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欧几里德空间知识点总结 (2)


第8章


欧几里得空间
题 课 一
(§1-§4)

一、双线性函数、内积、度量矩阵 二、长度、夹角、距离、不等式 三、标准正交基、Schmidt正交化 四、欧氏子空间、直和、正交补

主要题型
计算题 1、计算内积、长度、夹角、距离 2、求度量矩阵 3、Schmidt正交化

求标准正交基 证明题 1、双线性函数、内积 2、欧氏空间、欧氏子空间 2、向量正交、标准正交基 3、正交补、直和

一、双线性函数、内积、度量矩阵
1、双线性函数
设V是域K上的向量空间, 满足:
1 2
?

f :V ? V ? K

是一个映射,

? ? , ? ,? 1 ,? 2 , ? 1 , ? 2 ? V ,

? k1 , k 2 ? K

f (? , k 1 ? 1 ? k 2 ? 2 ) ? k 1 f (? , ? 1 ) ? k 2 f (? , ? 2 ) f ( k 1? 1 ? k 2? 2 , ? ) ? k 1 f ( ? 1 , ? ) ? k 2 f ( ? 2 , ? )

?

则称

f

为V上的一个双线性函数,记作

f ( ? , ? ).

2、双线性函数的度量矩阵 (1)设V为K上的n维向量空间, , ? , ? , ? 为V的一组 ?1 2 n 基 f ( ? , ? ) 为V上的一个双线性函数 度量矩阵
? f (? 1 , ? 1 ) ? f (? , ? ) 2 1 A ? ? ? ? f (? , ? ) n 1 ? f (? 1 , ? 2 ) f ?? 2 ,? 2 ? ? f (? n , ? 2 ) ? ? ? ? f (? 1 , ? n ) ? f (? 2 , ? n ) ? ? ? f (? n , ? n ) ? ?

(2)

? ? x 1? 1 ? x 2 ? 2 ? ? ? x n ? n ? ? y 1? 1 ? y 2 ? 2 ? ? ? y n ? n
f (? , ? ) ?
n n



?? ?
i?1 j?1

f ? i ,?

j

?

xi y j ? X

T

AY

(3)设 ? 1 , ? 2 , ? , ? n ; ? 1 , ? 2 , ? , ? n 为向量空间V的两组基, 双线性函数 f 在这两组基下的度量矩阵分别为A、B , 则A与B 合同:
(? 1 , ? 2 , ? , ? n ) ? ( ? 1 , ? 2 , ? , ? n ) C 则 B ? C ?A C

(4)设双线性函数 f 的度量矩阵是A,则 f 非退化 ? A非退化,即A可逆; f 对称的 ? A是对称矩阵; f 反对称的 ? A是反对称矩阵; f 正定的 ? A是正定矩阵。

3、内积---对称、可逆、正定的双线性函数 设V是实数域 R上的线性空间,对V中任意两个向量
? ? 、 , 定义一个二元实函数,记作 ( ? , ? ) ,若 ( ? , ? )
?V , ?k ? R

满足性质:? ? , ? , ?
1 2
3
?

(? , ? ) ? ( ? , ? ) ( k ? , ? ) ? k (? , ? )
(? ? ? , ? ) ? ? ? , ?

(对称性) (数乘)

?

?

? ? (? ,?

)

(可加性)

4

?

(? , ? ) ? 0 ,

当且仅当 ?

? 0

时 (? , ? ) ?

0 . (正定性)

则称 ( ? , ? )为 ? 和 ? 的内积,并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.

常见欧氏空间
(1 ) R
n

? ? ( a 1 , a 2 , ? , a n ) a i ? R , i ? 1, 2 , ? , n ?

? ? ? a 1 , a 2 ,? , a n ? ,

? ? ? b1 , b 2 , ? , b n ?

定义内积

( ? , ? ) ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n

(2) 在矩阵空间 R m ? n 中定义内积
( A , B ) ? tr ( A B )
T

(3)C ( a , b ) 为闭区间 [ a , b ] 上的所有实连续函数
所成线性空间,对于函数
( f ,g) ?

f ( x ), g ( x )

,定义

?a

b

f ( x ) g ( x ) dx

则 C ( a , b ) 对于这一内积作成一个欧氏空间.

注:
把 C ( a , b ) 换作R[x]n-1对于这一内积也作成欧氏空间. (P183习题5)

4、内积的度量矩阵---可逆、对称、正定矩阵
? (1) 设V为欧氏空间, 1 , ? 2 , ? , ? n 为V的一组基
? (? 1 , ? 1 ) (? 1 , ? 2 ) ? (? , ? ) ? ? , ? ? 2 2 A ? ? 2 1 ? ? ? (? , ? ) (? , ? ) n 2 ? n 1 ? (? 1 , ? n ) ? ? (? 2 , ? n ) ? ? ? ? ? (? n , ? n ) ? ?

