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含参二次不等式问题求解策略


含参一元二次不等式的 解题策略
y x
O

含参数一元二次不等式是一 类重要的不等式,也是高中数学 的一个重要的工具,通过本节的 学习,同学们要深刻地理解三个 “二次”的基本关系,能借助这 三个“二次”的基本关系,运用 数形结合的思想方法去分析、解 决相关问题。

一、三个“二次”的基本关系:
? ? b

? 4ac
2

??0

??0

??0

y
y ? ax ? bx ? c
2

y
x1 x 2

y

(a ? 0)的图象
O
方程ax ? bx
2

x
2

O

x
b 2a

O
无实根

x

? c=0的根
二 次 不 等 式 的 解 集

x1、= 2

? b ? b ? 4ac 2a

x1=x2 ? ?

ax ? bx ? c ? 0
2

(a ? 0)的解集
ax ? bx ? c ? 0
2

b? ? ?x | x ? x1或x ? x2 ? ? x | x ? R, x ? ? ? 2a ? ?

R

(a ? 0)的解集

?x | x1 ? x ? x2 ?

?

?

二、 新课 例1. 解关于x的不等式 x2 + 5x + 6 > 0

解:方程x2 + 5x + 6 = 0的两根是 -2,-3
y

?3

?2

O

x

? 由图象可知不等式的解集为: x

? 3 < x ? ? 2?

变式1. 解关于x的不等式 x ? 5 a x ? ? 0 4 25 2 解:由题意可知方程 x ? 5 a x ? ? 0 的⊿=25a2-25 y 4 (1)当⊿=25a2-25>0 , 即 a ? 1 或 a ? ? 1 时 2 2 ? ? 解集为: ? x x ? ? 5 a ? 25 a ? 2 5 或 x ? ? 5 a ? 25 a ? 2 5 ? O
2

25

(2)当⊿=25a2-25=0 , 即 a ? ? 1 时
? 5 ? 解集为: ? x x ? R 且 x ? ? a ? 2 ?; ?

? ? ?

2

2

? ? ?

x

y

O

x
y

(3)当⊿=25a2-24<0, 即 ? 1 ? a ? 1时 解集为:R. 综上:当 a ? 1 或 a ? ? 1 时,解集为:
? ?5a ? ? ?x x ? ? ? 25 a ? 2 5
2

O

x
2 25 a ? 2 5 ? ? ? 2 ? ?

或x ?

?5a ?

2



a ? ? 1 时,解集为:? x ?
?

? x ? R且 x ? ? a ? 2 ?; 5

当 ? 1 ? a ? 1 时,解集为 R

变式2.解关于x的不等式 x2 + 5ax + 6a2 > 0
解:方程(x+3a)(x+2a) = 0的 ? ? a 2 ? 0 方程(x+3a)(x+2a) = 0的两根为 -3a ,-2a
-2a

y

①当-3a >-2a ,即a <0时, 解集为:{x︱x>-3a 或 x<-2a}; ②当-3a =-2a, 即a =0时, 解集为:{x︱x∈R且x≠0}; ③当-3a <-2a, 即a >0时, 解集为:{x︱x> -2a 或 x< -3a}. 当a =0时,解集为: {x︱x∈R且x≠0}; 当a >0时,解集为:{x︱x> -2a或x< -3a}.
-3a -2a

O

-3a

x

y

O

x

y

O

x

综上: 当a <0时,解集为:{x︱x> -3a或x< -2a};

变式3.解关于x的不等式 a x ? (6 a ? 1) x ? 6 ? 0
2

(1)当a=0时, (2)当a≠0时,

解集 为 ?x | x ? ? 6 ?



当?

1 a

? ?6, 即a ?

1 6



方程?ax ? 1??x ? 6? ? 0的? ? ? 6a ? 1? ? 0
2

? ? 1 解集为 : ? x x ? ? 或x ? ?6? a ? ?

方程?ax ? 1?? x ? 6 ? ? 0的两根为?

1 a

,?6

⑵ 当? ⑶

1

? ?6, 即a ?

1



①当a<0时,?

1 a

? 0,

? ②当a>0时,

? 1? 解集为? x ? 6 ? x ? ? ? a? ? 1
?0 a

解集为 : ?x x ? R且x ? ?6? 1 1 当 ? ? ?6, 即0 ? a ? 时 a 6
? 1? 解集为 : ? x x ? ?6或x ? ? ? a? ?

a

6

∴综上所述:
1 .当 a ? 0时,解集为 ? 1? x?6? x? ? ? ? a ?; ?
;

4 .当 a ?

1 6

时 , 解集 为 ?x x ? R 且 x ? ? 6 ?
1 6 时,解集为

;

2 .当 a ? 0时 , 解集 为 ?x x ? ? 1?
1

5 .当 a ?

? 1? 3 .当 0 ? a ? 时 , 解集 为 ? x x ? ? 6 或 x ? ? ? 6 a ?; ?

? ? 1 ? x x ? ? 或 x ? ?6? a ? ?.

课堂总结
解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论 的标准有:

1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小; 解含参二次不等式运用的数学思想 1、分类讨论的思想 2、数形结合的思想

课后作业:
1. 解下列不等式:


2 x ? kx ? k ? 0
2



x ? (a ? 3) x ? 2(a ? 1) ? 0
2

2. 关于 x 的不等式:(k ? 1) x 2 ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立, 求k的范围.


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