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2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一及详细答案


2014 年安徽省 168 中学自主招生考试数学模拟试卷一
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. ) . 1. (3 分)若不等式组 A.m>3 考点: 专题: 分析: 解答: B.m≥3 的解集是 x>3,则 m 的取值范围是( C.m≤3 ) D.m<3

解一元一次不等式组. 计算题. 先

解不等式组,然后根据不等式的解集,得出 m 的取值范围即可. 解:由 x+7<4x﹣2 移项整理得: ﹣3x<﹣9, ∴ x>3, ∵ x>m,
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又∵ 不等式组

的解集是 x>3,

∴ m≤3. 故选 C. 点评: 主要考查了一元一次不等式组解集的求法,将不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间 找,大大小小找不到(无解)逆用,已知不等式解集反过来求 m 的范围. 2. (3 分)如图,在△ ABC 中.∠ ACB=90°,∠ ABC=15°,BC=1,则 AC=( )

A.

B.

C.0.3

D.

考点: 特殊角的三角函数值. 分析: 本题中直角三角形的角不是特殊角,故过 A 作 AD 交 BC 于 D,使∠ BAD=15°,根据三角形内角和定理可求 出∠ DAC 及∠ ADC 的度数,再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可. 解答: 解:过 A 作 AD 交 BC 于 D,使∠ BAD=15°, ∵ △ ABC 中.∠ ACB=90°,∠ ABC=15°, ∴ ∠ BAC=75°, ∴ ∠ DAC=∠ BAC﹣∠ BAD=75°﹣15°=60°, ∴ ∠ ADC=90°﹣∠ DAC=90°﹣60°=30°,
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∴ AC= AD, 又∵ ∠ ABC=∠ BAD=15° ∴ BD=AD, ∵ BC=1, ∴ AD+DC=1,

设 CD=x,则 AD=1﹣x,AC= (1﹣x) , ∴ AD =AC +CD ,即(1﹣x) = (1﹣x) +x , 解得:x=﹣3+2 ∴ AC= (4﹣2 =2﹣ 故选 B. , )
2 2 2 2 2 2

点评: 本题考查的是特殊角的三角函数值,解答此题的关键是构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化. 注: (1)求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形. (2)求(已知)锐角三角函数值常根据定转化为求对应线段比,有时需通过等的比来转换. 3. (3 分) (2011?南漳县模拟)如图,AB 为⊙ O 的一固定直径,它把⊙ O 分成上,下两个半圆,自上半圆上一点 C 作弦 CD⊥ AB,∠ OCD 的平分线交⊙ O 于点 P,当点 C 在上半圆(不包括 A,B 两点)上移动时,点 P( )

A.到 CD 的距离保持不变 C. 等分

B. 位置不变 D.随 C 点移动而移动

考点: 专题: 分析: 解答:

圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系. 探究型. 连 OP,由 CP 平分∠ OCD,得到∠ 1=∠ 2,而∠ 1=∠ 3,所以有 OP∥ CD,则 OP⊥ AB,即可得到 OP 平分半圆 APB. 解:连 OP,如图, ∵ CP 平分∠ OCD, ∴ ∠ 1=∠ 2, 而 OC=OP,有∠ 1=∠ 3, ∴ ∠ 2=∠ 3, ∴ OP∥ CD, 又∵ 弦 CD⊥ AB, ∴ OP⊥ AB, ∴ OP 平分半圆 APB,即点 P 是半圆的中点. 故选 B.
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点评: 本题考查了圆周角定理.在同圆或等圆中,同弧和等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角是它所对

的圆心角的一半.也考查了垂径定理的推论. 4. (3 分)已知 y= A .2 ﹣1 + (x,y 均为实数) ,则 y 的最大值与最小值的差为( B.4﹣2 C.3﹣2 D.2 ) ﹣2

考点: 函数最值问题. 分析: 首先把 y= +
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两边平方,求出定义域,然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值,最

