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【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-3]


课时作业(六)
一、选择题 1.(2013· 茂名市第一次高考模拟)已知 f(x)是奇函数,当 x>0 时,
? 1? f(x)=log2x,则 f?-2?=( ? ?

)

A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=log2(-x),∵f(x)为奇函数, ∴f

(-x)=-f(x) ∴f(-x)=-f(x)=log2(-x), ∴当 x<0 时,f(x)=-log2(-x),
? 1? ?1? ∴f?-2?=-log2?2?=1. ? ? ? ?

答案:B 2.(2013· 北京西城区期末)已知函数 f(x)=x+bcos x,其中 b 为常 数.那么“b=0”是“f(x)为奇函数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若 b=0,则 f(x)=x 为奇函数,反之,若 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-x+bcos(-x)=-x+bcos x=-f(x)=-x-bcos x,∴b= 0,故“b=0”是“f(x)为奇函数”的充要条件. 答案:C 3.已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) )

C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)

解析:将函数 f(x)=x|x|-2x 去掉绝对值得 f(x)=
2 ? ?x -2x,x≥0, ? 画出函数 f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数 2 ? ?-x -2x,x<0,

f(x)的图象关于原点对称,故函数 f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递 减. 答案:C
? ?1,x为有理数, 4.(2012· 福建卷)设函数 D(x)=? 则下列结论错 ? ?0,x为无理数,

误的是(

) B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数 解析:A 显然正确.
? ?1, D(x)=? ?0, ?

x为有理数, x为无理数,

当 x∈Q 时,-x∈Q,而 D(x)=D(-

x)=1;当 x 为无理数时,-x 也为无理数,此时 D(x)=D(-x)=0, ∴对任意的 x∈R,D(x)=D(-x),∴B 正确.不妨设 a∈Q 且 a≠0, 当 x 为有理数时, D(x+a)=D(x)=1, 当 x 为无理数时, D(x+a)=D(x)

=0,∴D(x)为周期函数,∴C 不正确.∵x1=1,D(1)=1,x2=2, D(2)=1, ∴D(x1)=D(x2),∴D(x)在定义域上不单调.故 D 正确. 答案:C 5.(2013· 河南开封高三第一次模拟)已知 f(x)是奇函数,且 f(2- x)=f(x),当 x∈(2,3)时, f(x)=log2(x-1),则当 x∈(1,2)时, f(x)= ( ) A.-log2(4-x) C.-log2(3-x) B.log2(4-x) D.log2(3-x)

解析:依题意得 f(x+2)=f(-x)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)= f(x).当 x∈(1,2)时,x-4∈(-3,-2),-(x-4)∈(2,3),故 f(x)=f(x -4)=-f(4-x)=-log2(4-x-1)=-log2(3-x),选 C. 答案:C
2 ? ?-x -4x,x≥0 6.(2013· 云南昆明高三调研)已知函数 f(x)=? 2 , ?x -4x,x<0 ?

若 f(a-2)+f(a)>0,则实数 a 的取值范围是( A.a<-1- 3或 a>-1+ 3 C.a<3- 3或 a>3+ 3

)

B.a>1 D.a<1

解析:法一:当 x>0 时,-x<0, f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x =-(-x2-4x)=-f(x); 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-(x2-4x)=-f(x); 又 f(0)=0,因此对任意 x∈R,都有 f(-x)=-f(x),即函数 f(x)是奇 函数.

又当 x≥0 时,函数 f(x)是减函数,于是有 f(x)在 R 上是减函数, 不等式 f(a-2)+f(a)>0,即 f(a-2)>-f(a)=f(-a),a-2<-a,a<1, 即实数 a 的取值范围是 a<1. 法二: 由图象可知,f(x)为奇函数,且为减函数,即 f(a-2)>f(-a),∴a -2<-a,∴a<1,∴选 D. 答案:D 二、填空题 7.(2013· 广西卷)设 f(x)是以 2 为周期的函数,且当 x∈[1,3)时, f(x)=x-2,则 f(-1)=________. 解析: 因为 f(x)是以 2 为周期的函数, 所以 f(-1)=f(-1+2)=f(1) =1-2=-1. 答案:-1 8.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:f(x)为偶函数,∴对?x∈R, f(-x)=f(x), ∴a=0.

答案:0 9.(2013· 淄博市高三阶段性检测)已知函数 f(x)在实数集 R 上具 有下列性质: ①直线 x=1 是函数 f(x)的一条对称轴; ②f(x+2)=-f(x); ③当 1≤x1<x2≤3 时,(f(x2)-f(x1))· (x2-x1)<0,则 f(2 011)、f(2 012)、 f(2 013)从大到小的顺序为________. 解析:f(x+2)=-f(x)得:T=4,又 x=1 为对称轴,且 1≤x≤3 时 f(x)为减函数知, f(x)在(-1,1)上为增函数, f(2 011)=f(-1), f(2 012) =f(0), f(2 013)=f(1), 由 f(-1)<f(0)<f(1)得, f(2 013)>f(2 012)>f(2 011). 答案:f(2 013) f(2 012) f(2 011) 三、解答题 -x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范 围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),于是 x<0 时, f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合 f(x)的图象知
? ?a-2>-1, ? ? ?a-2≤1,
2

是奇函数.

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称.

(1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x(0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. 解:(1)证明:由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 有 f(x+1)=f(1-x),即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x),故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0.x∈[-1,0)时, -x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- -x. 故 x∈[-1,0]时,f(x)=- -x. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时,函数 f(x)=- -x-4. 12.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2 ∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 解:(1)∵对于任意 x1,x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)=2f(1)=0.

令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}. [热点预测] 13. (1)(2013· 安徽省江南十校高三开学第一考)已知 f(x)为偶函数,
?1? 且 f(x+4)=f(-x),当-3≤x≤-2 时,f(x)=?2?x,则 f(2 013)=( ? ?

)

1 1 A.8 B.2 C.2 D.8 (2)(2013· 济宁市高三 4 月考试试题)已知定义在 R 上的函数 f(x), 对任意 x∈R,都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函数 y=f(x+1)的图象 关于直线 x=-1 对称,则 f(2 013)=( )

A.0 B.2 013 C.3 D.-2 013 解析:(1)因为 f(x)为偶函数,所以 f(x+4)=f(-x)=f(x),因此函
?1? 数的周期为 4,故 f(2 013)=f(4×503+1)=f(1)=f(-3)=?2?-3=8,选 ? ?

D. (2)由 y=f(x+1)关于 x=-1 对称知 y=f(x)关于 x=0 对称, 在 f (x +6)=f(x)+f(3)中令 x=-3,得 f(3)=f(-3)+f(3),即 f(-3)=0,f(3) =0,f(x+6)=f(x),∴T=6.f(2 013)=f(6×335+3)=f(3)=0.选 A. 答案:(1)D (2)A


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