (?R B) ; (Ⅱ)若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4} ,求实数 m 的值. 【解析】由

6 x?5 ? 1, 得 ? 0, ??1 ? x ? 5 ? A ? {x | ?1 ? x ? 5} , x ?1 x ?1

(Ⅰ)当 m=3 时, B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 ?R B ? {x | x ? ?1或x ? 3}

? A ? (CR B) ? {x | 3 ? x ? 5}
(Ⅱ)? A ? {x | ?1 ? x ? 5}, A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4},

? 有4 2 ? 2 ? 4 ? m ? 0, 解得m ? 8 ,
此时 B ? {x | ?2 ? x ? 4} ,符合题意,故实数 m 的值为 8. 19.(本小题满分 12 分) 已知 x ?

?
6

是函数 f ( x) ? (a sin x ? cos x) cos x ?

1 图象的一条对称轴. 2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)作出函数 f (x) 在 x ? [0, ? ] 上的图象简图(不要求书写作图过程) .

【解析】 (Ⅰ)∵ f ( x) ?

1 2 1 1 a sin 2x ? cos 2x ,∴ f (x) 最值是 ? a ?1 , 2 2 2 ? ? 1 2 ∵ x ? 是函数 f (x) 图象的一条对称轴,∴ f ( ) ? ? a ?1 , 6 6 2

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a 3 2 1 ? 1 ? 1 2 ) ? 0 ,∴ a ? 3 ; a sin 2( ) ? cos 2( ) ? ? a ? 1 , 整理得 ( ? 2 2 2 6 2 6 2

(Ⅱ) f ( x ) ? sin( 2 x ?

?

6

) ,画出其简图如下:

20.(本小题满分 13 分) 某工厂去年的某产品的年销售量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,每只产品固 定成本为 8 元.今年,工厂第一次投入 100 万元(科技成本) ,并计划以后每年比上一 年多投入 100 万元(科技成本) ,预计销售量从今年开始每年比上一年增加 10 万只, 第 n 次投入后,每只产品的固定成本为 g (n) ?

8 ( n ? Z 且 n≥0) ,若产品销售 n ?1

价保持不变,第 n 次投入后的年利润为 f (n) 万元. (Ⅰ)求出 f (n) 的表达式; (Ⅱ)若今年是第 1 年,问第几年年利润最高?最高利润为多少万元? 【解析】 (Ⅰ) f (n) ? (100 ? 10n) (10 ?

8 n ?1

) ? 100n .

(Ⅱ)由 f (n) ? (100 ? 10n)(10 ?

8 n ?1 9 n ?1

) ? 100n ? 1 000 ? 80

(

n ? 10 n ?1

) ? 1 000 ? 80( n ? 1 ?

) ? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520.

当且仅当 n ? 1 ?

9 n ?1

,即 n=8 时取等号,

所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元. 21.(本小题满分 14 分)

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已知 {an } 是正数组成的数列, a1 ? 1 ,且点 ( a n , an?1 )(n ? N* ) 在函数 y ? x 2 ? 1 的图 象上.数列 {bn } 满足 b1 ? 0 , bn?1 ? bn ? 3an (n ?N* ) . (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? 2an bn cosn? (n?N* ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . 【解析】 (Ⅰ)由已知得 an+ 1 = an + 1 ,
a ∴n = n.

∴ an } 为首项为 1,公差为 1 的等差数列, {

b ∵ n+ 1 - bn = 3n ,∴ n ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn?1 ) ? 0 b
= 31 + 32 + ? + 3n- 1 =
3(1 - 3n- 1 ) 3 n- 1 1 = (3 - 1) = ?3n 1- 3 2 2 3 , 2

a ∴ n ? n , bn =

1 n ?3 2

3 . 2
n

??n(3 ? 3), 1 3 ? (Ⅱ) Cn ? 2n ? ( ? 3n ? )cos n? ? ? n 2 2 ?n(3 ? 3), ?
∴ n 为偶数时 当

n为奇数, n为偶数.