后求差. 解答: 解:∵ y= ∴ y =4+2
2

+

, =4+2× ,

∵ 1≤x≤5, 当 x=3 时,y 的最大值为 2 ,当 x=1 或 5 时,y 的最小值为 2, 故当 x=1 或 5 时,y 取得最小值 2, 当 x 取 1 与 5 中间值 3 时,y 取得最大值, 故 y 的最大值与最小值的差为 2 ﹣2, 故选 D. 点评: 本题主要考查函数最值问题的知识点,解答本题的关键是把函数两边平方,此题难度不大. 5. (3 分) (2010?泸州)已知 O 为圆锥的顶点,M 为圆锥底面上一点,点 P 在 OM 上.一只蜗牛从 P 点出发,绕圆 锥侧面爬行,回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是 ( )

A.

B.

C.

D.

考点: 线段的性质:两点之间线段最短;几何体的展开图. 专题: 压轴题;动点型. 分析: 此题运用圆锥的性质,同时此题为数学知识的应用,由题意蜗牛从 P 点出发,绕圆锥侧面爬行,回到 P 点 时所爬过的最短,就用到两点间线段最短定理. 解答: 解:蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段,因此选项 A 和 B 错误,又因为蜗牛从 p 点出发,绕 圆锥侧面爬行后,又回到起始点 P 处,那么如果将选项 C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后,位于母线 OM 上的点 P 应该能够与母线 OM′ 上的点(P′ )重合,而选项 C 还原后两个点不能够重合. 故选 D. 点评: 本题考核立意相对较新,考核了学生的空间想象能力.
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6. (3 分)已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三 边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( )

A .6 圈

B.6.5 圈

C .7 圈

D.8 圈

考点: 直线与圆的位置关系. 分析: 根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时,圆心要绕其三角形的顶点旋转 120°,则圆绕三个顶 点共旋转了 360°,即它转了一圈,再加上在三边作无滑动滚动时要转 6 圈,这样得到它回到原出发位置时 共转了 7 圈. 解答: 解:圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转, ∵ 等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍, ∴ 圆转了 6 圈, 而圆从一边转到另一边时,圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数, 圆心要绕其三角形的顶点旋转 120°, ∴ 圆绕三个顶点共旋转了 360°,即它转了一圈, ∴ 圆回到原出发位置时,共转了 6+1=7 圈. 故选 C. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系,弧长公式:l= (n 为圆心角,R 为半径) ;也考查了旋转的性质.
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7. (3 分)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如下图,则以下结论正确的有:① abc>0;② b<a+c;③ 4a+2b+c>0;④ 2c<3b; ⑤ a+b>m(am+b) (m≠1,m 为实数) ( )

2

A .2 个

B.3 个

C .4 个

D.5 个

考点: 二次函数图象与系数的关系. 专题: 图表型. 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答: 解:① 由图象可知:a<0,b>0,c>0,abc<0,错误; ② 当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0,即 b>a+c,错误; ③ 由对称知,当 x=2 时,函数值大于 0,即 y=4a+2b+c>0,正确;
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④ 当 x=3 时函数值小于 0,y=9a+3b+c<0,且 x=﹣

=1,

即 a=﹣ ,代入得 9(﹣ )+3b+c<0,得 2c<3b,正确; ⑤ 当 x=1 时,y 的值最大.此时,y=a+b+c, 2 而当 x=m 时,y=am +bm+c, 2 所以 a+b+c>am +bm+c, 2 故 a+b>am +bm,即 a+b>m(am+b) ,正确. ③ ④ ⑤ 正确.

故选 B. 点评: 考查二次函数 y=ax +bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交 点的个数确定. 8. (3 分)如图,正△ ABC 中,P 为正三角形内任意一点,过 P 作 PD⊥ BC,PE⊥ AB,PF⊥ AC 连结 AP、BP、CP,如 果 ,那么△ ABC 的内切圆半径为( )
2

A .1

B.

C .2

D.