度量矩阵

(2) 设 ? 1 , ? 2 , ? , ? n ; ? 1 , ? 2 , ? , ? n 为欧氏空间V的两组基,
它们的度量矩阵分别为A、B ,则A与B 合同:
(? 1 , ? 2 , ? , ? n ) ? ( ? 1 , ? 2 , ? , ? n ) C 则 B ? C ?A C

(3) 用度量矩阵计算内积
? ? x 1? 1 ? x 2 ? 2 ? ? ? x n ? n ? ? y 1? 1 ? y 2 ? 2 ? ? ? y n ? n

令 则

a ij ? ( ? i , ? j ),

i , j ? 1, 2 , ? n .
T

(? , ? ) ?

??
i?1 j?1

n

n

a ij x i y j ? X
x1 x2 ? xn ? ? , ? ? ?

AY
y1 y2 ? yn ? ? ? ? ?

A ? a ij

? ?

n? n

,

? ? X ? ? ? ?

? ? Y ? ? ? ?

(4) 内积的简单性质 V为欧氏空间,
1)

? ? , ? ,? ? V , ? k ? R

( ? , k ? ) ? k ( ? , ? ),

? k? , k ? ? ?

k (? , ? )
2

2)

(? , ? ? ? ) ? (? , ? ) ? (? , ? )

推广: (? , ? ? i ) ? ? ( ? , ? i )
i?1 i?1

s

s

3)

(0, ? ) ? 0

例1、P179习题1、2、3、4 例2、P179习题5、6、 例3、P183习题8

例4、设 ? 1 , ? 2 , ? ? m 为 n 维 欧氏空间 V 中一组向量,

称矩阵
G ? ? 1 , ? 2 ,? , ? m

?

? (? 1 , ? 1 ) (? 1 , ? 2 ) ? (? 2 , ? 1 ) (? 2 , ? 2 ) ? ? ? ? ? (? m , ? 1 ) (? m , ? 2 ) ?

? (? 1 , ? n ) ? ? (? 2 , ? n ) ? ? ? ? ? (? m , ? m ) ? ?

为 ? 1 , ? 2 , ? ? m 的Gram矩阵;其行列式称为Gram行列式。 (1) 证明 : ? 1 , ? 2 , ? ? m 线性无关 ? G ? ? 1 , ? 2 , ? , ? m ? ? (2) 若 ? , ? , ? ? 是由 ? 1 , ? 2 , ? ? m 通过正交化方法
1 2 m

0

所得的正交组,证明:
G ? ? 1 , ? 2 ,? ? m

?

? G ? ? 1 , ? 2 ,? ? m

?

?

? ??i,?i ?
i?1

m

(P180习题7)

例5、设在向量空间 R 4 中规定内积后得到欧氏 空间 V,且V在基
? 1 ? ? 1, ? 1, 0 , 0 ? , ? 2 ? ? ? 1, 2 , 0 , 0 ? ,

? 3 ? ? 0 , 1, 2 , 1 ? ,

? 4 ? ? 1, 0 , 1, 1 ? ,

下的度量矩阵为

? 2 ?3 0 1 ? ??3 6 0 ?1? A ? 0 13 9 ? ? 0 ? 1 ?1 9 7 ? ? ?

(1) 求下列基度量矩阵
? 1 ? ? 1, 0 , 0 , 0 ? , ? 2 ? ? 0 , 1, 0 , 0 ? , ? 3 ? ? 0 , 0 , 1, 0 ? , ? 4 ? ? 0 , 0 , 0 , 1 ?

(2)求与下列向量都正交的单位向量
? 1 ? ? 1, 1, ? 1, 1 ? , ? 2 ? ? 1, ? 1, ? 1, 1 ? , ? 3 ? ? 2 , 1, 1, 3 ?

二、长度、夹角、距离、正交、不等式
长度
1) 2)
?? ? V ,

? ?

(? , ? )

? ? 0;

? ? 0? ? ? 0

k? ? k ?

3)非零向量 ? 的单位化:

1

?

? .

距离

d (? , ? ) ?

? ? ?

d (? , ? ) ? d ( ? , ? ) d (? , ? ) ? 0 , d (? , ? ) ? 0 ? ? ? ?

d (? , ? ) ? d (? , ? ) ? d ( ? , ? )

(三角不等式)

夹角
? ? , ? ? ? a rc co s (? , ? )

? ?

