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广东省陆丰市碣石中学2013届高三上学期第四次月考数学理科


广东省陆丰市碣石中学 2013 届高三上学期第四次月考

数学(理)试题
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(每题 5 分,共 40 分,每题只有一个正确选项) 1.巳知全集 U ? R , i 是虚数单位,集合 M

1 (1 ? i) 2 } 的关系韦恩 ? Z (整数集)和 N ? {i, i , , i i
2

(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( A. 3个 B.2个 C.1个 D.无穷个



2 2 设不等式 x ? x ? 0 的解集为 M ,函数 f ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为 N ,则 M ? N 为 (



A. ?0,1? 3.在 ?ABC中, A ? "sin A.充分不必要条件 C.充要条件

B. ? 0,1?

C. 0,1

? ?

D. ? ?1,0?

3 ? "是" A ? " 的 2 3
B.必要不充分条件[Z*X D.既不充分也不必要条件





4.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 以是

1 。则该几何体的俯视图可 2
( )

? 2 ? x ( x ? 0) 5. 函数 y ? ? x 的图象大致是 ?2 ? 1( x ? 0) ?





1

6.函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ?

? ?

??
?

? 的图像为 C,如下结论中正确的是 3?
6
对称





A.图像 C 关于直线 x ?

B.图像 C 关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ?6 ? ? ? 5? ? , ? 内是增函数 ? 12 12 ?

C.函数 f ( x ) 在区间 ? ?

D.由 y ? 3sin 2 x 的图像向右平移

? 个单位长度可以得到图像 C。 3
( )

7. 设 l , m, n 为三条不同的直线, ? 为一个平面,下列命题中不正确的是 A.若 l ? ? ,则 l 与 ? 相交 B.若 m ? ?,n ? ?,l ? m,l ? n, l ? ? 则 C.若 l // m , m // n , l ? ? ,则 n ? ? D.若 l // m , m ? ? , n ? ? ,则 l // n

8.对于使 ? x 2 ? 2 x ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x 2 ? 2 x 的上确界,若

a, b ? R? , 且a ? b ? 1 ,则 ?
A.-3

1 2 ? 的上确界为 2a b
C.-





B. ?4

1 4

D. ?

9 2

二、填空题(每题 5 分,共 30 分,其中 9--13 题为必做题,14、15 为选做题,(9—3 题为必做题) ) 9.抛物线 y ? x ? x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
2

10.已知等比数列 ?an ? 各项均为正数,前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 2 , a1a5 ? 16 .则公比 q=



S5 ?
11.若 ( x ?



1 8 ) 的展开式中 x4 的系数为 2x

?2 x ? 1, x ? 1, ? 若f [ f (0)] ? 4a ,则实数 a= 12. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ? x ? ax, x ? 1, ?
?x ? 0 ? 13.在平面直角坐标系上,设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的整点(即横 ? y ? ?n( x ? 4) ?
坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 an (n ? N ? ) . 则 a1 = = . ,经推理可得到 an

2

(第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分) . 14.(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系下, 直线 ? cos( ? ? 圆? ?

?
4

)? 2 与

2 的公共点个数是________.

15.(几何证明选讲选做题) 如图 4,A , B 是圆 O 上的两点, OA ? OB , 且

OA ? 2 , C 为 OA 的 中 点 , 连 接 BC 并 延 长 交 圆 O 于 点 D , 则 CD ? .
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 16. (12 分) 已知函数 y ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos2 x , (1)求该函数的最小正周期和最小值; (2)若

x ??0, ? ?

,求该函数的单调递增区间。

17. (12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,已知 a ? 2b sin A, c ? 3b (1)求 B 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a, b 的值

3

19 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 在 数 列 { an } 中 , a1 ?

1 , 并 且 对 任 意 n ? N?,n ? 2 都 有 3

an ? an?1 ? an?1 ? an 成立,令 bn ?
(Ⅰ)求数列{ bn }的通项公式; (Ⅱ)设数列{

1 (n ? N ? ) . an

an 1 3 }的前 n 项和为 Tn ,证明: ? Tn ? 3 4 n

20.(14 分)已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆方程;

1 3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且离心率 e ? 。 2 2 2 a b

(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂直平分线过定 点 G ( ,0) ,求 k 的取值范围。

1 8

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求函数 f(x)的极值; (2)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ?
2

1 ? ln x x k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1

n?2 ? ! (3)求证 ? ( n ? 1) ? ? ( n ? 1) ? e ( n ? N ) .