考点: 三角形的内切圆与内心;等边三角形的性质. 分析: 过 P 点作正△ ABC 的三边的平行线, 可得△ MPN, △ OPQ, △ RSP 都是正三角形, 四边形 ASPM, 四边形 NCOP, 四边形 PQBR 是平行四边形,故可知黑色部分的面积=白色部分的面积,于是求出三角形 ABC 的面积,进 而求出等边三角形的边长和高,再根据等边三角形的内切圆的半径等于高的三分之一即可求出半径的长度. 解答: 解:如图,过 P 点作正△ ABC 的三边的平行线,则△ MPN,△ OPQ,△ RSP 都是正三角形,四边形 ASPM,四 边形 NCOP,四边形 PQBR 是平行四边形, 故可知黑色部分的面积=白色部分的面积,
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又知 S△AFP+S△PCD+S△BPE= S△ABC= AB sin60°=3 故 AB=2
2

,故知 S△ABC=3





,三角形 ABC 的高 h=3,

△ ABC 的内切圆半径 r= h=1. 故选 A.

点评: 本题主要考查等边三角形的性质,面积及等积变换,解答本题的关键是过 P 点作三角形三边的平行线,证 明黑色部分的面积与白色部分的面积相等,此题有一定难度. 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 9. (3 分) 与 是相反数,计算 = .

考点: 二次根式有意义的条件;非负数的性质:绝对值. 专题: 计算题. 分析: 根据互为相反数的和等于 0 列式,再根据非负数的性质列式求出 a+ 的值,再配方开平方即可得解.
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解答: 解:∵ ∴

与|3﹣a﹣ |互为相反数, +|3﹣a﹣ |=0,

∴ 3﹣a﹣ =0, 解得 a+ =3, ∴ a+2+ =3+2, 根据题意,a>0, ∴ ( ∴ + + = ) =5, . .
2

故答案为: 点评:

本题考查了二次根式有意义的条件,非负数的性质,求出 a+ =3 后根据乘积二倍项不含字母,配方是解题 的关键.

10. (3 分)若[x]表示不超过 x 的最大整数,

,则[A]= ﹣2 .

考点: 取整计算. 专题: 计算题. 分析: 先根据零指数幂和分母有理化得到 A=﹣ ﹣2. 解答: 解:∵ A= +
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, 而

≈1.732, 然后根据[x]表示不超过 x 的最大整数得到, [A]=

+1

= =

+ +1

+1

=

+1

=﹣1﹣ +1 =﹣ , ∴ [A]=[﹣ ]=﹣2. 故答案为﹣2. 点评: 本题考查了取整计算:[x]表示不超过 x 的最大整数.也考查了分母有理化和零指数幂. 11. (3 分)如图,M、N 分别为△ ABC 两边 AC、BC 的中点,AN 与 BM 交于点 O,则 = .

考点: 相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理. 专题: 计算题;证明题. 分析: 连接 MN,设△ MON 的面积是 s,由于 M、N 分别为△ ABC 两边 AC、BC 的中点,易知 MN 是△ ABC 的中位
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线, 那么 MN∥ AB, MN= AB, 根据平行线分线段成比例定理可得△ MON∽ △ BOA, 于是 OM: OB=MN: AB=1: 2,易求△ BON 的面积是 2s,进而可知△ BMN 的面积是 3s,再根据中点性质,可求△ BCM 的面积等于 6s,同 理可求△ ABC 的面积是 12s,从而可求 S△BON:S△ABC. 解答: 解:连接 MN,设△ MON 的面积是 s, ∵ M、N 分别为△ ABC 两边 AC、BC 的中点, ∴ MN 是△ ABC 的中位线, ∴ MN∥ AB,MN= AB, ∴ △ MON∽ △ BOA, ∴ OM:OB=MN:AB=1:2, ∴ △ BON 的面积=2s, ∴ △ BMN 的面积=3s, ∵ N 是 BC 的中点, ∴ △ BCM 的面积=6s, 同理可知△ ABC 的面积=12s, ∴ S△BON:S△ABC=2s:12s=1:6, 故答案是 .

