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2009年甘肃省高中数学说课竞赛稿:同角三角函数的基本关系(徽县一中)


同角三角函数的基本关系(1)

陇南市 徽县一中

李真

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说课提纲
?教材分析 ?学生分析 ?教法学法 ?教学过程 ?板书设计 ?教学评价
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/> 教材分析
? 教材的地位和作用:
同角三角函数基本关系是人教版高中数学 第四章第四节内容,是学生学习了三角函数定 义后,安排的一节继续深入学习的内容,是求 三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等 式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教 材中起着承上启下的作用。同时,它体现的数 学思想与方法在整个中学数学学习中都有着重 要的作用。
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教材分析
? 教学目标:
知识与技能目标:让学生理解公式的推导过程,熟练掌握
同角三角函数的基本关系,并能在已知某角的一个三角函数 值的情况下,求出其他的三角函数值。

过程与方法目标:通过公式的推导、证明和应用培养学生
逻辑推理能力;通过例题与练习的教学提高学生运算能力和 分析解决问题的能力;通过用单位圆推导公式培养学生用数 形结合思想处理数学问题的能力;培养学生由“特殊结论— —猜想一般规律——进而严格证明”的科学思维方式。

情感、态度与价值观目标:培养学生积极参与大胆探索
的精神;让学生通过自主学习体验学习的成就感,培养学生学 习数学的兴趣和信心。
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教材分析
? 教学重点:同角三角函数基本关系式及在求
值中的应用。

? 教学难点:同角三角函数关系式在解题中的
灵活选取,及使用公式时由函数值正负号的选 取而导致的角的范围的分类讨论是本节课的难 点。

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学生分析
? 学生已学习了三角函数的定义,三角函数值在各象限 的符号特征,三角函数的定义域等知识,这为本节课 学习奠定了必要的知识基础。

? 经过长期的训练,学生已具备了一定的数学建模能力, 并能进一步猜想、探讨和证明,这为本节课的学习奠 定了良好的思想基础和能力基础。
? 这节课准备在本年级基础较好的班中进行,学生思维 大胆活跃,求知欲较强。

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教法学法
? 教学方法:
本节课总的教学指导思想是:
教学方法:
建构主义认为数学学习不是一个“授予----吸收”的过程, 而是让学生主动观察、思考、归纳、推理的构建过程。因此本节 课采取启发探究式教学方法,在教学中提出问题、创设情景、 引导学生观察、思考、归纳、推理、讨论、总结,让学生做学习 的主人,在主动探究中汲取知识,提高能力,培养学习兴趣。 为加强学生对知识的理解与应用,教学中让讲练有机结合, 边学边练边巩固。同时使用多媒体教学,增强教学的直观性, 增大课堂容量,提高课堂效率。
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“诱导探究,充分发挥学生的主动性,让学生做学习的主人” 。

教法学法
? 学法指导:
教师的“教”不仅要让学生“学会知识”,更主要的 是要让学生“会学知识”,因此,在本节课的教学当中, 通过情境引入,引导学生主动参与,鼓励学生自主的探 究、交流、讨论、获取,并指导学生观察分析,类比归 纳,形成有价值的知识和经验,使传授知识和培养能力 融为一体,真正实现本节课的教学目标。

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教学过程
①课题引入 ②复习回顾

③探究应用
④总结升华

⑤作业布置
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教学过程

①课题引入

为引起学生学习的兴趣,拉近师生间的距离,我从 “同角关系”入手用理论界闻名的“蝴蝶效应”设置情境, 激发兴趣,引入新课。 气象学家洛伦兹1963年提出一种观点:南美洲亚马逊 河流域热带雨林中的一只蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可能 在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界 闻名的“蝴蝶效应”, 此效应本意是说事物初始条件的 微弱变化可能会引起结果的巨大变化。蝴蝶扇翅膀成为龙 卷风的导火索。从中我们还可以看出,南美洲亚马逊河流 域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是 毫不相干的两种事物,却会有这样的联系,这也正验证了 哲学理论中事物是普遍联系的观点。既然感觉毫不相干的 事物都是相互联系的,那么“同一个角”的三角函数一定 会有非常密切的关系!到底是什么关系呢?这就是这节课 的课题——同角三角函数的基本关系。
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教学过程
y sin ? ? r

②复习回顾
y

<1>三角函数定义是什么?
x cos ? ? r
sec ? ? r x

y tan ? ? x
csc? ? r y

P(x,y)
r o x

x cot ? y

<2>三角函数在各象限的符号有什么特征?
+ ?
o

+ ?
sin ?

