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挖掘教材习题演绎多彩数学--从一道课本经典习题引出的中考题变化



2014 年 8 月

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挖掘教材习题 演绎多彩数学
— —— 从一道课本经典习题引出的中考题变化
筅江苏省苏州市学府中学
孙 红

中考试题对常规课堂教学起着重要的引领和导向 作用,虽然考

题常出常新,但扎根课本,万变不离其宗, 这个 “ 宗”,就是课本中的基本知识、基本方法、基本思想 “ 问题解决”第 2 点 和基本技能 . 而 2012 年新课程标准在 明确提出: “ 经历从不同角度寻求分析问题和解决问题 的方法的过程,体验解决问题方法的多样性,掌握分析 问题和解决问题的一些基本方法”. 笔者阅读中发现近 年来多份中考试卷或模拟试卷中都有一道课本习题的 影子,细细学习,折服于命题老师的匠心独运,也体会从 课本基本图形入手, 关注学生数学基本知识的掌握,更 关注学生基本数学素养提升的命题理念和命题趋势.
课本原题 : ( 八年级下册课本 P122 页第 15 题 )如图1,

线,则 BC 平分 ∠ACN,EM=EN,再证 ∠EAM= ∠EFN,最 后证明△EAM≌△EFN,可得AE=EF.
方法四 :如图5,过点F作FG ⊥ A
D F B G

BC于点G,先证∠EAB=∠FEG,再 由tan∠EAB=tan∠FEG= 1 , 可得 2

FG=CG=CE=EB,最后证明△EAB≌ △FEG 全 等 或 用 sin ∠EAB = sin∠FEG可得AE=EF.

E 图5

C

变化思想 1: 从静态到动态 , 从特殊到一 般 ,考查学生的灵动思维和应变能力
运动和变换是数学之美的主角,也是中考命题的热 点之一. 从考查学生数学能力和数学素养的角度出发, 合理拓展和延伸,生成独特魅力的新题.
例 1 (2010 年新疆乌鲁木 齐市中考数学卷 第 24 题 ) 如图
C y B G P O E A 图6 F

在正方形ABCD中, 点E是边BC的中点,∠AEF=90°,EF 交正方形的外角平分线CF于点F,求证:AE=EF.
A D F B E 图1 C G A P B E 图2 D F C G

6, 边长为 5 的正方形 OABC 的 顶点 O 在坐标原点处, 点 A、C 分别在x轴、y轴的正半轴上,点 E是OA边上的点 ( 不与点A、O

本题的解法众多, 不少报刊杂志中都有详细介绍, 现写出四种常用方法及解题思路,供大家参考.
方 法 一 : 如图 2,在 AB 上取一点 P,使 AP=EC,先证

重合),EF⊥CE,且与正方形的外角平分线AG交于点P. ( 1)当点E的坐标为 ( 3,0)时,试证明CE=EP. ( 2)如果将上述条件 “ 点E的坐标为 ( 3,0)”改为 “ 点E 的坐标为 ( t,0) ( t>0)”, 结论 CE=EP 是 否仍 然成 立 , 请说 明理由. ( 3)在 y 轴上是 否存 在点 M,使得四边形 BMEP 是平

∠APE=∠ECF,再证明△APE≌△ECF,可得AE=EF.
方 法 二 : 如图 3,过点 E 作 EP ∥AB 交 AC 于点 P,证明

△EAP≌△EFC,可得AE=EF.
A P D F C 图3 G B E N 图4 A M C D F G

行四边形? 若存在,请用t表示点M的坐标;若不存在,请 说明理由.
例2 (2010年江苏无锡市中考数学卷第26题 ) ( 1)如

B

E

图 7,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 边 ( 不 含端 点 B、C)上 任 意 一点,P 是 BC 延长线上一点,N 是 ∠DCP 的平分线上 初中版

方法三 :如图4,过点E分别作直线AC和直线CF的垂

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A F E C 图9 D B A

2014 年 8 月 M F G E C 图10

一点.若∠AMN=90°,求证:AM=MN. 下面给出一种证明的思路, 你可以按这一思路证 明,也可以选择另外的方法证明.
A A E B D N N B

D

细细观察 ,不 难发现 ,相对于课本 母 题,本题 只 是 “ 穿个外 套迷惑 你”. 如图 10,作 AG ⊥BC,CM ⊥AD,由题 意可知四边形AGCM是正方形,其他基本与课本母题雷

M

C

P

B

M 图8

C

P

同,目的仍然是证明 AE=AF. 但是我们不能 小看 这一 小 小的变化,不少学生恰恰会因此而错失解题的思路而无 从下手.若将本题中的 “ 线段BC”拓展为 “ 直线BC”,线段 AE和线段AF是否仍然相等.由此可见,学生若能在学习 中炼就一对火眼,透过现象看本质,也不失为一项技能. 我们的教学不能只服务于课本,要通过他们熟悉的习题 下手,将 问题合理变式,凝题成线,织题成网,让课本例 题、习题成为学生巩固知识、发展能力、掌握思想的重要渠 道.