点评: 本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理,解题的关键是连接 MN,构造相似三角形. 12. (3 分)如图,已知圆 O 的面积为 3π,AB 为直径,弧 AC 的度数为 80°,弧 BD 的度数为 20°,点 P 为直径 AB 上任一点,则 PC+PD 的最小值为 3 .

考点: 轴对称-最短路线问题;勾股定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系. 专题: 探究型.

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分析: 先设圆 O 的半径为 r,由圆 O 的面积为 3π 求出 R 的值,再作点 C 关于 AB 的对称点 C′ ,连接 OD,OC′ , DC′ , 则 DC′ 的长即为 PC+PD 的最小值, 由圆心角、 弧、 弦的关系可知 可知 = =80°, 故 BC′ =100°, 由 =20°

=120°,由 OC′ =OD 可求出∠ ODC′ 的度数,进而可得出结论.

解答: 解:设圆 O 的半径为 r, ∵ ⊙ O 的面积为 3π, 2 ∴ 3π=πR ,即 R= . 作点 C 关于 AB 的对称点 C′ ,连接 OD,OC′ ,DC′ ,则 DC′ 的长即为 PC+PD 的最小值, ∵ 的度数为 80°, ∴ = ∴ =80°, =100°,

∵ =20°, ∴ = + =100°+20°=120°,

∵ OC′ =OD, ∴ ∠ ODC′ =30° ∴ DC′ =2OD?cos30°=2 故答案为:3. × =3,即 PC+PD 的最小值为 3.

点评: 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,根据题意作出点 C 关于直线 AB 的对称点是解答此题的关键. 13. (3 分)从 1,2,3,5,7,8 中任取两数相加,在不同的和数中,是 2 的倍数的个数为 a,是 3 的倍数的个数 为 b,则样本 6、a、b、9 的中位数是 5.5 . 考点: 中位数. 分析: 首先列举出所有数据的和,进而利用已知求出 a,b 的值,再利用中位数是一组数据重新排序后之间的一个 数或之间两个数的平均数,由此即可求解. 解答: 解:根据从 1,2,3,5,7,8 中任取两数相加,可以得出所有可能: 1+2=3,1+3=4, 1+5=6, 1+7=8,1+8=9, 2+3=5,2+5=7,2+7=9,2+8=10,3+5=8,3+7=10, 3+8=11,5+7=12, 5+8=13,7+8=15, 它们和中所有不同数据为:3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15, 故是 2 的倍数的个数为 a=5,是 3 的倍数的个数为 b=5, 则样本 6、5、5、9 按大小排列为:5,5,6,9,
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则这组数据的中位数是: 故答案为:5.5.

=5.5,

点评: 此题考查了列举法求所有可能以及中位数的定义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列 后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数) ,叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好, 不把数据按要求重新排列,就会出错. 14. (3 分)由直线 y=kx+2k﹣1 和直线 y=(k+1)x+2k+1(k 是正整数)与 x 轴及 y 轴所围成的图形面积为 S,则 S 的最小值是 .

考点: 两条直线相交或平行问题. 分析: 首先用 k 表示出两条直线与坐标轴的交点坐标, 然后表示出围成的面积 S, 根据得到的函数的取值范围确定 其最值即可. 解答: 解:y=kx+2k﹣1 恒过(﹣2,﹣1) , y=(k+1)x+2k+1 也恒过(﹣2,﹣1) , k 为正整数,那么,k≥1,且 k∈Z 如图,
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直线 y=kx+2k﹣1 与 X 轴的交点是 A( 直线 y=(k+1)x+2k+1 与 X 轴的交点是 C( 那么,S 四边形 ABDC=S△COD﹣S△AOB, = (OC?OD﹣OA?OB) ,

,0) ,与 y 轴的交点是 B(0,2k﹣1) ,0) ,与 y 轴的交点是 D(0,2k+1) ,

= [ = (4﹣ =2﹣

﹣ ) ,

],

又,k≥1,且 k∈Z, 那么,2﹣ 在定义域 k≥1 上是增函数,

因此,当 k=1 时,四边形 ABDC 的面积最小, 最小值 S=2﹣ = .