?
?
o

+
+
cos?

?
+
o

+
?
tan ?

<3>正弦、余弦、正切函数的定义域各是什么?
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教学过程
(1)

③探究应用
你能证明 吗?

首先让学生做以下三组题目:
sin 2 900 ? cos2 900 ? ? sin 2 300 ? cos2 300 ? ?
sin 2 450 ? cos2 450 ? ?
(2)

sin 300 0 ? ? tan30 ? ? cos300
tan600 ? cot 600 ? ?

sin 600 ?? 0 cos60

tan600 ? ?
你能用语言 叙述这个规 律吗?

(3)

tan300 ? cot300 ? ?
你能用代数式 表示这个规律 吗?

你发现了什 么规律?

在公式的探究中,为了突出让学生自己发现规律,体验成功,我采取了 “特殊例子结论----学生归纳猜想一般规律---严格证明”的方式。 题目做完以后我将向学生提出三个带有挑战性的问题 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究

教学过程
sin ? ? cos ? ? 1
2 2

③探究应用
哇!这就 是基本关 系
? k? )

学生通过观察、探究、讨论会很容易的猜测到:
( ? ? R)
(? ?

sin ? ? tan ? cos ?

?
2

? k? )

tan ? ? cot ? ? 1

(? ? k?且? ?

?
2

怎么证明公式?

①定义法

②单位圆法

根据三角函数定义,公式中的角有什么限制?
新课标强调要注重培养学生的观察、思考、探索、推理的能力。本题 组通过设置问题串,使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学 符号表示、并给出证明这一重要的数学探索过程。
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教学过程
公式的四点注意:

③探究应用

1、三个公式中一个平方关系,一个商数关系,一个倒数关系。要求记熟。
2 sin 2 2、同角的理解:应突出“同角”两字。如:4? ? cos 4? ? 1 (√)

sin 2 (? ? ? ) ? cos2 (? ? ? ) ? 1 (×)
2 3、sin 2 ? 是 (sin? ) 2 的简写形式,与 sin ? 不同

4、公式可以变形使用:

哇!还有 变形!

sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ?

sin ? ? tan ? ? cos ?
1 cot ? ? tan ?

cos ? ?

sin ? tan ?

1 tan ? ? cot ?

应指出这几个变形式和三个基本式同等重要,应用时应灵活选取。帮助学生形 成知识链,并使学生认识到事物是相互联系的,相互转化的辩证唯物主义观点。 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究

教学过程
例题及练习题的设置

③探究应用

例1 (1) 已知sinα= 4 , 且α是第二象限的角,求 5 cosα,tanα,cotα (2)已知sinα= 4 ,求cosα,tanα,cotα
5

题 组 教 学 突 破 难 点

练习① 已知 cos ? ? ?

8 ,求sinα, tanα,cotα 17

例2 (1)已知tanα=-3, α是第二象限的角,求sinα, cosα (2) 已知tanα=-3, 求sinα, cosα (3)已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα,cosα 练习②已知 tan? ? ? 3 ,求cosα, sinα,cotα
在例题的设置中,我突出了以下两个切合实际的做法:①为达到讲练 结合、随堂巩固的目的,我采取了每个例题后随即设置对应练习的做法。 ②我在教材基础上进行了两个变化,一是把课本例1例2合并为一个例题; 二是把课本例3进行了改编,这样更符合学生由简单到复杂,由具体到抽象, 由特殊到一般的认知规律。
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讲 练 结 合 巩 固 新 知

教学过程
例1的教学

③探究应用

题 组 教 学 突 破 难 点

例1 (1) 已知sinα= 4 , 且α是第二象限的角求 5 cosα,tanα,cotα (2)已知sinα= 4,求cosα,tanα,cotα
5

练习① 已知 cos ? ? ?