图7

证明 : 在边AB上截取AE=MC, 连接ME. 在正方形

ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC, 所以∠NMC=180°∠AMN - ∠AMB =180° - ∠B - ∠AMB = ∠MAB = ∠MAE. ( 下面请你完成余下的证明过程) 2)若将 ( 1)中的 “ 正方形 ABCD”改为 “ 正 △ABC” ( ( 如图8),N是∠ACP的平分线上一点, 则当∠AMN=60° 时,结论AM=MN是否还成立? 请说明理由. ( 3)若 将 ( 1)中 的 “ 正 方 形 ABCD” 改 为 “ 正n边形 ABCD…X”,请你作出猜想:当 ∠AMN=________° 时,结 论AM=MN仍然成立( . 直接写出答案,不需要证明) 课本原题中的点E是BC的中点,而在上述两道中考 ( M)却成了一个动点,让学生思考特殊点与任 题中,点E 意点的区别和联系,通过一静一动,体会这种特殊与一 般的内在关系,动静结合,让学生在静中学法,在动中应 用 . 无锡中考将课本原题中的 “ 正方形 ABCD”改为 “ 正 △ABC”,是一个飞跃,再将 “ 正方形 ABCD”改为 “ 正n边 形ABCD…X”,更是一个升华 . 无论是横向变式的点动, 还是纵向变式的形变,都是动中有变,变中有不变,形变 而神不变,图变而质不变 . 这样的变式除了可让学生认 识到 “ 特殊与一般”的关系,还可以培养学生类比、推理、 分析的综合能力 . 虽然结论还是那个结论,但却是对学 生基本功的考查和对学生活学活用能力的一次有效 检验.

变化思想 3: 交换课本母题中的题设和结 论 ,考查学生的逆向思维能力
通过将题目中的题设和结论交换,构造出原命题的 逆命题,其根本是数学课本中许多图形的判定与性质的 探究方法和思路给我们提供了依据.
例 4 (2006 年 四 川 眉 山 市 中 考 数学试题 ) 如图11,∠MON=90°,在
M A D1 D C1 O B1 C 图11 N

∠MON 的 内 部 有 一 个 正 方 形 AOCD, 点 A、C 分别在 射 线 OM、ON 上 , 点 B1 是 ON 上 的 任 意 一 点 , 在 ∠MON的内部作正方形AB1C1D1. ( 1)连接D1D,求证:∠ADD1=90°.

( 2)连接CC1,猜一猜∠C1CN的度数是多少? 并证明 你的结论. ( 3)在ON上再任取一点B2,以AB2为边,在∠MON的 内 部 作正方形 AB2C2D2, 观察 图形,并结合 ( 1)、 ( 2)的结 论,请你再做出一个合理的判断. 将原题中的部分题设和结论交换,既考查了学生对 原题理解的透彻程度,又考查了学生的逆向思维和开放 性思维.本题的亮点众多,是对课本母题的引申和推广, 更是对学生开放性思维和综合性思维的考查. 猜想、归 纳、推理、论证,面面俱到,严谨性、科学性、灵活性、开放 性,处处到位.此类交换题目题设结论的创造性试题,不 仅能够激发学生的数学思维,而且能够加深学生对命题 的认识,促进思维碰撞,提高分析问题、归纳问题、解决 问题的综合能力.

变化 思 想 2: 从 “ 教 会 知 识 ” 向 “ 教 会 能 力 ” 过渡 ,考查学生分析问题 、观察问题的能力
赵本山老师有句名言: “ 你以为你穿上马甲我就不 认识你啦! ”然而,我们不少同学的确缺少这样的眼光和 悟性,你给他一道课本例题他会做,但如果你换个说法 或赋予题目一个新的背景或环境,他却无从下手 . 纵然 似曾相识,却是了无头绪.
例3 (2014 年某市模拟试题 )如图9,在平行四边形


ABCD中,AB=6,∠B=45°,BC=6 姨 2 ,点E在线段BC上移 动 ( 点E可以和点B重合,但不与点C重合),过点E作EF⊥ AE交直线CD于点F.试判断△AEF的形状,并说明理由.

