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山东省日照市2013届高三3月第一次模拟考试数学理试题(word版)


山东省日照市 2013 届高三 3 月第一次模拟考试数学理 试题(word 版)
2013.03 本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每

小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带 纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? x lg x ? 0 , N ? x x ? 2 , 则M ? N ? A. ?1, 2? B. ?1, 2? C. ?1, 2 ? D. ?1, 2?

?

?

?

?

2.在复平面内,复数 z ? A.第一象限
2

i 所对应的点在 1? i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限
2

3.若 PQ 是圆 x ? y ? 9 的弦,PQ 的中点是(1,2)则直线 PQ 的方程是 A. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. x ? 2 y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 0

4.已知命题 p : “ 1, b,9 成等比数列” ,命题 q: “b=3” ,那么 p 成立是 q 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又非必要条件

5.已知函数 y ? sin ax ? b ? a ? 0? 的图象如右图所示, 则 函数 y ? loga ? x ? b ? 的图象可能是

第 1 页 共 12 页

6. 已 知 函 数

f ? x? 是

R

上 的 偶 函 数 , 若 对 于 x?0 , 都 有

f ? x ? 2? ? f ? x ? , 且 当x ??0 ,?时 2
为 A. ?2 B. ?1 C.1

f ? ,? x?

2

xg 1 ? l o??,则 f ? ?2013? ? f ? 2012 的值 ?

D.2

7.右图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为 8 2 的矩形.则该 几何体的表面积是 A. 20 ? 8 2 C.8
3

B. 24 ? 8 2 D.16

8.设 ? A.

?1 2? ? x ? 的展开式中的常数项为 a ,则直线 y ? ax 与曲线 y ? x2 围成图形的面积为 ?x ?
B.9 C.

27 2

9 2

D.

27 4

9.已知实数 x ??1,9? ,执行如右图所示的流程图,则输出的 x 不小于 55 的概率为 A.

5 8

B.

3 8

C.

2 3

D.

1 3

? y ? 1, ? 10.实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最 ? x ? y ? m. ?
小值为 ?2 ,则实数 m 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 11.如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若动点 P 从点 A 出发,沿正方形的边按逆时针方 向运动一周回到 A 点,其中 AP ? ? AB ? ? AE ,下列判 断正确的是 .. A.满足 ? ? ? ? 2 的点 P 必为 BC 的中点 C. ? ? ? 的最大值为 3 B.满足 ? ? ? ? 1 的点 P 有且只有一个 D. ? ? ? 的最小值不存在
第 2 页 共 12 页

??? ?

??? ?

??? ?

12. 定 义 域 为

R

的 函 数

f ? x? 满 足 f

?

x 2? ? 2 ? f ? 当 ? x,

, , ??x ?0 时 2

? x 2 ? ,x ?x? 0 ?, 1 , ? t 1 ? 3 x? f ? x? ? ? 若 x?? ?4, ?2? 时, f ? x ? ? ? 恒成立,则实数 t 的取值 1? 2 ? 4 2t ?? ? ? , x ? ? 1 ?, 2 , ? ?2? ?
范围是 A. ? ?2,0? ? ? 0,1? B. ? ?2,0? ? ?1, ??? C. ? ?2,1? D. ? ??, ?2? ? ? 0,1?

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知 sin ? ?

3 ,且 ? 为第二象限角,则 tan ? 的值为_____________. 5

14.某商场在庆元宵促销活动中,对元宵节 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示, 已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为_____万元. 15.记 Sk ? 1k ? 2k ? 3k ???? ? nk ,当k ? 1, 2,3, ?时, 观 察下列 等式: S1 ?

1 2 1 1 1 1 n ? n, S2 ? n3 ? n 2 ? n , 2 2 3 2 6 1 1 1 1 1 1 1 S 3 ? n 4 ? n 3 ? n 2 , S 4 ? n 5 ? n 4 ? n 3 ? n, 4 2 4 5 2 3 30 1 5 S5 ? An6 ? n5 ? n 4 ? Bn 2 , ??? ,可以推测, A ? B ? _______. 2 12

16.给出下列四个命题: ①若 x ? 0 ,且 x ? 1 则 lg x ?