4

参考答案
一 、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1. B 2 A. 3. B 4. C. 5. D. 6.C

选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14. 1 ,15.

3 5 5

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 16. 已知函数 y ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos2 x , (1)求该函数的最小正周期和最小值; (2)若

x ??0, ? ?

,求该函数的单调递增区间。

解: (1) y ? 所以

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?
------6 分

?
6

) ------3 分

T ? ? , ymin ? ?2
令2k? -

?
2

(2)

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z,则k? -

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ? Z

------8 分

5

? ? 5? 4? k ? 0,1 ,得到 x ?[- 6 , 3 ] 或 x ?[ 6 , 3 ] , 令
与 x ? [0, ? ] 取交集, 得到

? 5? x ?[0, ] x ?[ , ? ] 3 或 6 ,

? ? ? ? 5? ? 递增区间是 ?0, ? 和 ? ,? ? x ? [0, ? ] 时,函数的 3? ? 6 ? ? . ----12 分 所以,当
17. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,已知 a ? 2b sin A, c ? 3b (1)求 B 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a, b 的值 解: (1) a ? 2b sin A , sin A ? 2 sin B sin A ? sin B ?

1 , 2

B ? 30? 或 150? , c ? b ,所以 B ? 30?
(2)由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos30?

……………………5 分

解得 2b 2 ? 3ab ? a 2 ? 0 ? a ? b 或 a ? 2b …………① 又 S ?ABC ?

…………8 分

1 ac sin 30 ? ? 2 3 ? ac ? 8 3 …………② 2

c ? 3b …………③
由①②③ ?

?a ? 4 或a ? b ? 2 2 ?b ? 2

…………12 分

18.(本小题满分 14 分) 甲和乙参加智力答题活动, 活动规则: ①答题过程中, 若答对则继续答题; 若答错则停止答题; ②每人最多答 3 个题;③答对第一题得 10 分,第二题得 20 分,第三题得 30 分,答错得 0 分。已

知甲答对每个题的概率为

,乙答对每个题的概率为



(1)求甲恰好得 30 分的概率; (2)设乙的得分为 ,求 的分布列和数学期望; (3)求甲恰好比乙多 30 分的概率.

答案 1. (I)甲恰好得 30 分,说明甲前两题都答对,而第三题答错,其概率为 -------3 分 (II) 的取值为 0,10, 30,60.--------4 分
6







, 的概率分布如下表: 0 10 30 60

---------8 分

-------10 分 (III)设甲恰好比乙多 30 分为事件 A,甲恰好得 30 分且乙恰好得 0 分为事件 B1, 甲恰好得 60 分且乙恰好得 30 分为事件 B2,则 A= 为互斥事件.



所以,甲恰好比乙多 30 分的概率为

-----------14 分

19 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 数 列 { an } 中 , a1 ?

1 , 并 且 对 任 意 n ? N?,n ? 2 都 有 3

an ? an?1 ? an?1 ? an 成立,令 b
(Ⅰ)求数列{ bn }的通项公式;

n

?

1 (n ? N ? ) . an

(Ⅱ)设数列{

an 1 3 }的前 n 项和为 Tn ,证明: ? Tn ? 3 4 n
1 ? 3 ,当 n ? 2 时, a1 1 1 ? ? 1, 所以 bn ? bn?1 ? 1 ------------4 分 a n a n ?1

解: (1)当 n=1 时, b1 ?