点评: 本题考查了两条指向相交或平行问题,解题的关键是用 k 表示出直线与坐标轴的交点坐标并用 k 表示出围 成的三角形的面积,从而得到函数关系式,利用函数的知识其最值问题.

15. (3 分) (2010?随州)如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=5cm,BC=10cm,CD 上有一点 E,ED=2cm,AD 上有 一点 P,PD=3cm,过 P 作 PF⊥ AD 交 BC 于 F,将纸片折叠,使 P 点与 E 点重合,折痕与 PF 交于 Q 点,则 PQ 的 长是 cm.

考点: 翻折变换(折叠问题) . 专题: 压轴题. 分析: 过 Q 点作 QG⊥ CD,垂足为 G 点,连接 QE,设 PQ=x,根据折叠及矩形的性质,用含 x 的式子表示 Rt△ EGQ 的三边,再用勾股定理列方程求 x 即可. 解答: 解:过 Q 点作 QG⊥ CD,垂足为 G 点,连接 QE, 设 PQ=x,由折叠及矩形的性质可知, EQ=PQ=x,QG=PD=3,EG=x﹣2, 在 Rt△ EGQ 中,由勾股定理得
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EG +GQ =EQ ,即: (x﹣2) +3 =x , 解得:x= ,即 PQ= .

2

2

2

2

2

2

点评: 本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质, 折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后对应线段相等. 16. (3 分) (2010?随州)将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示) ,当圆柱的侧面的面 积最大时,圆柱的底面半径是 1 cm.

考点: 圆柱的计算;二次函数的最值;圆锥的计算. 专题: 压轴题. 分析: 易得扇形的弧长,除以 2π 也就得到了圆锥的底面半径,再加上母线长,利用勾股定理即可求得圆锥的高, 利用相似可求得圆柱的高与母线的关系,表示出侧面积,根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即 可. 解答: 解:扇形的弧长=4πcm, ∴ 圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm,
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∴ 圆锥的高为

=2

cm,

设圆柱的底面半径为 rcm,高为 Rcm.

=



解得:R=2 ﹣ r, ∴ 圆柱的侧面积=2π×r×(2 ∴ 当 r=



r)=﹣2

πr +4

2

πr(cm ) ,

2

=1cm 时,圆柱的侧面积有最大值.

点评: 用到的知识点为:圆锥的弧长等于底面周长;圆锥的高,母线长,底面半径组成直角三角形;相似三角形 的相似比相等及二次函数最值相应的自变量的求法等知识. 三、解答题(72) 2 17. (14 分)已知抛物线 y=﹣x +bx+c(c>0)过点 C(﹣1,0) ,且与直线 y=7﹣2x 只有一个交点. (1)求抛物线的解析式; (2)若直线 y=﹣x+3 与抛物线相交于两点 A、B,则在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使△ ABQ 是等腰三角形? 若存在,求出 Q 点坐标;若不存在,说明理由. 考点: 二次函数综合题. 分析: (1)将 C 点坐标代入 y=﹣x2+bx+c 得 c=b+1,联立抛物线 y=﹣x2+bx+b+1 与直线 y=7﹣2x,转化为关于 x 的二元一次方程,令△ =0 求 b 的值即可; (2)直线 y=﹣x+3 与(1)中抛物线求 A、B 两点坐标,根据抛物线解析式求对称轴,根据线段 AB 为等 腰三角形的腰或底,分别求 Q 点的坐标. 2 解答: 解: (1)把点 C(﹣1,0)代入 y=﹣x +bx+c 中,得﹣1﹣b+c=0,解得 c=b+1,
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联立