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2014 年 8 月

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整体把握函数内容,宏观设计教学策略
— —— 以青岛版 《义务教育教科书 · 数学 》对 “函数 ”的设计为例
筅山东省沂南教育局
李树臣 高耿海

函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型,是 “ 数与代数”的重要内容,是中学数学的核心内容,也 是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念 之一 .为了教好与函数有关的内容,教师应首先认真 学习 《 义务教育数学课程标准 ( 2011年版) 》 ( 以下简称 “ 课标 ( 2011年版)”,其次从整体上把握教材中对函数 内容的设计安排,最后宏观设计函数内容的教学策略.

一 、初中阶段函数的主要内容和教学要求
在 “ 课标 ( 2011年版)”规定的第三学段,关于函数 的主要内容包括:常量与变量的意义、函数的图像、一 次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质、 解析式的求法以及建立函数模型解答有关的实际问 题等.
本题通过对图形的适度变化,增加了对学生猜想、归纳、

变 化 思 想 4: 延 伸 解 题 思 路 , 培 养 学 生 的 归纳能力和发散思维能力
一个好的解题思路,不仅能够解决一个问题,而是 能够解决一类问题 . 变式题的训练就是意在其中,希望 通过变式训练,达到以点带面的学习效果. 例 5 (2010 年 浙 江 嵊 州 市 中 考 数 学 试 题 ) 已知:在 四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在边 BC、CD 上,且 ∠AEF = ∠ACD,试探究 AE 与 EF 之间的数 量关系. ( 1)如图 12,若 AB =BC =AC,则 AE 与 EF 之间的数量 关系是什么? ( 2)如图 13,若 AB =BC,你在 ( 1)中得到的结论是否 发生变化? 写出猜想,并加以证明. ( 3)如图14,若AB=kBC,你在 ( 1)中得到的结论是否 发生变化? 写出猜想,不用证明.
A F B E 图12 C B E C D A F B E C 图14 D A F D

探索能力的培养,进而再进行推理论证,综合提高学生 有条理的 表 达能 力 . 教学实 践 证明,一题 多 变在一定程 度上可以吸引学生多角度观察、思考和联想,获得多种 解题的 途径 . 通过一题 多 变的训练,可以是学生从变化 发展中掌握数学知识之间的联系,构建新的知识. 一位学者曾经说过: “ 用一个有意义而 又 不 复杂 的 题目去帮助学生引申和挖掘,通过这道题,将学生引入 一个完整的数学世界.”新课程下的数学教学中,如何真 正发挥课本习题的教学价值, 挖掘课本习题的内在 价 值,实现从重知识向重能力的过渡,这是每一个数学 人 都要研究的课题.许多年来,中考命题者一直推崇 “ 源于 课本,回归课本”的命题理念,在我们平时的教学中,只 要我们能做个有心人, 虚心向上述各例的命题者学习, 学会就地取材,注重对课本例题、习题的深度思考和 适 度变式,注重新课程理念的推进和渗透,注重对学生数 学能力的培养和数学素养的提升,我们数学教育的明天 一定会更加美好.
参考文献 :

图13

1. 许峻 . 中考证明类新题型对 “ 图形与 证 明 ” 教 学 的
启示 [J ]. 中学数学 ( 下 ),2010(10).

本题是课本母题的纵向延伸,也可以说是江苏无锡 26题 ( 本文例2)的变式题,通过改变题目的部分条件,巧 妙地将题目的解题思路从 “ 全等”向 “ 相似”过渡.细细比 较,形变思不变,形变质不变 . 解决这样的题目,我们不 能只是关注演绎推理,而要将合理推理和演绎推理有机 融入 ,通过 再创造 , 促进新 的生 长 点 . 与课本习题相比,

2.王锋.莫让浮云遮望眼
( 中 ),2010(6 ).

撩开雾纱见真颜— —— 解读

由课本习题创新编拟的中考试题 [J]. 中学数学教学参考

3. 罗俊生 . “ 思考 总结 归纳 ” 构建高效课堂 [J]. 中小
学数学 ,2014(5 ). FH

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