Sn ? ?(31 ? 3) ? 2 ? (32 ? 3) ? 3 ? (33 ? 3) ? ? ? n(3n ? 3) ? (?31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? 4 ? 34 ? 5 ? 35 ? ? ? n ? 3n ) ? (3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? 3 ? ? ? 3n) .


Tn = - 3 + 2 ?32 3?34

3?33

? + n 3n





- 3Tn = 32 - 2 ?33

?- n 3n+ 1 ,

∴ Tn = - 3 + 32 - 33 + 34 - ? + 3n + n 3n+ 1 ? ? ? (n ? ) ? 3n?1 , 4

3 4

1 4

1 [?3 ? (4n ? 1) ? 3n?1 ] . 16 1 3 (4n ? 1) ? 3n ?1 ? 24n ? 3 S ∴ n ? [?3 ? (4n ? 1) ? 3n ?1 ] ? ( ? n) ? . 16 2 16 ?(4n ? 1) ? 3n ?1 ? 24n ? 21 当 n 为奇数时 S n ? S n ?1 ? cn ? , 16
∴n ? T
? ?(4n ? 1) ? 3n ?1 ? 24n ? 21 , n为奇数. ? ? 16 ∴n ?? S n ?1 ? (4n ? 1) ? 3 ? 24n ? 3 , n为偶数. ? 16 ?

22.(本小题满分 14 分)
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1 ? x2 ? x ? R? . 1 ? x ? x2 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的极大值;
已知函数 f ? x ? ? (Ⅱ)若 et ? 2 x2 ? et x ? et ? 2 ≥ 0 对满足 x ≤1 的任意实数 x 恒成立,求实数 t 的取 值范围(这里 e 是自然对数的底数) ; (Ⅲ)求证:对任意正数 a 、 b 、 ? 、 ? ,恒有
2 ?? ? a ? ? b ? 2 ? ? ? a 2 ? ?b2 ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 f ?? . ?≥? ? ?? f ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?

?

?

【解析】 (Ⅰ)f ? ? x ? ?

?2 x ?1 ? x ? x 2 ? ? ? 2 x ? 1? ?1 ? x 2 ?

∴ f ? x ? 的增区间为 ?2 ? 3, ?2 ? 3 , f ? x ? 减区间为 ??, ?2 ? 3 和 ?2 ? 3, ?? . 极大值为 f ?2 ? 3 ?

?

?1 ? x ? x ?

2 2

? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?1 ? x ? x ?

2 2

? ?

?

?

?

2 3 . 3
t

(Ⅱ)原不等式可化为 e ≥ ∴

2 ?1 ? x 2 ?
2

2 ?1 ? x

2

3 1 ? x2 ? x ? x ? 0? (Ⅲ)设 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ? x ? x2
则 g?? x? ? f ?? x? ?1 ?

1? x ? x

2

? 的最大值为 4

1? x ? x
3

由(Ⅰ)知, x ≤1 时, f (x) 的最大值为

2 3 . 3

,由恒成立的意义知道 e t ≥

4 3 4 3 ,从而 t ≥ ln 3 3

? ? x 2 ? 4 x ? 1?

?1 ? x ? x ?

2 2

?1 ? ?

x 4 ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 2

?1 ? x ? x ?
2

2 2

.

∴当 x ? 0 时, g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0,?? ? 上是减函数, 又当 a 、 b 、 ? 、 ? 是正实数时, ?
2

?? ? a ? b ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 ?? ≤0 ? ? 2 ??? ? ??? ? ?? ? ? ?
2

? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b 2 ∴? . ≤ ? ??? ? ??? ? ?? ? a ? ? b ? 2 ? ? ? a ? ? b ? 2 ? ? a 2 ? ?b2 ? ? a 2 ? ?b2 ≥f? 由 g ? x ? 的单调性有: f ?? , ? ?? ?? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 2 2 2 ?? ? a ? ? b ? ? ? ? a ? ?b ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 ≥? 即 f ?? . ?? f ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?

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