1 ? 2 ;②设 x, y ? R ,命题“若 xy ? 0, 则x2 ? y 2 ? 0 ”的 lg x

否命题是真命题;③若函数 y ? f ? x ? 的图象在点 M 1, f ?1? 处的切线方程是 y ?
2

?

?

1 x?2, 2

则 f ?1? ? f ? ?1? ? 3 ; ④ 已 知 抛 物 线 y ? 4 px ? p ? 0? 的 焦 点 F 与 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点重合,点 A 是两曲线的交点, AF ? x 轴,则双曲线 a 2 b2
的离心率为 2 ? 1 . 其中所有真命题的序号是________________. ... 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分)
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在 ?ABC 中 , 角

A , B , C

所 对 的 边 分 别 为

a,b,c, 若 向 量

1 m ? ? ? cos B,sin C ? , n ? ? ? cos C , ? sin B ? , 且m ? n ? . 2
(I)求角 A 的大小; (II)若 b ? c ? 4, ?ABC 的面积 S ? 3 ,求 a 的值. 18.(本小题满分 12 分) 某工厂生产甲,乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为合格品,小 于 82 为次品.现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测,检测结果统计如下:

(I)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率; (II)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件芯片乙, 若是合格品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(I)的前提下, (i)记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期 望; (ii)求生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元的概率. 19.(本小题满分 12 分) 如图,PDCE 为矩形,ABCD 为梯形,平面 PDCE ? 平 面 ABCD ,

1 ?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? AD ? CD ? a, PD ? 2a. 2
(I)若 M 为 PA 中点,求证:AC//平面 MDE; (II)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小. 20.(本小题满分 12 分) 若数列 ?bn ? :对于 n ? N ,都有 bn? 2 ? bn ? d (常数) ,则称数列 ?bn ? 是公差为 d 的准等
?

差数列.如:若 cn ? ?

?4n ? 1,当n为奇数时; ?4n ? 9,当n为偶数时.

则?cn ? 是公差为 8 的准等差数列.
?

(I)设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N ,都有 an ? an?1 ? 2n .求证:?an ? 为准等差数 列,并求其通项公式: (II)设(I)中的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,试研究:是否存在实数 a ,使得数列 Sn 有连 续的两项都等于 50.若存在,请求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 13 分)

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已知长方形 ABCD, AB ? 2 2, BC ?

3 . 3

以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标 系 xOy . (I)求以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆 P 的标准方程; (II)已知定点 E(—1,0) ,直线 y ? kx ? t 与椭圆 P 交于 M、N 相异两点,证明:对作意 的 t ? 0 ,都存在实数 k,使得以线段 MN 为直径的圆过 E 点. 22.(本小题满分 13 分) 已知函数 g ? x ? ?

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax . ln x

(I)求函数 g ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值;
2 (III)若 ?x1 , x2 ? ? e, e ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a 成立,求实数 a 的取值范围. ? ?

2013 届高三模拟考试

理科数学参考答案及评分标准

2013.3

说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,均应参照本标准相应评分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1—5 ABABC 6—10CACBD 11—12CD

(1)解析:答案 A. M ? {x lg x ? 0} ? {x x ? 1} , N ? {x ?x || x |? 2?} ? {x ?2 ? x ? 2} ,所 以 M ? N ? {x 1 ? x ? 2} ,选 A. (2)解析:答案 B. z ?

1 1 i i(1 ? i) ?1 ? i ? ? ,其对应点 ( ? , ) 为第二象限点.选 B. 2 2 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

(3) 解 析 : 答 案 A. 因 为 弦 的 中 垂 线 过 圆 心 , 故 (1, 2) 在 直 线 PQ 上 , 故 排 除 B, C , 又

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OP ? PQ , OP 的斜率为 2 , PQ 的斜率为 ?

