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2014高考数学查缺补漏集中营 化归与转化的思想


2014 高考数学查缺补漏集中营:化归与转化的思想
一、知识整合 1.解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思 维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自 己较熟悉的问题) , 通过新问题的求解, 达到解决原问题的目的, 这一思想方法我们称之为“化 归与转化的思想方法”。 2.化归与转化思想的实

质是揭示联系,实现转化。除极简单的数学问题外,每个数学问题的 解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知 转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步 转化的过程。数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知 识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化, 多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转 化思想的体现。 3.转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性; 在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行 必要的验证。 4.化归与转化应遵循的基本原则: (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问 题来解决。 (2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问 题的目的,或获得某种解题的启示和依据。 (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使 其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某 种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较 直观的问题来解决。 (5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面, 设法从问题的反面去探求,使问题获解。 二、例题分析 例 1.某厂 2001 年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设, 元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的 百分率相同,到 12 月投入建设资金又恰好与 12 月的生产利润相同,问全年总利润 m 与全年 总投入 N 的大小关系是 ( ) A. m>N B. m<N C.m=N D.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差 数列{an},且公差 d>0,每月的投资额组成一个等比数列{bn},且公比 q>1。

a1 ? b1 ,且

a12 ? b12 ,比较 S12 与 T12 的大小。若直接求和,很难比较出其大小,但注意到等差数列的通
项公式 an=a1+(n-1)d 是关于 n 的一次函数,其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的 通项公式 bn=a1qn-1 是关于 n 的指数函数,其图象是指数函数上的一些点列。 在同一坐标系中画出图象,直观地可以看出 ai≥bi 则

S12 > T12 ,即 m>N。 [点评]把一个

原本是求和的问题,退化到各项的逐一比较大小,而一次函数、指数函数的图象又是每个学 生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵,通过对问题的反思、再加工 后,使问题直观、形象,使解答更清新。

-1-

例 2.如果,三棱锥 P—ABC 中,已知 PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC 的公垂线 ED=h.求证三棱锥

1 V ? l 2h 6 P—ABC 的体积 .
分析:如视 P 为顶点,△ABC 为底面,则无论是 S△ABC 以及高 h 都不好求.如果观察图形, 换个角度看问题,创造条件去应用三棱锥体积公式,则可走出困境. 解:如图,连结 EB,EC,由 PA⊥BC,PA⊥ED,ED∩BC=E,可得 PA⊥面 ECD.这样,截面 ECD 将原三棱锥切割成两个分别以 ECD 为底面,以 PE、AE 为高的小三棱锥,而它们的底面积相等, 高相加等于 PE+AE=PA=l,所以

1 1 1 1 VP - ABC=VP - ECD+VA - ECD= 3 S △ ECD ? AE+ 3 S △ ECD ? PE= 3 S △ ECD ? PA= 3 ? 1 1 V ? l 2h 2 BC·ED·PA= 6 .
评注:辅助截面 ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解. 例 3.在 ( x ? 3 x ? 2) 的展开式中 x 的系数为( ).
2 5

(A)160

(B)240
2 5

(C)360

(D)800

分析与解:本题要求 ( x ? 3 x ? 2) 展开式中 x 的系数,而我们只学习过多项式乘法法则及二 项展开式定理,因此,就要把对 x 系数的计算用上述两种思路进行转化: 思路 1:直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解,则 ( x ? 3 x ? 2) 展开式是一个关于 x
2 5

的 10 次多项式, ( x ? 3 x ? 2)
2

5

=(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2),

它的展开式中的一次项只能从 5 个括号中的一个中选取一次项 3x 并在其余四个括号中均选 择常数项 2 相乘得到,故为
1 C5 C4 ·(3x)· 4 ·24=5×3×16x=240x,所以应选(B).

思 路 2 利 用 二 项 式 定 理 把 三 项 式 乘 幂 转 化 为 二 项 式 定 理 再 进 行 计 算 , ∵ x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x),∴这条思路下又有四种不同的化归 与转化方法.①如利用 x2+3x+2=x2+(3x+2)转化,可以发现只有
5 C5 (3x+2)5 中会有 x 项,即

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1 C54 (3x)·24=240x,故选(B);②如利用 x2+3x+2= (x2+2)+3x 进行转化,则只 C5 (x2+2) 4·3x 1 C5 ·3x·C44·24=240x;③如利用 x2+3x+2=(x2+3x)+2 进行转化,就只

中含有 x 一次项,即 有

C54 · (x2+3x) · 24 中会有 x 项,即 240x ;④如选择 x2+3x+2=(1+x)(2+x) 进行转化,

( x 2 ? 3 x ? 2)5 = (1 ? x)5 × (2 ? x)5 展开式中的一次项 x 只能由(1+x)5 中的一次项乘以(2+x)5
展开式中的常数项加上(2+x)5 展开式中的一次项乘以(1+x)5 展开式中的常数项后得到,即为
1 C5 C5 C1 C0 x· 5 25+ 5 ?24?x? 5 ?15=160x+80x=240x,故选(B).

评注:化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。 例 4.若不等式 x ? px ? 4 x ? p ? 3 对一切 0 ? p ? 4 均成立,试求实数的取值范围。解:
2

x 2 ? px ? 4 x ? p ? 3
2

( x ? 1) p ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0

令 g ( p ) ? ( x ? 1) p ? x ? 4 x ? 3 ,则要使它对 0 ? p ? 4 均有 g ( p ) ? 0 ,只要有

? g (0) ? 0 ? ? g (4) ? 0

? x ? 3 或 x ? ?1 。点评:在有几个变量的问题中,常常有一个变元处于

主要地位,我们称之为主元,由于思维定势的影响,在解决这类问题时,我们总是紧紧抓住 主元不放,这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下,此路往往不通,这时若能变更 主元,转移变元在问题中的地位,就能使问题迎刃而解。本题中,若视 x 为主元来处理,既 繁且易出错,实行主元的转化,使问题变成关于 p 的一次不等式,使问题实现了从高维向低 维转化,解题简单易行。 三、总结提炼 1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想、机敏细微 的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、 公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事 物之间的本质联系。 “抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙。 2.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题 的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何 的角度去解决问题。

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