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集合的定义(一)


康托尔简介

发疯了的数学家康托尔(1845-1918)是德国数学家, 集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡,1918年 1月6日病逝于哈雷。 康托尔11岁时移居德国,在德国读 中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年入柏林大 学,主修数学,1866年(21岁)曾去格丁根学习一学期。 1867年(22岁)以数论方面的论文获博士学位。1869年

(24岁)在哈雷大学通过讲师资格考试,后在该大学任 讲师,1872年(27岁)任副教授,1879年(34岁)任教授。

由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果 (称为“悖论”),许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三 舍的态度。在1874—1876年期间,不到30岁的年轻德国 数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水,成 功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对 应,也能和空间中的点一一对应。这样看起来,1厘米长 的线段内的点与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点 都“一样多”,后来几年,康托尔对这类“无穷集合”问 题发表了一系列文章,通过严格证明得出了许多惊人的结 论。 康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突, 遭到一些人的反对。有人说,康托尔的集合论是一种“疾 病”,康托尔的概念是“雾中之雾”,甚至说康托尔是 “疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康

真金不怕火炼,康托尔的思想终于大放光彩。1897年举 行的第一次国际数学家会议上,他的成就得到承认,伟大 的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时 代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托尔仍然神志 恍惚,不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月 6日,康托尔在一家精神病院去世。 集合论是现代数学的基础,康托尔在研究函数论时产 生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的 存在,并对无穷问题进行了哲学的讨论,最终建立了较完 善的集合理论,为现代数学的发展打下了坚实的基础。康 托尔创立了集合论作为实数理论,以至整个微积分理论体 系的基础。从而解决17世纪牛顿1642-1727)与莱布尼 茨(1646-1716)创立微积分理论体系之后,在近一二 百年时间里,微积分理论所缺乏的逻辑基础.

(一)集合的含义
“集合”是日常生活中的一个常用词,现代汉语解释为 :

许多的人或物聚在一起. 如:班级、学校就是一个集合(集体)

在现代数学中,集合是一种简洁、高雅的数学语言, 我们怎样理解数学中的“集合”?

初中学过的集合有:
整数集
有理数集 1.数集:实数集 无理数集 分数集

正整数集


负整数集

自然数集

2.点集:

(1)到一定点的距离等于定长的点的集合:



(2)到线段AB的两个端点距离相等的点的集合:

线段AB的中垂线

该怎样给集合下个定义呢?

(1)1~20以内的所有质数;
(2)方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根
2

(3)所有的自然数 (4)我校高一(1)班全体同学 (5)直线y=2x+1与y轴的交点

有什么共同特 点呢? 一些“个体” 合成 “整

体”

1:集合的含义
(1)、集合

?
? ? ?

定义:一定范围内某些确定的、不同的对象的全体。
记法:通常用大写拉丁字母A,B,C……表示。

(2)、元素 定义:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元 记法:常用小写拉丁字母a,b,c……表示

(3)、元素与集合的关系:
属于 不属于

? ?

a 记 a

? A ? A

写出下列集合的元素:

元素 2,3,5,7,11,13,17,19 1,2 0, 1,2,3,4,5,…

(1)1~20以内的所有质数;
2

(2)方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根 (3)所有的自然数 (4)我校高一(1)班全体同学 (5)直线y=2x+1与y轴的交点

(0,1) 点坐标该怎么表示?

试列举一个集合的例子,并指出集合中的元素. 任意一组对象是否都能组成一个集合?集合中的元素 有什么特征? ①,④ [例 1] 下列所给的对象能构成集合的是________ .
①所有的正方形; ②比姚明篮球打的好的人. ③我国的小河流; ④方程 x2 ? 1 ? 0 的实数根;

不含任何元素

集合中的元素必须是确定的(确定性) x∈A与x?A必居其一.

2.元素的特点:
(1).确定性 判断一组对象能否构成集合的依据

在一个给定的集合中能否有相同的元素?由此说明什么? (2).互异性 我们班的全体同学组成一个集合,调整座位后这个集合 (3).无序性 有没有变化?由此说明什么? 一般地,一个集合里的元素都是确定的,任何两个元 素都是不同的,也就是说集合中的元素不允许重复出 现,并且元素的排列与顺序无关.

3.重要的数集:
N:自然数集即 ?0,1, 2,3, 4,5,...? (Natural number )
* N+ 或 N :自然数集中去掉0即正整数集

?Z:整数集:
这个涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献,她叫诺特。 1920年,她已引入“左模”,“右模”的概念。1921年写出的 商英文是 quotient ,所以就用 Q了 << 整环的理想理论 >> 是交换代数发展的里程碑。其中, ?诺特在引入整数环概念的时候(整数集本身也是一个数环)。 R:实数集(real number ) 她是德国人,德语中的整数叫做Zahlen,于是当时她将 整数环记作Z,从那时候起整数集就用Z表示了
? Q:有理数集:由于两个整数相比的结果(商)叫做有理数,

3.重要的数集:
有理数集 Q 实数集 R 无理数集
练习 1.

? N 正整数集 Z ? 自然数集 整数集 Z 零 N
? 负整数集 Z

分数集

②③⑤⑥⑦⑧ 下列关系中正确的有________
3 ①0∈N ;②- ∈Q;③π?Q;④0?N;⑤ 2∈R;⑥-3∈Z; 2
*

⑦0∈Z;⑧0.9∈R.

