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2009年南京大学数学基地班自主招生考试数学试题解析


郑州二中 高中伟 版权所有 转载必究 2009 年南京大学数学基地班自主招生数学试题及解析 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1.已知 n 为一正整数,并且 2n ? 1 能被 7 整除,则 n 的所有取值为________. 【答案】 n ? 3k (k ? N *) 【解析】当 n ? 3k (k ? N *) 时, 1 k ?1 2n ? 1 ? 23k ? 1 ? 8k ? 1 ? (7 ? 1) k ? 1 ? 7 k ? Ck 7 ? ? ? Ckk ?1 7 . 2.不等式 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? 24 的解是________. 【答案】 {x | x ? 0 ,或 x ? 5} 【解析】原不等式等价于 ( x ? 1)( x ? 4) ? ( x ? 2)( x ? 3) ? 24 ? ( x 2 ? 5 x ? 4)( x 2 ? 5 x ? 6) ? 24 ? ( x 2 ? 5 x ? 5)2 ? 1 ? 24 ? ( x 2 ? 5 x ? 5)2 ? 25 ? x 2 ? 5 x ? 5 ? ?5 (1) or x 2 ? 5 x ? 5 ? 5(2) 由(1)得: x ?? ;由(2)得: x ? 0 ,或 x ? 5 , 故原不等式解集为 {x | x ? 0 ,或 x ? 5} . 3.设 z 是一模长大于 1 的复数,并且满足 z ? 【答案】 2(cos ? ? i sin ? ) 【解析】依题意知 1 5 5i ? cos ? ? sin ? ,则 z =________. z 2 2 5 1 z ? z ?1 | z |2 ?1 | z |2 ?1 ?| z ? |?| |?| |? , 2 z z z |z| 注意到 | z | ? 1 ,所以 | z | ? 2 . 设 z ? x ? yi( x, y ? R) ,由 | z | ? 2 知 x ? y ? 4 ,所以, 2 2 1 1 x ? yi ? ( x ? yi ) ? ? ( x ? yi ) ? 2 z x ? yi x ? y2 x ? yi 5 5 ? ( x ? yi ) ? ? x ? yi 4 4 4 z? 从而, ? x ? 2 cos ? 5 5 5 5i x ? yi ? cos ? ? sin ? ? ? , 4 4 2 2 ? y ? 2sin ? 第 1 页(共 7 页) 郑州二中 高中伟 版权所有 转载必究 所以, z ? 2(cos ? ? i sin ? ) . 4.已知 x ? R , f ( x) ? 【答案】 (?1,1) 【解析】 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 ,则 f ( x) 的值域为________. 1 3 1 3 x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ? ? ( x ? )2 ? , 2 4 2 4 设 A(? 1 3 1 3 , ), B( , ), P( x, 0) , 2 2 2 2 ? | AB | ? 1 ,故 f ( x) ? (?1,1) . 则 | f ( x) |? | PA | ? | PB | 5.方程 3log x 4 +2log 4 x 4 +3log 16 x 4 =0 的解集为________. 【答案】 { , } 【解析】原方程等价于 1 1 8 2 3 2 3 ? ? ? 0 ? 4(


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