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《用运动的观点分析两条二次曲线相切问题》


发表于《中学数学教学参考》2009 年第 7 期
下面所阐述的两曲线的相切问题,在高中阶段虽要求不高或不做要求,但 因为人们学过直线与曲线相切,再加上在一些考试或竞赛中也从不同的角度涉 及到过,所以会自然地思考这方面问题。而多数人会思维定势地用直线与曲线 相切的思想来处理两曲线的相切问题,却出问题了,产生了迷茫。因高中阶段 对两二次曲线的位置关系的讨论和应用不作要求,即

使有相关的问题,也是非 常特殊的情况。所以一般情况下教师和学生不会去作进一步探索或拓展,以至 于绝大部分学生大学毕业回到中学当老师后必须面对这个问题时,仍感到棘手 或迷茫,不能给学生做出正确的、合理的、恰当的解释。下面根据高中阶段的 实际情况,尽量避开繁琐与抽象,用形象直观的运动观点对此问题作出分析, 希望能对老师们、同学们有所启迪。 适合高中

用运动的观点分析两条二次曲线相切的问题
山东省桓台第一中学 苏同安
在高中的教学或学习过程中,部分教师与绝大多数学生可能是受教学或学习范围的约 束,抑或是由于认识问题的深刻性、广泛性不够,对某些重要数学问题的理解或思想方法的 认识往往停留在表面上, 以至于对这些问题的学习或讲解也停留在表面的记忆或形式上, 造 成既不能形象直观地恰当分析,更不能深入浅出地适度拓展,从而形成不良的思维定式,导 致对一系列问题及思想方法产生疑惑,感到迷茫,出现错误。下面就一典型问题进行分析、 阐述,希望能给老师们、同学们带来一点启迪,便于连续地、广泛地、深刻地教学或学习。 更希望各位能参与进来,展开交流、不断完善、共同提高,促进教科研的发展。 2 2 直线 Ax+By+c=0 与二次曲线 Ax +By +Dx+Ey+F=0 相切,由此两方程消元后所得的一元二 次方程的根的判别式△=0,这都知道。而其中的直线与抛物线或双曲线的关系中,有一个公 共点不一定是相切,这是因为直线平行于抛物线的对称轴或是直线平行于双曲线的渐近线 时,它们有一个公共点,但不是相切。此时,由它们的方程消元后所得的是一个一元一次方 程,所以就谈不上根的判别式了。因为相交的情况是相应的根的判别式△>0。所以,人们 自然会把相切的关系与△=0 等价起来(此种情形下是正确的) 。因为绝大多数人没有进一步 从不同角度去深刻理解这三种关系的本质。 所以在遇到两条二次曲线的位置关系 (尤其是相 切)时,再类比这种认识不够深刻的△=0 的思想方法来处理相切的位置关系时,却出问题 了,不等价了,产生了迷茫。因高中阶段对两二次曲线的位置关系的讨论和应用不作要求, 即使有相关的问题, 也是非常特殊的情况。 所以一般情况下教师和学生不会去作进一步探索 或拓展, 以至于绝大部分学生大学毕业回到中学当老师后必须面对这个问题时, 仍感到棘手 或迷茫,不能给学生做出正确的、合理的、恰当的解释。

一、由具体问题说起:
问题 1.圆(x+2) + y = 4 与抛物 y = 4x 相切于原点。由这两个方程消 y 后得: 2 x +8x=0 ,根的判别式△= 64 ≠0 。 2 2 2 2 问题 2.圆(x-2) +(y-2) = 2 与双曲线 (x-2) -(y-2) = 2 相切于两点。 2 由这两个方程消 y 后得:x -4x+2=0 ,根的判别式△= 8≠0; 2 由这两个方程消 x 后得:y -4y+4=0 , 根的判别式△=0 . 问题 3.(高考题)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e =
2 2 2

3 , 2

已知点 P(0 ,

3 )到这个椭圆上点的最远距离为 7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到 P 2

的距离等于 7 的点的坐标。

解:设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) 由已知得:离心率 e ? a2 b2

a2 ? b2 3 ? a 2
① ② ③



a 2 ? 4b 2 , 所以椭圆方程为: x 2 ? 4 y 2 ? 4b 2 ? 0

3 3 2 2 )为圆心, 7 为半径的圆的方程为: x ? ( y ? ) ? 7 2 2 19 2 ? 4b 2 ? 0 由①、②得: 3 y ? 3 y ? 4
以点 P(0 , ∵相切,∴△=0 得 b 2 ? 1, a 2 ? 4 点 P (? 3 , )