?

0 ? ?? , ? ? ? ?

?

正交

?? , ? ?

? 0

则称 ? 与 ? 正交或互相垂直,记作 ?

? ? .

① 零向量与任意向量正交. ② ?
? ? ?? , ? ? ?

?
2

,



co s ?? , ? ? ? 0

.

③勾股定理 ?

? ?

? ? ?

2

? ?

2

? ?

2

不等式
柯西-布涅柯夫斯基(Cauchy-Buniakowski)不等式

对欧氏空间V中任意两个向量 ? 、 ? ,有
(? , ? ) ? ? ?

当且仅当 ? 、 ? 线性相关时等号成立.

这一不等式也常写成
(? , ? )

? ?

?1



( ? , ? ) ? ( ? , ? )( ? , ? )
2

柯西-布涅柯夫斯基不等式应用
i)
?

a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n
a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 2 2

柯西 不等式
2 2

b1 ? b 2 ? ? ? b n
2

? a i , bi ? R ,

i ? 1, 2 , ? , n .

施瓦兹 不等式

( ii )

?a

b

f ( x ) g ( x ) dx ?

?a

b

f ( x ) dx

2

?a

b

g ( x )d x

2

ii )

? ? ? ? ? ? ?
d (? , ? ) ? d (? , ? ) ? d ( ? , ? )

三角 不等式

例1、证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量 ? , ? , ?

以下列式子成立:

(P182习题2)
2
2

?1? ?2? ?2?

? ??

2

? ? ??

? 2?

2

?2?
2

2

4 ?? ,?

?? ? ??

? ? ??

d (? , ? ) ? d (? , ? ) ? d ( ? , ? )

例2、P183习题5

例3、利用内积性质证明,一个三角形,如果有一

边是它的外接圆的直径,那么这个三角形是直角三
角形 。
? ? ?
??

?

? ? ?

?

即证,?

? ? ? ? ? ?

例4、证明:对于任意实数

a 1 , a 2 ,? , a n
2

,有

?
i?1

n

ai ?

n a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 2

?

?

(P183习题4)

例5、P183习题7(Bessel不等式) 例6、P188习题9

例6、? , ? 是 欧氏空间两个线性无关量,
满足以下条件:
2 ?? , ?

(P183习题9)

?

?? , ? ?
? 证明:


?

2 ?? , ?

?? , ?

? 都是小于等于零的整数, ?
?
2 , 2? 3 , 3? 4



的夹角只是



5? 6

例7、设
n

A ?

?a ?? R
ij

n? n

是一个正定矩阵,在行向量

空间 R 中定义:

?? , ? ? ? ? A? ?
(1)证明在这个定义下 作成一个欧氏空间; (2)求单位向量 ? 1 , ? 2 , ? ? n 的度量矩阵; (3)具体写出这个欧氏空间中的柯西-布涅柯夫斯 基不等式。

三、标准正交基、Schmidt正交化
1、标准正交基

n

维欧氏空间中,由 n 个向量构成的正交向量组

称为正交基; 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. ②
n 维欧氏空间V中的一组基 ? 1 , ? , ? n

为标准正交基 (1)

1 (? i , ? j ) ? 0

?

i ? j , i ? j

i , j ? 1, 2 , ? , n

?度量矩阵

A ? (? i , ? j ) ? E n .

?

?



n 维欧氏空间V中标准正交基的作用:

设 ? 1 , ? , ? n 为V的一组标准正交基,则 (i) 则 设 ?
? x 1? 1 ? x 2 ? 2 ? ? ? x n ? n ? V (? , ? i ) ? x i .

? ? (? , ? 1 )? 1 ? (? , ? 2 )? 2 ? ? ? (? , ? n )? n

(ii)

(? , ? ) ? x 1 y 1 ? x 2 y 2 ? ? ? x n y n ?

?
i?1

n

xi yi

这里

? ? x 1 ? 1 ? x 2 ? 2 ? ? ? x n ? n,
? ? y 1? 1 ? y 2 ? 2 ? ? ? y n ? n .

(iii)

| ? |?

x1 ? ? ? x n
2

2

2、Schmidt正交化
1
?

先把线性无关的向量组 ? 1 , ? , ? m 化成正交向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? m .
?1 ? ?1 ,
j?1

?2 ? ?2 ?

(? 2 , ? 1 ) (?1, ?1)

?1 ,

?j ??j?
2
?

