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上海市复旦大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:函数概念与基本初等函数I 含答案(精品)


复旦大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:函数概念与基本 处等函数 I
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.设函数 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点 (s, f (t ))(s, t ? D) 构成一个
) C. ? 8 D.不能确定 B. ? 4

正方形区域,则 a 的值为( A. ? 2 【答案】B

? x2 ? x ( x ? 0) 2.设函数 f ( x) ? ? ,且函数 f ( x ) 为偶函数,则 g (?2) =( ? g ( x) ( x ? 0)
A.6 B.—6 C .2 D.—2

)

【答案】A x 3.已知函数 f(x)=a +loga x(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 loga 2+6,则 a 的值为( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 2 4 【答案】C 4.下列函数 A.

f ( x)与g ( x) 表示同一函数的是(

) B.

f ( x) ? x0与g ( x) ? 1

f ( x) ? x与g ( x) ? ( 3 x3)
f ( x) ? x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 x ?1

C.

f ( x) ? x ? x ? 1, g ( x) ? x ? x
2

D.

【答案】B 5.若△ABC 边长为 a,b,c,且 A.在 x 轴的上方 【答案】A 6.设函数

f ( x) ? b 2 x 2 ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) x ? c 2 , 则 f(x)的图象(
C.与 x 轴相切 D.与 x 轴交于两点

)

B.在 x 轴的下方

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( f ( x) ? ? x ? 6 , x ? 0 ?
B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)

)

A. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??) 【答案】A 7.已知

f ( x) ? a x (a ? 1), g ( x) ? b x (b ? 1) ,当 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 时,有 x1 ? x 2 ,则 a , b 的

大小关系是( A. a ? b 【答案】C

) B. a ? b C. a ? b ) D. a ? b

8.下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( A. y ? log2 【答案】D 9.点 M(a,b)在函数 y ?
2

1

x

B. y

? x3

C. y ? ? ( )

1 2

x

D. y ?

1 x

1 的图象上,点 N 与点 M 关于 y 轴对称且在直线 x-y+3=0 上,则函 x

数 f(x)=abx +(a+b)x-1 在区间[-2,2)上( ) A.既没有最大值也没有最小值 B.最小值为-3,无最大值 13 C.最小值为-3,最大值为 9 D.最小值为- ,无最大值 4 【答案】D 10.已知 , 为实数,则 A.充分非必要条件 C.充要条件 【答案】B 11.已知方程 ( x ? a)( x ? b) ? 1 ? 0 (a<b)有两实根 ? , ? (? ? ? ) ,则( A. ? ? a ? b ? ? 【答案】B 12.下列函数中哪个是幂函数( )
?2 ?3



的(

)

B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

B. a ? ? ? ? ? b

C. a ? ? ? b ? ?

D. ? ? a ? ? ? b

?1? A. y ? ? ? ? x?
【答案】A

? x? B. y ? ? ? ?2?

C. y ?

2x

?3

D. y

? ?? 2x?

?3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知函数

?log x, x ? 0 ? ? 1 ?? f ? x ? ? ? x2 , 则 f ? f ? ?? ? ____________. ? ? 8 ?? ? 3 ,x ?0

【答案】

1 27

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? 1] 上, f ( x ) ? ? bx ? 2 14.设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1, , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1
b ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 其中 a ,
【答案】-10

?1? ?2?

?3? ?2?



15. 函数

y ? a x?2 ? 1?a ? 0, 且a ? 1? 的图象经过一个定点,则该定点的坐标是____________。
1 t (其中 a 为大于 1 的常数) , 且 a f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ??1, 2? ax

【答案】 (2,2) 16. 已知函数 f ( x ) ? a ?
x

恒成立, 则实数 m 的取值范围是____________ 【答案】 m ? ?(a
2

? 1)

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知函数

f ( x) ? a x?1 ( x ? 0) 的图像经过点(2,0.5),其中 a ? 0, a ? 1 .

(1)求 a 的值; (2)求函数

f ( x) ? a x?1 ( x ? 0) 的值域. f ( x) ? a x?1 ( x ? 0) 的图像经过点(2,1/2)

【答案】 (1)? 函数 ∴ 1 ? a 2 ?1

2

∴a ? 1 ∴

2

?1? f ( x) ? ? ? ? 2?

x ?1

( x ? 0)
x ?1

(2)由(1)知

?1? f ( x) ? ? ? ? 2?

( x ? 0)

x ?1 1? 在 上为减函数 ? 0 ? 1 ? 1 ∴ f ( x) ? ? ? ? ( x ? 0) ?0,???

2

? 2?

又?

?1? f ( x) ? ? ? ? 2?

x ?1

( x ? 0)

的定义域为

?0,??? ,且 f (0) ? 2



?1? f ( x) ? ? ? ? 2?

x ?1

( x ? 0)

的值域为

?0,2?