. x2 y2 ? ?1 得椭圆方程为:

4

1

1 2

y

上述三个问题均是关于两条二次曲线相切或运用两条二次曲 线相切的问题。这说明了两条二次曲线相切时,所得的一元二次方 程的根的判别式△不一定为零,而问题 3 却用了△=0(还是一高考 题,当然还有其它解法) ,且没有说明原因,这样做正确吗?使许 多人迷惑不解,不知怎样去处理这样的问题。

x

下面根据高中阶段的教学和学习情况, 从直线与圆锥曲线的关系开始, 用运动的观点 形象直观地剖析一下这个问题。

二、用运动的观点论述直线与圆锥曲线的位置关系 首先用运动的观点来分析一下直线 l 与抛物线 C 的位置关系与方程的根的关系:
l0 P1 M l1 P l

l2 Θ x0 x1 x2 Θ Θ C Θ Θ 直线 l 与抛物线 C 交于两不同的点 M、P,设这两点的横坐标分别为 x0 、x2, 下面让直 Θ 线 l 绕点 M 开始旋转, 逆时针转到与抛物线相切于点 M 为止, 此时切线为 l0 ; 顺时针转到与 抛物线的对称轴平行为止,设此时直线为 l2 . 可以直观地看到:在逆时针旋转过程中,两交点在不断接近,不相切时,两交点的横坐 标不同,这时对应的一元二次方程有两不同的实根,当转到相切时,两交点重合,对应方程 的两根相同,即有重根,此时的根的判别式当然为零;而顺时针向的旋转过程中,两交点距 离越来越远,当转到与对称轴平行时,另一个交点在无穷远处消失了,只剩一个交点,此时 形成唯一一个交点不是两交点重合所致, 对应的方程只有一个根, 不是两重根, 是一次方程, 所以就谈不上根的判别式了。下面用这种直观的、运动的思想来分析一下两条二次曲线(对 称轴平行或重合于坐标轴)的位置关系。

三、用运动的观点论述两二次曲线的位置关系
对于下列常见二次曲线: 圆: (x – x0)2 + (y –y0 )2 = r 2 抛物线:(y –y0 )2 =2p (x – x0) 或 (x – x0)2= 2p (y –y0 ) 椭 圆: m(x – x0)2 + n(y –y0 )2 = 1 双曲线: a (x – x0)2 – b (y –y0 )2 = 1 由其中的两个方程联立方程组消元时, 两曲线的对称轴至少有一条重合时, 才能得到一 个一元二次方程,所以,在这里分析的是此种情况下的两条二次曲线的位置关系。 首先用运动的观点来感受一下圆和抛物线的位置关系的变化及联系, 从而得到相应的一 元二次方程的根的判别式及根的情况。 不妨用开口朝右的抛物线和圆心在抛物线的对称轴上的圆(如下图)来进行分析,设由 它们的方程消元后会得到一个关于 x 的二次方程为:a x2 +b x+c = 0 …… (Ⅰ) 它们最多有四个交点,现从四个交点的情况开始,通过直观的运动,产生出这两条曲线 各种相切的情况及相应的方程的根及根的判别式的变化情况:













图①中,两曲线有四个交点,此时,方程(Ⅰ)有两个不同的实根,它的根的判别式△ > 0.每个实根均对应着两个 y 值,所以会有四组解; 图①中的圆向左运动,与抛物线相切于顶点(图②) ,此种情况下,方程 (Ⅰ)仍有两个 实根,只不过其中有一个根 x 只对应一个 y 值,所以 △ ≠ 0 ; 图②中的圆继续向左运动,形成图③中的相切情形,通过运动过程来看,是图②中右边 的公共点(切点)先分离、消失(类似于上面所分析的直线与抛物线从相交于两点到直线与 抛物线对称轴平行时有一交点在无穷远消失) ,因此,此时的切点不是原来两不同的实根 x 所对应的不同公共点重合而成, 方程(Ⅰ)仍有两个不同实根, 只不过其中有一个根 x 是增根, 代入方程 y 无解,所以 △ ≠ 0 (后面有实例说明) ; 再分析另外相切的情况: 图④可看为由图①中的圆逐渐向右运动或缩小得到, 此时的两 切点是分别由图①中的上面两交点和下面两交点逐步接近最后重合形成, 这时, 点对应的两 实根 x 也重合成为方程(Ⅰ)的重根,其△当然为零了; 图④中的圆在与抛物线继续保持这种相切的情况下,向左缩小、运动至切于一点的第 一时刻所对应的相切情形(图⑤)的△=0,以后继续变化(圆继续缩小,如:图⑥)的相 y 切情形的△≠0。 下面用一实例来说明这种情形: x

2 2 2 抛物线 y ? 2 x ,圆 x ? y ? 2ax ? 0

我们看一下两曲线相切于(0,0)点的情况:
2 由两方程消去 y: x ? ( 2 ? 2a ) x ? 0

图⑦

x1 ? 0 , x 2 ? 2a ? 2
2 要使两曲线切于(0,0)且只有一个公共点,由 y ? 2 x ≥0,须 x2 ? 0 ,这样,只有

一根 x=0,此时,a≤1,也就是当 a≤1 且 a≠0 时,两曲线相切。 其△=(2—2a)2,只有 a=1 时△=0。其他情况(a<1), △≠0,在这无数个圆与抛物线 相切于(0,0)的情况下,只有一种情况的△=0,这就是由上面“运动观点”所论述的“第 一次相切”的时候,所以,在做关于两二次曲线相切于一点的有关问题时,若分析不清, 一般不能用△=0 来解决。 现在,再用这种思想观点来透视一开始给出的高考题,能否运用△=0 来解决便没有疑 问了。而前两个问题为什么会出现△=0 或△ ≠ 0 也会一清二楚了。

图⑧ 这样,对圆、椭圆、双曲线、抛物线之间的位置关系(尤其是相切)与它们所形成的 一元二次方程的根判别式及根的关系就能一目了然了,自然会得出下面的结论。 图⑨

图⑩

等等??

四、几个结论
对于对称轴平行于(或重合于)坐标轴,而且至少有一条对称轴重合的两条二次 曲线

1. 如果它们有两个切点:
(1)若两切点关于两曲线的平行于 x 轴(或重合于 x 轴)的对称轴对称,则由两曲线 方程得到的关于 x 的二次方程的根的判别式△=0。 (2)若两切点关于两曲线的平行于 y 轴(或重合于 y 轴)的对称轴对称,则由两曲线 方程得到的关于 y 的二次方程的根的判别式△=0。 本文开始所列问题 3(高考题)中的两切点关于两曲线的对称轴 y 轴对称,所以,得 到的关于 y 的二次方程的判别式△=0,而问题 2 中的两切点关于两曲线平行于 y 轴的对 称轴对称,所得到的 x 的二次方程△=8≠0,是正常的。而关于 y 的二次方程△一定为 0.

2. 如果它们有一个切点: (1)若此切点可看作两曲线从有四个交点这样运动形成:四个交点最终同时重合于一 点、形成切点停止运动,此时,相应的△=0;若在相切不变的情况下继续变化(如:缩小。

如图⑦) ,所对应的△≠0。 (2)若此切点可看作两曲线从有四个交点这样运动形成:只是四个交点中有两个点重 合于一点,形成切点,而不是四交点同时重合于一切点(如图②、 ③所展示的情形) ,其二 次方程的△≠0。 这里只是从两条曲线的关系中的一个方面,用运动的观点来直观地论述两条曲线的位 置关系与它们的方程的本质联系, 并阐述了不能把解决直线与二次曲线的某些特殊认识一般 化。力求生动与直观,避开死板与抽象,便于高中阶段的教师、学生来初步理解,这样,既 能对两二次曲线的位置关系与它们方程的关系有一个初步的、 清楚的认识, 又能进一步对直 线与二次曲线的位置关系与它们方程的关系来一个反思, 便于从本质上去理解和掌握数学知 识和方法,并处理好特殊性与一般性的关系,为进一步学习数学知识、认清知识本质奠定良 好的基础。


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