,得 x ﹣(b+2)x+6﹣b=0,

2

∵ 抛物线与直线只有一个交点, 2 ∴ △ =(b+2) ﹣4(6﹣b)=0, 解得 b=﹣10 或 2, ∵ c=b+1>0,∴ b=2, 2 ∴ 抛物线解析式为 y=﹣x +2x+3; (2)存在满足题意的点 Q. 联立 ,

解得





则 A(0,3) ,B(3,0) , 由抛物线 y=﹣x +2x+3,可知抛物线对称轴为 x=1, 由勾股定理,得 AB=3 , 当 AB 为腰,∠ A 为顶角时,Q(1,3+ )或(1,3﹣ ) ; 当 AB 为腰,∠ B 为顶角时,Q(1, )或(1,﹣ ) ; 当 AB 为底时,Q(1,1) . 故满足题意的 Q 点坐标为: (1,3+ )或(1,3﹣ )或(1,
2

)或(1,﹣

)或(1,1) .

点评: 本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据题意求出抛物线解析式,根据等腰三角形的性质,分类求 Q 点的坐标.

18. (14 分)有一河堤坝 BCDF 为梯形,斜坡 BC 坡度

,坝高为 5m,坝顶 CD=6m,现有一工程车需从距

B 点 50m 的 A 处前方取土,然后经过 B﹣C﹣D 放土,为了安全起见,工程车轮只能停在离 A、D 处 1m 的地方即 M、N 处工作,已知车轮半经为 1m,求车轮从取土处到放土处圆心从 M 到 N 所经过的路径长.

考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 分析: 作出圆与 BA,BC 相切时圆心的位置 G,与 CD 相切时圆心的位置 P,与 CD 相切时圆心的位置 I,分别求 得各段的路径的长,然后求和即可. 解答: 解:当圆心移动到 G 的位置时,作 GR⊥ AB,GL⊥ BC 分别于点 R,L.
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∴ ∠ CBF=30°, ∴ ∠ RGB=15°, ∵ 直角△ RGB 中,tan∠ RGB= ,

∴ BR=GR?tan∠ RGB=2﹣ ,则 BL=BR=2﹣ , 则从 M 移动到 G 的路长是:AB﹣BR﹣1=50﹣(2﹣ )﹣1=47+ m, BC=2×5=10m, 则从 G 移动到 P 的位置 (P 是圆心在 C, 且与 BC 相切时圆心的位置) , GP=10﹣BL=10﹣ (2﹣ 圆心从 P 到 I(I 是圆心在 C,且与 CD 相切时圆心的位置) ,移动的路径是弧,弧长是: 圆心从 I 到 N 移动的距离是:6﹣1=5m, 则圆心移动的距离是: (47+ )+(8+ )+5+ =60+2 + (m) .

) =8+ =

m; m;

点评: 本题考查了弧长的计算公式,正确确定圆心移动的路线是关键.

19. (14 分)如图,过正方形 ABCD 的顶点 C 在形外引一条直线分别交 AB、AD 延长线于点 M、N,DM 与 BN 交 于点 H,DM 与 BC 交于点 E,BN△ AEF 与 DC 交于点 F. (1)猜想:CE 与 DF 的大小关系?并证明你的猜想. (2)猜想:H 是△ AEF 的什么心?并证明你的猜想.

考点: 相似形综合题. 分析: (1)利用正方形的性质得到 AD∥ BC,DC∥ AB,利用平行线分线段成比例定理得到
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从而得到

,然后再利用 AB=BC 即可得到 CE=DF;