8 ,求sinα, tanα,cotα 17

在例1的教学中,我首先让学生思考选取适当的公式,探寻解题的 思路,学生主动回答,让其他同学评价,然后老师强调,特别是强调 正负号的选取,并用多媒体课件展示严格步骤。 例1的问题(1)解决后,对比例题(2)学生发现,是把(1)中的“且 α是第二象限的角”条件去掉而成,通过教学,一方面使学生明确求 值时,角的范围优先考虑是三角函数解题的基本策略,自然突破了本 节的难点;另一方面,强化了学生分类讨论的意识。练习①
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讲 练 结 合 巩 固 新 知

教学过程
例2的教学

③探究应用

例2 (1)已知tanα=-3, α是第二象限的角,求sinα, cosα (2) 已知tanα=-3, 求sinα, cosα 突 破 (3)已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα,cosα
?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ? 的方法求解 对(1) (2)两问,学生可能会提出用列方程组 ? sin ? ? ?3 ? cos? 讲 ?

题 组 教 学

练习②已知 tan? ? ? 3 ,求cosα, sinα,cotα

难 点

sin 2 ? 2 也有学生可能会提出利用 t an ? ? cos2 ?

sin 2 ? t an ? ? 来求解 1 ? sin 2 ?
2

练 结 合 巩 固 新 知

在教学中我将期待着这两种方法的出现,对两种思路都给予肯定和 评价。 对(3)要强调,tanα≠0条件是必须有的,同时结果要写成分 类讨论的形式。
练习②
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教学过程
课堂总结:

④总结升华

1.这节课你学到了哪些公式,它们是怎么来的?

2.这 课你了解了哪些数学思想方法?
特殊 一般 证明 分类讨论的细想

3.你学到了求三角函数的哪些策略方法,容易 出现的错误是什么?
通过小结使本节知识系统化,使学生深刻理解公式在解 题中的地位和作用,培养学生认真总结的学习习惯,使学生 在知识,能力、情感三个维度得到提高,并为下节课的学习 提供改进方向。
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教学过程
必做题:

⑤作业布置

1、习题4.4中1、(1)(3),2,3,4。 2、用单位圆的数形结合法证明公式一、二。 选做题: 完成资料书《优化设计》中的探究题第二题

为照顾学生个体差异,满足多样化学习的需要,我采用分 层布置作业,设计必做题和选做题,既巩固所学知识,又给 学有余力的同学以发展空间,使不同程度的同学都得到提高
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板书设计
同角三角函数的基本关系(1)
三个关系 ………………… 注意:①②③④ ………….. 公式变式:…… 例1 (1) …………
(2)

例2 (1) ……………. (2)…………….
(3)……………..

…………

练习① ……….

练习② …………

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教学评价
建构主义认为:知识不是被动接受的,而是认知 主体积极主动构建的。本课的教学设计正是在这种教 学理念指导下,通过情境引入,以尝试、提问、练习 等方式,在探究过程中,层层深入,充分挖掘思维的 深度和广度,讲练结合,关注整个过程和全体学生, 提高学生学习数学的积极性。使学生既掌握了知识, 又形成了能力,陶冶了情操。 通过对学生的语言行为给予肯定的评价和对暴露 问题的及时纠正,培养学生主动交流、合作探究的学 习习惯和虚心求教、严谨治学的数学情操。 通过分层作业,贯彻了因材施教的教学原则,使 不同层次的学生得到了应有的发展。
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结束语
教师之为教,不在全盘授予,而在相机诱导
─陶行知

尊敬的各位评委、各位教师,以上是我对本节课的教学预设。具体 的教学过程,还要根据学生在课堂中的具体情况适当调整,向生成性课 堂教学转变。最后,让我用我国伟大教育家陶行知先生的一句名言来结 束我今天的说课 。
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