?
i?1

(? j , ? i ) (? i , ? i )

?i,

j ? 2 , 3 ,? , m ;

再单位化得标准正交向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? m .
?i ?
1 | ?i |

?i,

i ? 1, 2 , ? , m

注:
( 1)
n

维欧氏空间中任一个正交向量组都能

扩充成一组正交基. ( 2) 对于n 维欧氏空间中任一组基 ? 1 , ? 2 , ? , ? n 都可找到一组标准正交基 ? 1 , ? 2 , ? , ? n , 使
L ( ? 1 , ? 2 , ? , ? i ) ? L (? 1 , ? 2 , ? , ? i ), i ? 1, 2 , ? , n

例1、求标准正交基P188习题1、2、3、4、5、10

例2、标准正交基的性质应用P188习题6、7、8、

四、欧氏子空间、直和、正交补
1 直和 设 W 1 , W 2 为向量空间V的子空间,且 V 下面五个条件等价:
? W1 ? W2 ? W1 ? W2

1) V

2) W 1 ? W 2

?

? 0?

3)

d im V ? d im W 1 ? d im W 2

4)V中每个向量的分解式唯一 5)零向量分解式唯一

2、正交子空间 1)
V 1 与V 2

是欧氏空间V中的两个子空间,如果对
? ? V2 ,
V1

? ? ? V1 ,

恒有

(? , ? ) ? 0 ,

则称子空间

与 V 2 为正交的,记作
?V ,

V1 ? V 2 .

2) 对给定向量 ?

如果对 ? ?

? V1 ,

恒有

(? , ? ) ? 0 ,

则称向量 ? 与子空间

V1

正交,记作 ?

? V1 .

注:
① ②
V 1 ? V 2 当且仅当 V 1 中每个向量都与 V 2 正交. V 1 ? V 2 ? V 1 ? V 2 ? { 0 }.

?

?

? ? ? V 1 ? V 2 ? (? , ? ) ? 0 ? ? ? 0 .
? V1

?

③ 当?

且 ?

? V1

时,必有 ?

? 0.

3、正交补 如果欧氏空间V的子空间
W ?U ?V,

W ,U

满足

W ? U,

并且

则称

U

为 W 的正交补.

n 注:维欧氏空间V的每个子空间

W
?

都有唯一正交补. 即

① 子空间W的正交补记为
W
?

W

.

? ?? ? V ? ? W

?

② i) ii) iii)

n

维欧氏空间V的子空间W满足:
?

(W

)

?

?W
?

d im W ? d im W W ?W
?

? d im V ? n

?V

iv) 取 W 的一组正交基 ? 1 , ? 2 , ? , ? m , 把它可扩充成V的一组正交基
? 1 , ? 2 ,? , ? m , ? m ? 1 ,? , ? n ,

则生成子空间 ? m ? 1 , ? , ? n

?W

?

例1

设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
x1 ? x 2 ? ? ? ? x n ? 0 x1 ? x 2 ? ? ? ? x n

解空间: ① ②

证明:

R

n

? V1 ? V 2

证:解齐次线性方程组①,得其一个基础解系
? 1 ? (1, 0 , ? , 0 , ? 1 ) ? 2 ? ( 0 , 1, ? , 0 , ? 1 ) ? n?1
? ? ( 0 , 0 , ? , 1, ? 1 )

? V1 ? ? 1 , ? 2 ,? , ? n?1 .

再解齐次线性方程组②. 由

x1 ? x 2 ? ? ? ? x n

? x1 ? x n ? 0 ? x2 ? xn ? 0 ? ? ? ? x n?1 ? x n ? 0
? (1, 1, ? , 1 )

得②的一个基础解系 ?
? V2 ? ? .

考虑向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? n ? 1 , ?

由于
?

1 0 0 ? 1

0 1 0 ? 1

? 0 ?1 ? 0 ?1 ? 1 ?1 ? 0 ? ? ? 1 1

? 1 , ? 2 ,? , ? n?1 , ?
? R
n

线性无关,即它为Rn的一组基.
? ? 1 , ? 2 ,? , ? n?1 ? ?

? ? 1 , ? 2 ,? , ? n?1 , ?

? V1 ? V 2


?

d im V 1 ? d im V 2 ? ( n ? 1 ) ? 1 ? n ? d im P R
n

n

? V1 ? V 2

注:在标准内积下 V 2 也是 V 1 的正交补,
但其它内积下不保证.

? 例1、设V为 n 维欧氏空间,
W ?

? 0

是V中一个固定向量,

? x ? x ,? ? ? 0 ,

x?V

?

证明W是V的一个n-1维子空间。 例2、P191习题1 例3、P191习题2、5、6

例4、P191习题3、4


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