(2) 首先证得△ ADF≌ △ DCE, 从而得到∠ DAF=∠ FDE, 再根据∠ DAF+∠ ADE=90°得到 AF⊥ DE, 同理可得 FB⊥ AE, 进而得到 H 为△ AEF 的垂心. 解答: 解: (1)CE=DF; 证明:∵ 正方形 ABCD ∴ AD∥ BC,DC∥ AB ∴ ∴ ∴ 又 AB=BC ∴ CE=DF; (2)垂心. 在△ ADF 与△ DCE 中, , ∴ △ ADF≌ △ DCE(SAS) , ∴ ∠ DAF=∠ FDE, ∵ ∠ DAF+∠ ADE=90°, ∴ AF⊥ DE, 同理 FB⊥ AE. H 为△ AEF 的垂心. 点评: 本题考查了相似形的综合知识,本题是一道开放性问题,正确的猜想是进一步解题的方向和基础,非常重 要. 20. (15 分)如图,已知菱形 ABCD 边长为 ,∠ ABC=120°,点 P 在线段 BC 延长线上,半径为 r1 的圆 O1 与 DC、 CP、DP 分别相切于点 H、F、N,半径为 r2 的圆 O2 与 PD 延长线、CB 延长线和 BD 分别相切于点 M、E、G. (1)求菱形的面积; , (

(2)求证:EF=MN; (3)求 r1+r2 的值.

考点: 圆的综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)由于菱形 ABCD 边长为
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,∠ ABC=120°,根据菱形的性质得到 ADC 和△ DBC 都是等边三角形,利 倍即可得到菱形的面积=2S△DBC=2× ×(6 ) =54
2

用等边三角形的面积等于边长平方的



(2)由于 PM 与 PE 都是⊙ O1 的切线,PN 与 PF 都是⊙ O2 的切线,根据切线长定理得到 PM=PN,PN=PE, 则 PM﹣PN=PE﹣PB,即 EF=MN; (3) 由于 BE 与 BG 都是⊙ O1 的切线, 根据切线的性质和切线长定理得到 BE=BG, ∠ O2BE=∠ O2BG, O2E⊥ BE, 而∠ EBG=180°﹣∠ DBC=180°﹣60°=120°,于是有∠ O2BE=60°,∠ EO2B=30°,根据含 30°的直角三角形三边的关 系得到 BE= O2E= r2, 则 BG= ﹣ r2, DM=DG=6 ﹣ r2, 同理可得 CF= r2+6 + r1=6 r1, DN=DH=6 + ﹣ r1,

则 MN=DM+DN=12

(r1+r2) , 而 EF=EB+BC+CF=

(r1+r2) , 利用 EF=MN

可得到关于(r1+r2)的方程,解方程即可. 解答: (1)解:∵ 菱形 ABCD 边长为 ,∠ ABC=120°, ∴ △ ADC 和△ DBC 都是等边三角形, ∴ 菱形的面积=2S△DBC=2× ×(6 ) =54
2



(2)证明:∵ PM 与 PE 都是⊙ O2 的切线, ∴ PM=PE, 又∵ PN 与 PF 都是⊙ O1 的切线, ∴ PN=PF, ∴ PM﹣PN=PE﹣PB,即 EF=MN; (3)解:∵ BE 与 BG 都是⊙ O2 的切线, ∴ BE=BG,∠ O2BE=∠ O2BG,O2E⊥ BE, 而∠ EBG=180°﹣∠ DBC=180°﹣60°=120°, ∴ ∠ O2BE=60°,∠ EO2B=30°, ∴ BE= ∴ BG= O2E= r2, ﹣ r2, ﹣ r1, r2,

∴ DM=DG=6 同理可得 CF=

r1,DN=DH=6 ﹣

∴ MN=DM+DN=12

(r1+r2) ,

∵ EF=EB+BC+CF= 而 EF=MN, ∴ 6 +

r2+6

+

r1=6

+

(r1+r2) ,

(r1+r2)=12



(r1+r2) ,

∴ r1+r2=9.