二.集合的表示方法:

1.列举法:
该集合表示为:

如(1)1~20以内的所有质数; 元素为: 2,3,5,7,11,13,17,19 2,3,5,7,11,13,17,19

? ?19,17,13,11,7,5,3,2?
}”

把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ 括起来,这种表示集合的方法叫 列举法 注意:(1)元素之间用“,”隔开 (2)元素不重复,满足元素的互异性 (3)元素无顺序,满足元素的无序性

?若集合A={(1,2)},集合B={(2,1)},

那么A、B是否为同一集合?

例题2:用列举法表示下列集合
(1)1~20以内的所有质数;

? 2,3,5,7,11,13,17,19 ? 2 (2)方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根
4 3

有限集

1,2 集合的分类: 无限集 (3)所有的自然数 (3)元素个数无限但有规律时, (按元素个数分) ?0,1, 2,3, 4,5,...? 也可以数似地用省略号列举, (5)直线y=2x+1与y轴的交点
空集

??0,1??
0

(6)方程

相等集合: 1,2 = 2,1 x 2 ? 1 ? 0 的实数根

??

练习 2. 用列举法表示下列集合:

{-1,1,-4,2} (1)方程(x2-1)(x2+2x-8)=0 的解集为________ {-2,4} (2)方程|x-1|=3 的解集为________ {- 2,-1,0,1,2} (3)绝对值小于 3 的整数的集合为 ________

能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗?

能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗?

(2)描述法: 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合. 符号描述法---用符号把元素所具有的属性描述出来

即:

?x | p( x)? 或 ?x ? A | p( x)?

不等式x-7<3的解集: ?x | x ? 10? 或?x ? R | x ? 10?

符号描述法---用符号把元素所具有的属性描述出来
即:

?x | p( x)? 或 ?x ? A | p( x)?

例3:用描述法表示下列集合 <1>不等式2x-1>3的解集 ?x ? R | x ? 2?或?x | x ? 2?

<2>奇数集

?x | x ? 2k ?1, k ? Z?

【思维拓展】

(1)写清楚该集合中的代表元素.

(2)集合与它的代表元素所采用的字母名称无关, 只与集合中元 素的共同特征有关. 例如, {x∈R|x<1}也可以写成{y∈R|y<1}.

(3)所有描述的内容都要写在集合符号内. 例如, {x∈Z|x=2k}, k∈Z, 这种表述方式不符合要求, 需将 k∈Z 也写进大括号内, 即{x∈Z|x=2k,k∈Z}. (4)在通常情况下, 集合中竖线左侧元素所属范围为实数集时可 以省略.

文字描述法---用文字把所具有的属性描述出来
如:所有等腰三角形构成的集合可表示为: {x|x是等腰三角形} 可简写为 等腰三角形 由于同一类对象,同一概念定义有不同的陈述,用文字 描述法表示集合时形式往往不唯一.如: {等腰三角形} = {两条边相等的三角形} = {两个内角相等的三角形} 描述法表示集合的关键: 1确定代表元素, 2找出元素所具有的公共属性 3.不能出现未被说明的字母 4.所有内容都写在花括号内

例4:试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1 )
2 x 方程 ? 2 ? 0

的所有根组成的集合 ;

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合 解:(1)设所求集合为A,用描述法表示为
A ? {x ? R x 2 ? 2 ? 0}

用列举法表示为
A ? { 2, ? 2}

(2)设所求集合为B,用描述法表示为

B={ x ? Z 10 ? x ? 20 } 用列举法表示为
B= { 11,12,13,14,15,16,17,18,19}

(3)图示法(韦恩图)
用一条封闭的曲线围成的区域来表示一个集合,即 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合. 如<1>{30的质因数}可表示为: <2> A

2,

3,

5

表示任意一个集合

<3>用图示法表示集合A={6的正约数}和 B={8的正约数}之间的关系. A B 3,6 1,2 4,8

三种表示法对比 列举法---具体 描述法---简洁,抽象

图示法---形象直观,特别是表示集合间的关系时体现 了数形结合思想,比较直观.

课堂小结: 1集合概念中”确定的对象”可以是任意的具体确定的事物 如数,式,点,形,物等 2集合元素的三个特征:确定性,互异性,无序性.要能熟练 运用之(互异性易出错) 3集合的表示方法:列举法,描述法,图示法.

1.已知集合A ? ?x ? Z | a ? x ? 2 ? a?,如果集合A中有 且只有3个元素,求实数 a 的取值范围,并用列举 法表示集合A.

?a 0 ? a ? 5, a ? N? ( 1 )

例1:用列举法表示下列集合:

??x, y? 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, x, y ? Z? ( 2)
(3)单词“school”中字母构成的集合.

用适当的方法表示下列集合 1.1000的正约数组成的集合 1.24

2.坐标平面内第一象限的点组成的集合

3.方程x2 ? 2 x ? 3 ? 0的解集

随堂练习 用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值小于3的所有整数组成的集合; {-2,-1,0,1,2}或 {x ? Z || x |? 3} (2)在平面直角坐标系中以原点为圆心,1为半径的圆 周上的点组成的集合;

{( x, y) | x ? y ? 1}
2 2

(3)所有偶数组成的集合;

{ x | x ? 2k , k ? Z }
(4)由数字1,2,3组成的所有三位数构成的集合.

{123,132,213,231,312,321}.

小结:
一:集合的有关定义 1.集合 2.元素 3.元素与集合的关系 二:集合的表示方法: 1.列举法 2.描述法 3.图示法


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