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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第5章 平面向量的概念及其线性运算 理


2014 届高考数学(理)一轮复习 5 平面向量的概念及其线性运算
一、选择题 1.若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( A. EF = OF + OE )

??? ?
??? ?

??? ?

??? ?
??? ?
??? ?

B. EF = OF - OE

??? ?

??? ?

??? ?
??? ?

C. EF =- OF + OE

??? ?

D. EF =- OF - OE

??? ?

??? ?

解析:由减法的三角形法则知 EF = OF - OE . 答案:B 2. 在△ABC 中, 为边 BC 上任意一点, 为 AM 中点,AN =λ AB +μ AC , λ +μ 的值为( M N 则 A. C. 1 2 1 4 B. 1 3

??? ?

??? ?

????

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??? ?

)

D.1

解析:∵M 为边 BC 上任意一点, ∴可设 AM =x AB +y AC (x+y=1). ∴N 为 AM 中点,

???? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? ???? 1 ???? 1 ??? 1 ??? ? ? ??? ? ∴ AN = AM = x AB + y AC =λ AB +μ AC . 2 2 2
1 1 ∴λ +μ = (x+y)= . 2 2 答案:A 3.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA =2 BP ,则( A.P、A、B 三点 共线 C.P、B、C 三点共线 B.P、A、C 三点共线 D.以上均不正确

??? ?

??? ?

??? ?

)

??? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 解析:∵ BC + BA =2 BP ,∴ BC - BP = BP - BA . ??? ??? ? ? 即 PC = AP ,
∴P、A、 C 三点共线. 答案:B 4.已知点 O,N 在△ABC 所在平面内,且| OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC =0,则点 O,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

N 依次是△ABC 的(
A.重心 外心 C.外心 重心

) B.重心 内心 D.外心 内心

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ???? 解析:由| OA |=| OB |=| OC |知,O 为△ABC 的外心; NA + NB + NC =0,知,N 为△ABC 的
重心.
1

答案:C 5.如图, 已知 AB =a,AC =b,BD =3 DC , a, 表示 AD , 用 b ( ) 3 A.a+ b 4 1 3 B. a+ b 4 4 1 1 C. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

则 AD =

??? ?

??? ? ??? ??? ? ???? ??? 1 ??? 1 ? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? 解析:CB = AB - AC =a-b,又 BD =3 DC ,∴ CD = CB = (a-b),∴ AD = AC + CD = 4 4
b+ (a-b )= a+ b.
答案:B 6.已知△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于 E、F 两点,若 AB =λ AE (λ >0), AC =μ AF (μ >0),则 A.9 C.5 1 4 1 4 3 4

??? ?

??? ?

??? ?

????

1 4 + 的最小值是( λ μ 7 2 9 2

)

B. D.

解析:由题意得, AB + AC =2 AD =λ AE +μ AF ? AD =

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

? μ ???? λ ??? AE + AF ,又 D、E、F 在同 2 2

λ μ 1 4 λ μ 1 4 5 2λ μ 5 9 一条直线上,可得 + =1.所以 + =( + )( + )= + + ≥ +2= ,当且仅当 2λ = 2 2 λ μ 2 2 λ μ 2 μ 2λ 2 2 μ 时取等号. 答案:D 二、填空题 7.设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 解析:设 a=(x,y),x<0,y<0,则 x-2y=0 且 x +y =20,解得 x=4,y=2(舍去),或者 x=- 4,y=-2,即 a=(-4,-2). 答案:(-4,-2) 8.设 a,b 是 两个不共线的非零向量,若 8a+kb 与 ka+2b 共线,则实数 k=________. 解析:因为 8a+kb 与 ka+2b 共线,所以存在实数 λ ,使 8a+kb=λ (ka+2b),即(8-λ k)a+(k-
2 2

2

? ?8-λ k=0, 2λ )b=0.又 a,b 是两个不共线的非零向量,故? ?k-2λ =0, ?

解得 k=±4.

答案:±4 9.如图所示,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个 部分Ⅰ、Ⅱ、 则实数 a , b

??? ? ??? ? ??? ? Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若 OP =a OP 1 +b OP 2 ,且点 P 落在第Ⅲ部分,
满足

a___ _____0,b________0(用“>”,“<”或“=”填空).
解析:由于点 P 落在第Ⅲ部分,且 OP =a OP 1 +b OP 2 , 则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知 a>0,b<0. 答案:> < 三、解答题

??? ?

??? ?

??? ?

??? 2 ??? ? ? 10.△ABC 中, AD = AB ,DE∥BC 交 AC 于 E,BC 边上的中线 AM 3
??? ? ? ??? ? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? AB =a, AC =b,用 a、b 表示向量 AE 、 BC 、 DE 、 DN 、 AM 、 ? ??? ? ??? ? DE ∥ BC , ? ??? 2 ??? 2 ? ? ? 2 ??? ? 解: ? ??? ? AE = AC = b, 3 3 ? AD =3 AB ? ??? ??? ? ? ??? ? BC = AC - AB =b-a. ? ??? 2 ??? 2 ? 由△ADE∽△ABC,得 DE = BC = (b-a).
3 3 又 AM 是△ABC 的中线,DE∥BC,

交 DE 于 N.设

???? AN .

???? 1 ??? 1 ? 得 DN = DE = (b-a). 2 3
? ???? 1 ??? ? ? ??? 1 又 AM = ( AB + AC )= (a+b). 2 2

? ???? ???? ? ? ??? 2 ??? ?? AN =2 AM =1(a+b). ? ? 3 3 AD = AB ? 3 ? ??? ? ??? ? ??? ? 11.已知 OB =λ OA +μ OC (λ 、μ 为实数),若 A、B、C 三点共线,求证 λ +μ =1. ??? ? ??? ? ??? ? 证明:∵ OB =λ OA +μ OC ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ∴ AB = OB - OA =(λ -1) OA +μ OC ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? CB = OB - OC =λ OA +(μ -1) OC
△ADN∽△ABM 又∵A、B、C 三点共线 ∴ AB =k CB
3

??? ?

??? ?



λ -1 μ = =k λ μ -1

∴λ +μ =1. 12.已知△AB C 中, AB =a, AC =b,对于平面 ABC 上任意一点 O,动点 P 满足 OP = OA +λ a + λ b,则动点 P 的轨迹是什么 ?其轨迹是否过定点,并说明理由. 解: 依题意, OP = OA +λ a+λ b, OP - OA =λ (a+b), AP 由 得 即

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?



? ??? ??? ? λ ( AB + AC ).如图,以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ABDC,对角线交于 ??? ? =λ AD ,
∴A、P、D 三点共线,即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线, 由图可知 P 点轨迹必过△ABC 边

??? ? O,则 AP

BC 的中点

4


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