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高中物理奥赛3


高中物理奥赛 第三讲 习题课
1、如图 7 所示,在固定的、倾角为α 斜面上,有一块可以转动 的夹板 (β 不定) , 夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均质球 体,试求:β 取何值时,夹板对球的弹力最小。 解说:法一,平行四边形动态处理。 对球体进行受力分析,然后对平行四边形中的矢量 G 和 N1 进行平移,使它们构成一个三角形,如图 8 的左图和中图所示。 由于 G 的大小和方向均不变,而 N1 的方向不可变,当β 增 大导致 N2 的方向改变时,N2 的变化和 N1 的方向变化如图 8 的 右图所示。 显然,随着 β 增大, N1 单调减小,而 N2 的大 小先减小后增大,当 N2 垂直 N1 时,N2 取极小值, 且 N2min = Gsinα 。 法二,函数法。 看图 8 的中间图,对 这个三角形用正弦定理, 有:

N2 G = , 即: sin ? sin ?
N2 =

G sin ? ,β 在 0 到 180°之间取值,N2 的极值讨论是很容易的。 sin ?

答案:当β = 90°时,甲板的弹力最小。 2、把一个重为 G 的物体用一个水平推力 F 压在竖直的足够高的墙壁上,F 随时间 t 的变化 规律如图 9 所示,则在 t = 0 开始物体所受的摩擦力 f 的变化图线是图 10 中的哪一个?

解说:静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题,但本题是一个例外。物体在竖直 方向的运动先加速后减速,平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定 律,是本题授课时的难点。 静力学的知识,本题在于区分两种摩擦的不同判据。 水平方向合力为零,得:支持力 N 持续增大。 物体在运动时,滑动摩擦力 f = μ N ,必持续增大。但物体在静 止后静摩擦力 f′≡ G ,与 N 没有关系。

对运动过程加以分析,物体必有加速和减速两个过程。据物理常识,加速时,f < G , 而在减速时 f > G 。 答案:B 。 3、如图 11 所示,一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半径为 R 的光滑大环上,另一轻质 弹簧的劲度系数为 k ,自由长度为 L(L<2R) ,一端固定在大圆环的顶点 A ,另一端与小 球相连。环静止平衡时位于大环上的 B 点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ 。 解说:平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论,解三角形的典型思 路有三种:①分割成直角三角形(或本来就是直角三角形) ;②利用正、余弦定理;③利用 力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。 分析小球受力→矢量平移,如图 12 所示,其中 F 表示弹簧弹力,N 表示大环的支持力。 (学生活动)思考:支持力 N 可不可以沿图 12 中的反方向? (正交分解看水平方向平衡——不可以。 ) 容易判断,图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形Δ AOB 是 相似的,所以:

F AB ? G R
由胡克定律:F = k( AB - R) 几何关系: AB = 2Rcosθ 解以上三式即可。 答案:arccos



⑵ ⑶

kL 。 2(kR ? G )

(学生活动)思考:若将弹簧换成劲度系数 k′较大的弹 簧, 其它条件不变, 则弹簧弹力怎么变?环的支持力怎么变? 答:变小;不变。 (学生活动)反馈练习:光滑半球固定在水平面上,球 心 O 的正上方有一定滑轮,一根轻绳跨过滑轮将一小球从图 13 所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。 试判断: 在此过程中, 绳子的拉力 T 和球面支持力 N 怎样变化? 解:和上题完全相同。 答:T 变小,N 不变。 4、如图 14 所示,一个半径为 R 的非均质圆球,其重心不在球心 O 点,先将它置于水平地面 上, 平衡时球面上的 A 点和地面接触; 再将它置于倾角为 30°的粗糙斜 面上, 平衡时球面上的 B 点与斜面接触, 已知 A 到 B 的圆心角也为 30°。 试求球体的重心 C 到球心 O 的距离。 解说:练习三力共点的应用。 根据在平面上的平衡, 可知重心 C 在 OA 连线上。 根据在斜面上的平 衡,支持力、重力和静摩擦力共点,可以画出重心的具体位置。几何计 算比较简单。

答案:

3 R 。 3

(学生活动) 反馈练习: 静摩擦足够, 将长为 a 、 厚为 b 的砖块码在倾角为θ的斜面上, 最多能码多少块? 解:三力共点知识应用。 答:

a ctg ? 。 b

4、两根等长的细线,一端拴在同一悬点 O 上,另一端各系一个小球,两球的质量分别为 m1 和 m2 ,已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线 张开一定角度,分别为 45 和 30°,如图 15 所示。则 m1 : m2 为多少? 解说:本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。 对两球进行受力分析,并进行矢量平移,如图 16 所示。

首先注意,图 16 中的灰色 三角形是等腰三角形, 两底角相 等,设为α 。 而且,两球相互作用的斥力 方向相反,大小相等,可用同一 字母表示,设为 F 。 对左边的矢量三角形用正 弦定理,有:

m 1g F = sin 45? sin ?



同 理 , 对 右 边 的 矢 量 三 角 形 , 有 : ② 解①②两式即可。 答案:1 : 2 。

m 2g sin ?

=

F sin 30?

(学生活动)思考:解本题是否还有其它的方法? 答:有——将模型看成用轻杆连成的两小球,而将 O 点看成转轴,两球的重力对 O 的力 矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。 应用:若原题中绳长不等,而是 l1 :l2 = 3 :2 ,其它条件不变,m1 与 m2 的比值又将 是多少? 解:此时用共点力平衡更加复杂(多一个正弦定理方程) ,而用力矩平衡则几乎和“思 考”完全相同。

答:2 :3 2 。 5、如图 17 所示,一个半径为 R 的均质金属球上固定着一根长为 L 的轻质细杆,细杆的左 端用铰链与墙壁相连, 球下边垫上一块木板后, 细杆恰好水平, 而木板下面是光滑的水平面。 由于金属球和木板之间有摩擦(已知摩擦因素为μ ) ,所以要将木板从球下面向右抽出时, 至少需要大小为 F 的水平拉力。试问:现要将木板继续向左插进一些,至少需要多大的水 平推力? 解说:这是一个典型的力矩平衡的例题。 以球和杆为对象,研究其对转轴 O 的转动平衡, 设木板拉出时给球体的摩擦力为 f ,支持力为 N , 重力为 G ,力矩平衡方程为: f R + N(R + L)= G(R + L) ① 球和板已相对滑动,故:f = μ N ② 解①②可得:f =

?G (R ? L) R ? L ? ?R

再看木板的平衡,F = f 。 同理,木板插进去时,球体和木板之间的摩擦 f′=

?G (R ? L) = F′。 R ? L ? ?R

答案:

R ? L ? ?R F 。 R ? L ? ?R


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