18.已知二次函数 f ( x ) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 。 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 在区间 [2a , a ? 1] 上不单调 ,求实数 a 的取值范围; ... (3)在区间 [?1,1] 上, y ? f ( x ) 的图像恒在 y ? 2 x ? 2m ? 1 的图像上方,试确定实数 m 的 取值范围。 【答案】 (1)由题意设

f ? x ? ? a ? x ? 1? ? 1 ,代入 ? 2,3? 得 a ? 2 ,
2

所以

f ? x ? ? 2 ? x ? 1? ? 1 ? 2 x 2 ? 4 x ? 3
2

(2)对称轴为 x ? 1 ,所以 2a ? 1 ? a ? 1 ,所以 0 ? a ? (3) f ( x ) ?2 x ? 2m ? 1 由题意得 2 x
2
2

1 2

? 2 x 2 ? 6 x ? 2m ? 2 ,

? 6 x ? 2m ? 2 ? 0 恒成立, 2 所以 x ? 3 x ? 1 ? m 恒成立,令 g ? x ? ? x ? 3 x ? 1 , x ? [?1,1]
则g

? x ?min ? ?1 ,所以 m ? ?1
2

19.已知幂函数

f ( x) ? x?m ?2m?3 (m ? z) 为偶函数,在区间 (0, ??) 上是单调增函数,

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设函数 g ( x) ? 2 取值范围。 【答案】 (1 )

f ( x) ? 8x ? q ?1 ,若 g ( x) ? 0对任意x ?[?1,1] 恒成立,求实数 q 的

f ( x)在区间(0, ??)上单调递增, ??m2 ? 2m ? 3 ? 0, 即m2 ? 2m ? 3 ? 0, ??1 ? m ? 3, 又 m ? z, ? m ? 0,1, 2,
而m ? 0或2时,f ( x) ? x3不是偶函数,m ? 1时,f ( x) ? x 4是偶函数,? f ( x) ? x 4
4 2

(2) 由f ( x) ? x 知g ( x) ? 2 x ? 8x ? q ? 1, g ( x) ? 0对任意x ? [?1,1] ? g ( x) min ? 0, x ? [?1,1],

又g ( x) ? 2 x 2 ? 8 x ? q ? 1在[?1,1]上单调递减, 于是g ( x) min ? g (1) ? q ? 7, ? q ? 7 ? 0,即q ? 7,故实数q的取值范围是(7, ??).
20.已知函数

f ( x) ? ax2 ? 2x ? 1(a ? R).

(1)若 f ( x ) 的图象与 x 轴恰有一个公共点,求 a 的值; (2)若方程 f ( x) ? 0 至少有一正根,求 a 的范围. 【答案】⑴若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 2 x ? 1 , f ( x ) 的图象与 x 轴的交点为 ( ? 满足题意.若 a ? 0 ,则依题意得: ? ? 4 ? 4a ? 0 , 即 a ? 1. 则由 x1 x2 ? 方程 故 a ? 0 或1 . ⑵显然 a ? 0 .若 a ? 0 ,

1 , 0) , 2

1 ? 0 可知, a

f ? x ? ? 0 有一正一负两根,此时满足题意.

若 a ? 0 ,则 ? ? 0 时, x ? ?1 ,不满足题意.

? ? 0 时,方程有两负根,也不满足题意.故 a ? 0 .
21.函数 f ( x) ? 2 和g ( x) ? x 的图象的示意图如图所示,设两函数的图象交于点
x 3

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 且x1 ? x2
(1)请指出示意图中 C1,C2 分别对应哪一个函数? (2)若 x1 ? [ a, a ? 1], x2 ? [b, b ? 1],

且 a, b ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12}

指出 a, b 的的值,并说明理由; (3)结合函数图象的示意图,判断 f (6), g (6), f (2012), g (2012) 的大小,并按从小到大的顺序排列.

【答案】 (1) C1 对应的函数为 g ( x ) ? (2) a ? 1, b ? 9 理由如下: 令 ? ( x) ?

x 3 , C2 对应的函数为 f ( x) ? 2 x

f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? x 3 ,则 x1 , x2 为函数 ? ( x) 的零点。

?? (1) ? 1 ? 0, ? (2) ? ?4 ? 0, ? (9) ? 2 9 ? 93 ? 0, ? (10) ? 210 ? 103 ? 0 ,
? 方程 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的两个零点 x1 ? (1, 2), x2 ? (9,10)
因此整数 a ? 1, b ? 9 (3)从图像上可以看出,当 x1 当x?

? x ? x2 时, f ( x) ? g ( x),? f (6) ? g (6)

x2 时, f ( x) ? g ( x) ? f (2012) ? g (2012)

g (6) ? g (2012) ? f (6) ? g (6) ? g (2012) ? f (2012)
22.已知函数 的反函数。定义:若对给定的实数 互为反函数,则称 互为反函数,则称 ,函数 与 与

满足“ 和性质” ;若函数 满足“ 积性质” 。

(1)判断函数

是否满足“1 和性质”,并说明理由;

(2)求所有满足“2 和性质”的一次函数;

(3)设函数

对任何

,满足“ 积性质”。求

的表达式。

【答案】 (1)函数

的反函数是

而 故函数 (2)设函数

其反函数为 不满足“1 和性质” 满足“2 和性质” ,



得反函数

由“2 和性质”定义可知

=



恒成立

即所求一次函数为 (3)设 象上, 故 ,可得 , , , ,且点 在 图像上,则 在函数 图



,则



,即



综上所述,

,此时

,其反函数就是





,故



互为反函数 。


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