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涉及圆锥曲线焦点弦端点处切线的几个结论


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2 0 0 5年第 7 期 
3   提 高数 学表达能力 

中学数学 月刊 

?1 7?  

的 问题 及时 纠正 , 认真讲 评 , 保 证言必 有据 ,   培 养 学生 良好 的语 言习惯 , 促 进表 达能 力的  提高

; 经常要求学生学会 口述 某些数学 内容 ,   如公 式 、 结 论 以及 推 导过 程 , 以促 进 学生 学  习、 记忆 、 理解、 应用数学语 言.   总之 , 重视培养学生数 学语 言能 力 , 这对  挖掘他们 的学习潜能 以及提高学生 的综合素  质大有裨 益.  

数学表达 能力 是数学语 言能力 的最 直接 

的体现, 华罗庚先生曾教育中学生在数学表 
达 上要 “ 想 得清楚 , 说 得 明白, 写 得 干净 ” . 在  教 育实践 中我们发 现数学语 言表达得 准确与 

否 是影响解题能力的关键. 学生在这方面常 
出 现 的问题有 : 增 减条件 、 不设 先用 、 以图代  算、 语 意 含糊等. 对 于这些 问题 , 可 以针对 平 
时 课 堂发 言 、 课后作业 和考试 练 习中暴 露 出  

涉及圆锥曲线焦 点弦端点处切线的八个结论 
解永良  ( 江 苏省 常熟市教 育局教研 室  2 1 5 5 0 0 )  
经 过 圆 的直径 两端 点 的切 线 是平 行 直  线, 这是 ~个众所周知 的结论 , 那 么经 过 圆锥  又因为 ? 一   P
。 一

,  

曲线焦点 弦两端 点处的切线是否也 有很优美 



M 
. 

yz  

.  

的结论 呢? 本人经过探索发现确实也有很好 
的 几个 结论 , 下面 就对标准位 置 的情形 作一  研究 .  


一 V , 

一 

yl?y 2= 一 P   .  

所 以 k 。?k 。一  

我们先来研究 抛物线的情形.   结论 1   过抛物线焦点 F 的弦 A B两端  点 的 切线 z   , z 。 的交点 尸 的轨迹 是 相应 的 准  线, 且  AP B是定值  .  
证明  设抛物线 的方 程为 Y   一2 p x ( 户  

1 , 即  A P B 一 号 .  
结论 2 过椭圆焦 

图 1  

点 F的弦 A B( 不与长轴重合) 两端点  , B的   切线 z 。 , z   的交点 尸的轨迹是焦点 F相应的准 
线 ,且  A P B 的取 值 范 围是 ( O , a r c t a n  

] . (  为椭圆的离心率)  
结论 3   若过双 曲线 焦点 F 的直线 与双 

>o ) , 过 焦 点  (  , o ) 的 焦点 弦 为  日 , 设  (  , Y 。 ) , B( x   , Y   ) , 则 过  , B 两点 的切 线 
z 。 , z  的方程分别为 

曲线 交于  , B两点 , 过  , B两 点 的双曲线的  切线 z 。 , z   的交点 尸 的轨迹是 焦点 F相应 的 

y Y 1 一P (  +  1 ) ,   Y Y 2 一P (  +  2 ) ,   由 ① ×Y 。 一 ② ×Y   得 
(  2 一 Y 1 )一 Y 1 z 2 一 Y 2  卜  

①  ② 

准线( 除去该准线与渐近线的交点) , 且当  ,   B在同一支上时  AP B的取值范围为[ 丌一  
ar c t a n  

竺   , n - a r c t a n 警 ) ; 当   , B 在 两 支  

因 为   ? 一 嚣  一   y g ,  
Y l?  2 一一 P   , j , 1 ≠  ,  

上时  A P B的范围是( o , a r c t a n 竽) . (   为双  
曲线的离心率)  
现证 明结论 2 :   证 明  设椭 圆   +   一1 ( a> b >o )  

所 以  一~  .  

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?

1 8?  