1 ,排除 D,选 A. 2

2 (4) 解析:答案 B. 1, b,9 成等比数列,则有 b ? 9 ,所以 b ? ?3 ,所以 p 成立是 q 成立的

不充分条件.当 b=3 时, 1, b,9 成等比数列,所以 p 成立是 q 成立必要不充分,选 B.

? 的 (5) 解 析 : 答 案 C. 由 函 数 y ? s i na x? b ( a 0 ) 图 像 可 知 , 0 ? b ? 1 且 函 数 y ? s i na x? b ( a 的周期大于 2π ,因此 0 ? a ? 1 .易知选 C . ? 0)
(6) 解 析 : 答 案 C. 由 函 数 f ( x ) 是 R 上 的 偶 函 数 及 x ? 0 时 f ( x ? 2) f ( x) 得 ?

f (?2013) ? f (2012) ? f (2013) ? f (0) ? f (1) ? f (0) ? log2 2 ? log 21 ? 1. 故选 C.
(7)解析:答案 A.由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱,根据三视图的性质, 俯视图的矩形宽为 2 2 ,由面积 8 2 得长为 4,则 1 ? S ? S + 2 S = 8 2 + 2 ?)2 4 ? 2 ? 2 + 侧 底 ( 2
?2 = 20? 8 2 .选 A. 2

2 3 2 (8)解析:答案 C.∵ ( + x ) 的展开式中的常数项为 C3 ,即 a ? 3 .

1 x

? y ? x2 , 解? 得 x ? 0 或 x ? 3 ,由定积分的几何意义知,直线 y ? 3x 与曲线 y ? x2 围成图形 y ? 3 x, ?
的面积为

?

3 (3x ? x 2 )dx = x 2 0 2
3

3 0

1 ? x3 3

3 0

?

27 9 ? 9 ? .选 C. 2 2

(9)解析:答案 B.由 2[2(2 x ? 1) ? 1] ? 1 ? 55 ,得 x ? 6 ,由几何概型知,输出的 x 不小于 55 的 概率为

9?6 3 ? .选 B. 9 ?1 8

(10)解析:答案 D.先做出 ? y ? 1,

在三角形 ABC 区域内,由 z ? x ? y 得 y ? x ? z 可知, 直线的截距最大时, z 取得最小值,此时直线为 y ? x ? (?2) ? x ? 2 ,作出直线 y ? x ? 2 ,交 y ? 2 x ? 1 于 A 点,由图象可知,目标函数在该点取得最小值,

? ? y ? 2x ?1

的区域如图,可知
5

y A
y ? ?x ? 8

? y ? 2x ?1 所以直线 x ? y ? m 也过 A 点,由 ? , ?y ? x ? 2 ? x =3 得? ,代入 x ? y ? m 得, m ? 3 ? 5 ? 8 .选 D. ?y ? 5

y ? x?2

1 ?1 y ? 2x ?1

C
1

y ?1
3

B
x

O

(11) 解析:答案 C.由题意可知,? ? 0, ? ? 0 ,当 ? ? ? ? 0 时, ? ? ? 的最小值为 0,此时 P 点 与 A 点重合,故 D 错误.当 ? ? 1, ? ? 1 时, 点也可以在 D 点处, A 错误.当 ? ? 1, ? ? 0 , P 故

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? ? ? ? 1 时,P 点在 B 处,当 P 点在线段 AD 中点时 ? ? ? ? ,亦有 ? ? ? ? 1 .所以 B
错误. (12) 解析:答案 D.当 x ?[?4, ?2) ,则 x ? 4 ?[0,2) ,所以 f ( x) ?

1 2

1 1 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) 2 4

?1 ?1 2 2 ? 4 [( x ? 4) ? ( x ? 4)], x ? [ ?4, ?3) ? 4 ( x ? 7 x ? 12), x ? [?4, ?3) ? ? =? =? , ?? 1 (0.5) x ? 4?1.5 , x ? [?3, ?2) ?? 1 (0.5) x ? 2.5 , x ? [?3, ?2) ? 4 ? 4 ? ?
1 2 1 7 1 7 ( x ? 7 x ? 12) ? [( x ? ) 2 ? ] 的对称轴为 x = ? , 4 4 2 4 2 7 1 ∴当 x ?[?4, ?3) 时,最小值为 f (? )= ? ; 2 16 1 x ? 2.5 当 x ?[?3, ?2) 时, f ( x )= ? (0.5) , 4 1 当 x ? ?2.5 时,取最小值,最小值为 ? ; 4
当 x ?[?4, ?3) 时, f ( x)= 所以当 x ?[?4, ?2) 时,函数 f ( x ) 的最小值为 ?