由 an ? an?1 ? an?1 ? an 得

所以数列 {bn } 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,

7

所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? n ? 2 (2)

-------------5 分

an 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ????8分 a n n(n1 2) 1 1 n ? 2 1 n ? 2 n ------------------------------------------------------7 分 ? ? ( ? ) ????8分 n n(n ? 2) 2 n 1 n 1 2 1 ? 1 1 1 1 1 ? Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 5 1 1 1 3 1 1 3n 2 ? 5n 2 3 2 4 3 1 n1 1 n1 1 ? ? ? Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? [ ?( ? )] ? 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 4(n 2 ? 3n ? 2 1 1 1 3 1 1 3n 2 ? 5n 3 ? ? ) ? [ ?( ? )] ? ??11分? 4(n ? 1) ? 2 ? n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 4(n 2 ? 3n ? 2) 4 4(n ? 1)(n ? 2)

?

3 -------------------11 分 4(n ? 1) ? 2 ? 4 4(n ? 1)(n ? 2)

可知 Tn 是关于变量 n 的增函数,当 n 趋近无穷大时, ?

1 ? ? 1 ? ? 的值趋近于 0, ? n ?1 n ? 2 ?

当 n=1 时 Tn 取最小值

1 1 3 ,故有 ? Tn ? ----------------14 分 3 3 4

1 3 x2 y2 20.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且离心率 e ? 。 2 2 a b
(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂直平分线过定 点 G ( ,0) ,求 k 的取值范围。

1 8

解: (Ⅰ)? 离心率 e ? 又椭圆过点 (1, ) ,则

b2 1 3 1 2 2 ,? 2 ? 1 ? ? ,即 4b ? 3a (1) ; 2 a 4 4

3 2

1 9 2 2 ? 2 ? 1, (1)式代入上式,解得 a ? 4 , b ? 3 , 2 a 4b

x2 y 2 ? ? 1 。-------4 分 椭圆方程为 4 3
(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,弦 MN 的中点 A ( x0 , y0 )

8

由?

? y ? kx ? m 得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4m2 ?12 ? 0 ,------------6 分 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ?

? 直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点,

?? ? 64m2k 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 3 ………………(1)--------8 分
由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?

8mk 4m2 ? 12 , x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

则 x0 ? ?

4mk 4mk 2 3m , y0 ? kx0 ? m ? ? ?m? ,-------------10 分 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2

直线 AG 的斜率为: K AG

3m 2 24m , ? 3 ? 4k ? 4mk 1 ?32mk ? 3 ? 4k 2 ? ? 3 ? 4k 2 8
3 ? 4k 2 24m ?k ? ?1 ,即 m ? ? ,----12 分 ?32mk ? 3 ? 4k 2 8k

由直线 AG 和直线 MN 垂直可得:

3 ? 4k 2 2 1 5 5 ) ? 4k 2 ? 3 ,即 k 2 ? 代入(1)式,可得 ( ,则 k ? -------14 分 或k ? ? 20 8k 10 10
21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求函数 f(x)的极值; (2)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ?
2

1 ? ln x x k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1

n?2 ? ! (3)求证 ? ( n ? 1) ? ? ( n ? 1) ? e ( n ? N ) .

21.解: (Ⅰ)因为

f ( x) ?

1 ? ln x ln x , x >0,则 f ?( x ) ? ? 2 ,…………1 分 x x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在(0,1)上单调递增;在 (1, ??) 上单调递减, 所以函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值 f(1)=1 ,无极小值。…………3 分

(Ⅱ)不等式 f ( x) ?

k ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) , 即为 ? k , 记 g ( x) ? , x ?1 x x

所以 g ?( x) ?

?( x ? 1)(1 ? ln x)?? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x ? ln x …………7 分
x2
x2
9

令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x ) ? 1 ?

1 , x

? x ? 1,

? h?( x) ? 0,

? h( x) 在 ?1, ??) 上单调递增,
故 g ( x) 在 ?1, ??) 上也单调递增, (3)由(2)知: f ( x) ?

??h( x) m i n ? h( 1) 1 ,从而 g ?( x) ? 0 , ? ? 0 ?
所以 ? g ( x)?min ? g (1) ? 2 ,所以 k ? 2 . ………9 分

2 , 恒成立,即 ln x ? x ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 , x ?1 x ?1 x ?1 x
2 n(n ? 1)

令 x ? n(n ? 1) ,则 ln ? n(n ? 1)? ? 1 ?

10


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