中学数学月刊 
f ) ( my 2 + f )  


2 0 0 5年第 7 期 

的右焦点为 F( f , O ) , 焦点弦 A B( 不与长轴重 
合) 两端点 的坐标 为  ( . Z _   , Y   ) , B( x z , Y z ) , 则  过  , B两点的切线 z   , z : 的方程分别为 :  

( 口  + b 4 7  ) 3 ’ 1 Y 2 +b 4 mc ( y 1 +Y 2 )+ 

b   C  

b 2 x 1 z+ a 2 y 1 Y— a 2 b   ,   b 2 x 2 z+ a Z y 2 Y— a   2 b   .  

① 


日  + b 。  。   [ 一b   ( 口 。 +b 4 7 ”   ) _ } 一 b 4 C T n?  
●  

② 

( 一2 b   C m)+ b 4 c 。 ( 口   +b 2  ) ]  
一  _ _ =  
:   —  

由 ①, ② 得 
b 2 x( y 2   1一 Y 1  2 ) 一  a   Z b 。 (  2 一 Y 1 ) . (*)  

y I  
是  S r L — 一   a 4 b   一   b m  一 一  2 b   C   "  

\ 、 / 
一  

+a   2 b   C   +b 6 c   ) ]  
b   2 口   +  一 I _
-   一

由   一(   一f ,  

一   一  

  .

Y 1 ) , - B P一 ( - f— z 2 ,  


“  

一  
●  

a   2 b   ]  

Y 2 ) , 又  , F, B三点 

图 2  

口 。 b   ( 1+  。 )  

垒  

共 线  . 走 ,   一是   , , 即   鬯  一  _ _  , 亦 即  
Y 2   1 一Y 1  2 一C (   2 一y 1 ) , 代入( *) 得  一  
_ “
‘   ,


√ (  +   2 )   一4  2  
/   4 6   C  。   。  
1  
一  

即 P点 的轨迹是焦 点 F相应 的准线.  

4 6  

^ √( 6   +口   )   ‘b  。 +口  
? 

下 面证 明   AP B 的取 值 范 围 为 ( O ,  
协“  
2   . 1  

4 b   C 。 7  。+ 4 b   打 z  + 4 a   b  

J ‘  
一 一   一  

? 

不 失一般性 , 设 点  在  轴上方 , 点 B在  轴 下方 , 即Y   >Y z .   则  AP B 即为 z   到z : 的角.  
? .
一  

b 2 7   + 口 。   2 a b   b 2   。+ 口   。 . t a n  


F 
1+ 7 , z 。 ,  

一 a   2 b 2 c 丽  ̄ 2 a b   2 , / 1 +r n   2  

。 走 ,


b 2  
一  

. . . z 。 到z : 的角  A PB的正切值为 
t a   b 0  
一  



 

. 

b 。  
。 .

’  

B 一  2 b   1  
‘一  

。 0< — 兰 == ≤ 1 , . ‘ . t a n  A P B一  
1+  一  



口 。   Y   2  
1  


‘  

十 

口 ‘   Y 1   口 日  。 2 0 ’  (   L   1  2一 x  2一  2 y Y 1 )  
a 4 y 1 Y 2+ b 4  1  

b ?  

∈( O , ’   6   ‘  



b 4   X l X 2  
Y1 Y 

口  

因为 Y— t a n口 在( o ,  ) 是增函数,   故  P B的取值范围是( o , a r c t a n   ]   ] .  

a 2 b   c ( y 2 一 Y 1 )  
a 4 y 1 . ) , 2 + b 4 z 1  2 ‘  

设 AB所在直线为  — m y+ C , 代入椭 
圆方程 即得  b   ( my+ f )  + a 2 y   一a   2 b   , 化简 整理得 
Y   ( 6  
‘ .

B 口 ( o , a r c t a n  

用相仿 的办法可 以证明结论 3 , 具体证 
明过程从 略.  

+ 口 。 )+ 2 b   c my — b  一 0 .  
+ Y2一 一 
2 b   C m 

通过上 述证 明我们还可 以得 到下面一个 
推论 :  

.  



过 圆锥曲线 C 的准线 z 上一点作 C的两 
Yl 。Y2=  — —  
‘ . .

b  

+ 口   ‘  

条切线 , 则两切点 与准线 z 相应焦点共线.  

a 4 y 1 Y 2 +b 4  1  2 =a 4 y 1 Y 2 +b   ( my l + 


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