1 1 t 1 t2 ? t ? 2 ,即 ? ? ? ,即 ? 0, 4 4 4 2t t
,解得 0 ? t ? 1 或 t ? ?2 ,即 t 的取值范

所以不等式等价于 ?

?t ? 0 ?t ? t ? 2 ? 0
2

或?

?t ? 0
2 ?t ? t ? 2 ? 0

围是 (??, ?2] ? (0,1] ,选 D. 二、本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

3 1 ; (14) 10 ; (15) ; (16)②③④. 4 4 3 4 sin ? 3 ?? . (13) 解析:答案 ? .因为 ? 为第二象限角,所以 cos ? ? ? , tan ? ? 4 5 cos ? 4 2.5 ? 0.4=10 (万元) (14) 解析:答案 10. 0.1 1 (15)解析:答案 .根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为 1;最高次项的 4 1 1 5 1 1 ? B ? 1 ,解得 B ? ? ,所以 A ? B ? . 系数为该项次数的倒数.∴ A ? , A ? ? 6 2 12 12 4 1 5 1 (16) 解析:答案②③④.易知①错误,②正确;对于③, y ? x ? 2 即 y ? ? ( x ? 1) , 2 2 2 5 1 所以 f (1) ? , f '(1) ? , f (1) ? f ' (1) ? 3 故③正确; 2 2 对于④,设双曲线的左焦点为 F ? ,连接 AF ? .
(13) ?
2 ∵ F 是抛物线 y ? 4 px 的焦点,且 AF ? x 轴,

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∴不妨设 A( p, y0 ) ( y 0 ? 0 ),得 y02 ? 4 p ? p, 得 y0 ? 2 p, A( p, 2 p) , 因此, Rt ?AFF ? 中, | AF |?| FF ? |? 2 p ,得 | AF ? | = 2 2 p ,

∴双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距 2c ?| FF ? |? 2 p ,实轴 2a ?| AF ? | ? | AF |? 2 p( 2 ?1) , a 2 b2
c 2c 2p ? ? ? 2 ? 1 .故④正确. a 2a 2 p( 2 ? 1) 1 , 2 1 , 2
??????2 分

由此可得离心率为: e ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)解析:(Ⅰ)∵ m ? n ?

∴ cos B ? cos C ? sin B ? sin C ? 即 cos( B ? C ) ? ∴ cos A ? ?

1 1 ,∴ cos(π ? A) ? , 2 2

??????????4 分

1 . 2 2π . 3
??????????6 分

又 A? (0, π) ,∴ A ? (Ⅱ) S ?ABC ?

1 1 2π bc ? sin A ? bc ? sin ? 3, 2 2 3 ∴ bc ? 4 .
2 2 2

??????????8 分

又由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos

2π ? b2 ? c 2 ? bc , ??????10 分 3
??????????12 分

∴ a ? (b ? c) ? bc ? 16 ? 4 ? 12 , a ? 2 3 .
2 2

(18)解析: (Ⅰ)芯片甲为合格品的概率约为

40 ? 32 ? 8 4 ? , 100 5 40 ? 29 ? 6 3 ? . 芯片乙为合格品的概率约为 100 4

??????3 分

(Ⅱ) (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90, 45,30, ?15 .