点评: 本题考查了圆的综合题:圆的切线垂直于过切点的半径;从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等,并且 这个点与圆心的连线平分两切线的夹角;掌握菱形的性质,记住等边三角形的面积等于边长平方的 及含 30°的直角三角形三边的关系. 21. (15 分) (2012?黄冈)如图,已知抛物线的方程 C1:y=﹣ (x+2) (x﹣m) (m>0)与 x 轴相交于点 B、C, 与 y 轴相交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧. (1)若抛物线 C1 过点 M(2,2) ,求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求△ BCE 的面积; (3)在(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使 BH+EH 最小,并求出点 H 的坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与△ BCE 相似?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由. 倍以

考点: 二次函数综合题. 专题: 代数几何综合题;压轴题. 分析: (1)将点(2,2)的坐标代入抛物线解析式,即可求得 m 的值; (2)求出 B、C、E 点的坐标,进而求得△ BCE 的面积; (3)根据轴对称以及两点之间线段最短的性质,可知点 B、C 关于对称轴 x=1 对称,连接 EC 与对称轴的 交点即为所求的 H 点,如答图 1 所示; (4)本问需分两种情况进行讨论: ① 当△ BEC∽ △ BCF 时,如答图 2 所示.此时可求得 m= +2; ② 当△ BEC∽ △ FCB 时,如答图 3 所示.此时可以得到矛盾的等式,故此种情形不存在. 解答: 解: (1)依题意,将 M(2,2)代入抛物线解析式得:
2243409

2=﹣ (2+2) (2﹣m) ,解得 m=4.

(2)令 y=0,即

(x+2) (x﹣4)=0,解得 x1=﹣2,x2=4,

∴ B(﹣2,0) ,C(4,0) 在 C1 中,令 x=0,得 y=2, ∴ E(0,2) . ∴ S△BCE= BC?OE=6.

(3)当 m=4 时,易得对称轴为 x=1,又点 B、C 关于 x=1 对称. 如解答图 1,连接 EC,交 x=1 于 H 点,此时 BH+EH 最小(最小值为线段 CE 的长度) . 设直线 EC:y=kx+b,将 E(0,2) 、C(4,0)代入得:y= 当 x=1 时,y= ,∴ H(1, ) . x+2,

(4)分两种情形讨论: ① 当△ BEC∽ △ BCF 时,如解答图 2 所示. 则
2



∴ BC =BE?BF. 由函数解析式可得:B(﹣2,0) ,E(0,2) ,即 OB=OE,∴ ∠ EBC=45°, ∴ ∠ CBF=45°, 作 FT⊥ x 轴于点 T,则∠ BFT=∠ TBF=45°, ∴ BT=TF. ∴ 可令 F(x,﹣x﹣2) (x>0) ,又点 F 在抛物线上, ∴ ﹣x﹣2=﹣ (x+2) (x﹣m) , ∵ x+2>0, ∵ x>0, ∴ x=2m,F(2m,﹣2m﹣2) . 此时 BF= 又∵ BC =BE?BF, 2 ∴ (m+2) = ? (m+1) , ∴ m=2± , ∵ m>0, ∴ m= +2. ② 当△ BEC∽ △ FCB 时,如解答图 3 所示. 则
2 2

=2

(m+1) ,BE=

,BC=m+2,



∴ BC =EC?BF. ∵ △ BEC∽ △ FCB ∴ ∠ CBF=∠ ECO, ∵ ∠ EOC=∠ FTB=90°, ∴ △ BTF∽ △ COE, ∴ , (x+2) ) (x>0)

∴ 可令 F(x,

又∵ 点 F 在抛物线上,



(x+2)=﹣ (x+2) (x﹣m) ,

∵ x>0, ∴ x+2>0, ∴ x=m+2, ∴ F(m+2,
2

(m+4) ) ,EC=

,BC=m+2,

又 BC =EC?BF, ∴ (m+2) =
2

?

整理得:0=16,显然不成立. 综合① ② 得, 在第四象限内, 抛物线上存在点 F, 使得以点 B、 C、 F 为顶点的三角形与△ BCE 相似, m=

+2.

点评: 本题涉及二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称﹣最小路径问题等重要知识点,难度 较大.本题难点在于第(4)问,需要注意分两种情况进行讨论,避免漏解;而且在计算时注意利用题中条 件化简计算,避免运算出错.


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