4 3 3 P( X ? 9 0 ) ? ? ; ? 5 4 5 4 1 1 P( X ? 30) ? ? ? ; 5 4 5
所以,随机变量 X 的分布列为:

1 3 3 P( X ? 45) ? ? ? ; 5 4 20 1 1 1 P( X ? ?15) ? ? ? . 5 4 20

X

90

45

30

?15

第 8 页 共 12 页

3 1 3 1 5 5 20 20 3 3 1 1 EX ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? ? (?15) ? ? 66 . 5 20 5 20

P

??????8 分

(ⅱ)设生产的 5 件芯片乙中合格品有 n 件,则次品有 5 ? n 件. 依题意,得 50n ? 10(5 ? n) ? 140 , 所以 n ? 4 ,或 n ? 5 . 设“生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元”为事件 A , 解得 n ?

19 . 6

3 4 1 3 5 81 ?( ) ? . 4 4 4 128 (19)解析:(Ⅰ)连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN , ∵ ?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中点 ,
则 P ( A) ? C5 ( ) ?
4

??????12 分

∴ MN ? AC

??????2 分 ??4 分

因为 MN ? 面 MDC ,又 AC ? 面 MDC ,所以 AC ? 平面 MDC
o (Ⅱ)∵ ?ADC ? 90 ,∴ AD ? DC ,

又 AD ? 平面 ABCD ,平面 PDCE ^ 平面 ABCD , ∴ AD ? 平面 PDCE ,又 PD ? 平面 PDCE ,∴ AD ? PD .??????6 分 以 D 为空间坐标系的原点,分别以 DA, DC , DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角 坐标系, P(0,0, 2a), B(a, a,0), C(0, 2a,0) , PB ? (a, a, ? 2a), BC(?a, a,0) , 则 设平面 PAD 的单位法向量为 n1 ,则可设 n1 ? (0,1,0) 设面 PBC 的法向量 n2 ? ( x, y,1) ,应有 ??????8 分

??? ?

??? ?

??? ? ?n2 ? PB ? ( x, y,1) ? (a, a, ? 2a) ? 0, ? ? ? ??? ?n2 ? BC ? ( x, y,1) ? (?a, a, 0) ? 0, ?
? ax ? ay ? 2a ? 0, ? ? ? ax ? ay ? 0, ?

即: ?

? 2 , ?x ? 2 2 ? 2 , ,1) ????????????11 分 解得: ? ,所以 n2 ? ( 2 2 2 ?y ? ? , ? ? 2 设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,

第 9 页 共 12 页

2 |n1 ? n2 | 1 ∴ cos ? ? ? 2 ? , |n1 | ? | n2 | 1? 2 2
∴? ?

π . 3

???????12 分

(20)解析:(Ⅰ) ? an ? an?1 ? 2n ( n ? N? )①

an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1)
所以, ?an ? 为公差为 2 的准等差数列. ②-①得 an?2 ? an ? 2 ( n ? N ) .
?



????3 分

?n ? ? 1? ? 2 ? n ? a , ?2 ? ? n ?1 ? 当 n 为奇数时, a n ? a ? ? ? 1? ? 2 ? n ? a ? 1 ; ? 2 ?
当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ?

( ?n ? a ? 1, n为奇数) ? an ? ? ?n ? a,  (n为偶数)

????6 分

n?n ? n?n ? ? ? 1? ? ? 1? n 2 2 ? n 2?2 ? 1 (Ⅱ)当 n 为偶数时, S n ? a ? ? ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? ? ? 2 ? n2 ; 2 2 2 2 2 n ?1? n ?1 ? n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 1? ? ? n ?1 2 ? 2 ? ? 2 ? ?2 ? a ? ? n ? 1 ? 2 ? 2 ??2 当 n 为奇数时, S n ? a ? ? 2 2 2 2

1 2 1 n ?a? . ????9 分 2 2 1 2 当 k 为偶数时, S k ? k ? 50 ,得 k ? 10 . 2 1 2 1 由题意,有 S 9 ? ? 9 ? a ? ? 50 ? a ? 10 ; 2 2 1 1 2 或 S11 ? ? 11 ? a ? ? 50 ? a ? ?10 . 2 2 当 a ? 10 时, S9 , S10 两项等于 50; 当 a ? ?10 时, S10 , S11 两项等于 50; 所以, a ? ?10 . ????12 分 ?
(21)解析: (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 (? 2, , ( 2, , ( 2, 0) 0)

3 ) 3

设椭圆的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 则 2a ? AC ? BC ? 2 3 ? 2,?a ? 3 . a 2 b2
????????5 分

x2 ?b ? a ? c ? 1 .∴椭圆的标准方程是 ? y 2 ? 1. 3
2 2 2

2 2 2 (Ⅱ)将 y ? kx ? t 代入椭圆方程,得 (1 ? 3k ) x ? 6ktx ? 3t ? 3 ? 0 ,由直线与椭圆有两

第 10 页 共 12 页

个交点,所以 ? ? (6kt) 2 ? 12(1 ? 3k 2 )(t 2 ? 1) ? 0 ,解得 k ?
2

t 2 ?1 . 3

设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

6kt 3(t 2 ? 1) , x1 ? x 2 ? ,????8 分 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

因为以 MN 为直径的圆过 E 点,所以 EM ? EN ? 0 ,即 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 , 而 y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) = k 2 x1 x2 ? tk ( x1 ? x2 ) ? t 2 ,所以

???? ??? ? ?

(k 2 ? 1)

3(t 2 ? 1) 6kt 2t 2 ? 1 ? (tk ? 1) ? t 2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? . ??????11 分 3t 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

如果 k ?
2

t 2 ?1 对任意的 t ? 0 都成立, 则存在 k , 使得以线段 MN 为直径的圆过 E 点. 3

(

2t 2 ? 1 2 t 2 ? 1 (t 2 ? 1) 2 ? t 2 t 2 ?1 ) ? ? ? 0 ,即 k 2 ? .所以,对任意的 t ? 0 ,都存 3t 3 3 9t 2
在 k 点. , 使

MN 为 直 得 以 线 段 ????????????13 分









E

(22)解析:由已知函数 g ( x), f ( x) 的定义域均为 (0,1) ? (1,??) ,且 f ( x ) ? 分

x ? ax . ??1 ln x

(Ⅰ)函数 g ?( x ) ?

ln x ? x ?

1 x ? ln x ? 1 , 2 (ln x) (ln x) 2

当 0 ? x ? e 且 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 . 所以函数 g (x) 的单调减区间是 (0,1), (1, e) ,增区间是 (e,??) . ??????3 分

1 (Ⅱ)因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数,故 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立. (ln x)
所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) max ? 0 .
1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? ? 1 ln x (ln x)

? ? ? ln1x ? a ? ? ? ln1x ? 1 ? ? 1 ? a , 2 4
2
2

故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . 4 ln x 2 所以 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 . 4 4 4 分 (Ⅲ)命题“若 ?x1 , x2 ? [e,e 2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于
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????????????6

“当 x ? [e, e 2 ] 时,有 f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ”. 由(Ⅱ) ,当 x ? [e, e 2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 问题等价于:“当 x ? [e, e 2 ] 时,有 f ( x)min ? 1 ”. 4 分
2 , 10 当 a ? 1 时,由(Ⅱ) f ( x) 在 [e,e ] 上为减函数,

????????????8

4

2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae2 ? 1 ,故 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e 2 4

20 当 a ? 1 时,由于 f ?( x) ? ?

4

? ln1x ? 1 ? ? 1 ? a 在 [e,e ] 上为增函数, 2 4
2

2

故 f ?( x) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e 2 )] ,即 [?a, 1 ? a] . 4 (i)若 ?a ? 0 ,即 a ? 0 , f ?( x) ? 0 在 [e,e 2 ] 恒成立,故 f ( x) 在 [e,e 2 ] 上为增函数, 于是, f ( x)min = f (e) ? e ? ae ? e> 1 ,不合题意. 4 分 (ii)若 ?a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ,由 f ?( x) 的单调性和值域知, 4 ????????10

? 唯一 x0 ? (e,e2 ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:
当 x ? (e, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 ,e2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函 数; 所以, f ( x)min = f ( x0 ) ?
x0 2 ? ax0 ? 1 , x0 ? (e,e ) . ln x0 4

所以, a ? 1 ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不合题意. 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 综上,得 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e ?????????????13 分

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